大気と気象の問題

ある地点の地表（高度 $0\mathrm{km}$）での気圧は $1000\mathrm{hPa}$ であり、その上空では、気圧は高度が $5.5\mathrm{km}$ 上がるごとに $\frac{1}{2}$ 倍になるものとする。ある高度での気圧は、その高度より上にある大気の重さによって生じるものとし、重力加速度の大きさは高度によらず一定とする。

この地点の上空で、地表から高度 $11\mathrm{km}$ までの間にある大気の質量は、地表より上にある大気全体の質量の何 % か。

ある地点で気球を使って上空の気圧を測定したところ、次の表の結果が得られた。

この地点の上空では、高度が一定の量だけ増えるごとに、気圧は一定の割合で減少するものとする。この関係は表より上の高度でも成り立つとする。

ある高度 $h[\mathrm{km}]$ より上にある大気について、水平面 $1.0{\mathrm{m}}^2$ あたりの質量を求めたところ $2.0\times 10^3\mathrm{kg}$ であった。$h$ は何 $\mathrm{km}$ か。小数第 1 位を四捨五入して整数で求めよ。

ただし、ある高度での気圧は、その高度より上にある大気の重さによる圧力に等しいとする。重力加速度の大きさは高度によらず $9.8m/{\mathrm{s}}^2$、$1\mathrm{hPa}=100\mathrm{Pa}$ とし、必要なら ${\log }_{10}2=0.30$、${\log }_{10}9.8=0.99$ を用いよ。

ある日、ある地点の上空で気圧を測ったところ、次の結果が得られた。

この表の気圧の減り方が、より高い高度でもそのまま続くものとする。気圧はその高さより上にある大気の重さによって生じると考える。重力加速度の高度による変化と、高度による地球の表面積の変化は無視する（大気は地球の半径に比べて十分薄い層とみなす）。また、大気の状態は地球全体で同じとする。

ある高度より上にある大気の質量が、大気全体の質量の $1.0\%$ になる。この高度は何 km か。${\log }_{10}2=0.30$ として計算し、整数で答えよ。

地球全体で1年間を平均した熱収支について考える。大気の上端に入射する太陽放射エネルギーを $100$ とし、各エネルギーの流れをこれに対する相対値で表すと、次のことがわかっている。

• 入射した太陽放射のうち、大気・雲・地表による反射で宇宙空間へ戻る量は合わせて $30$ である。
• 大気（雲を含む）が吸収する太陽放射は $20$ であり、残りはすべて地表に吸収される。
• 地表が放射する赤外線（地球放射）は $116$ である。このうち $10$ は大気に吸収されずに宇宙空間へ直接出ていき、残りはすべて大気に吸収される。
• 大気は赤外線を宇宙空間へ向けて放射するとともに、地表へ向けても放射している。地表へ向けて放射する量は、宇宙空間へ向けて放射する量の $1.6$ 倍である。
• 地表から大気へは、放射のほかに顕熱（伝導・対流）と潜熱（水の蒸発）によっても熱が運ばれている。顕熱による輸送量と潜熱による輸送量の比は $1:4$ である。
• 地球全体、大気、地表のそれぞれで、出入りするエネルギーはつり合っている。

太陽定数を $1.37\times 10^{3}W/{\mathrm{m}}^2$ とする。地球が受け取る太陽放射は断面積 $\pi R^2$（$R$ は地球の半径）で受けたものが表面積 $4\pi R^2$ 全体に配分されるとし、相対値 $100$ はこの地表面 $1{\mathrm{m}}^2$ あたりの平均の入射量に対応するものとする。また、水の蒸発熱を $2.5\times 10^{6}J/kg$、水の密度を $1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$、1年を $3.15\times 10^7\mathrm{s}$ とし、潜熱による輸送はすべて地表からの水の蒸発によるものとする。地球全体で1年間に蒸発する水の量と降水量は等しいとして、地球全体で平均した年降水量は何 $\mathrm{mm}$ か。有効数字 $2$ 桁で求めよ。

北半球のある地点で、地上付近と上空（摩擦の影響を受けない高さ）の風を観測した。どちらの高さでも等圧線はまっすぐ平行に引かれており、風は一定の向きと速さで吹いていた。観測結果を次の表に示す。

上空では風は地衡風として等圧線に平行に吹いており、その風速は $32m/s$ であった。地上付近では、風は等圧線と角度 $\theta$ をなして低圧側へ吹き込んでおり、$\cos \theta =0.80$ であった。

次のことを用いてよい。
- 単位質量の空気にはたらく気圧傾度力の大きさは、密度を $\rho$、等圧線に垂直な距離 $\Delta x$ あたりの気圧差を $\Delta p$ として $\frac{1}{\rho }\frac{\Delta p}{\Delta x}$ で表され、向きは等圧線に垂直で高圧側から低圧側である。
- 単位質量の空気にはたらく転向力（コリオリの力）は風向に垂直（北半球では風下に向かって右向き）で、その大きさは風速に比例する。同じ地点では、その比例定数は高さによらない。
- 地上付近では、風と逆向きに摩擦力がはたらく。

地上付近の風速は何 $m/s$ か。有効数字 2 桁で求めよ。