大気と気象の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル高校地学大気と気象

ある地点で気球を使って上空の気圧を測定したところ、次の表の結果が得られた。

高度 $[km]$	0	1.8	3.6	5.4
気圧 $[hPa]$	1000	800	640	512

この地点の上空では、高度が一定の量だけ増えるごとに、気圧は一定の割合で減少するものとする。この関係は表より上の高度でも成り立つとする。

ある高度 $h [km]$ より上にある大気について、水平面 $1.0 m^{2}$ あたりの質量を求めたところ $2.0 \times 1 0^{3} kg$ であった。 $h$ は何 $km$ か。小数第 1 位を四捨五入して整数で求めよ。

ただし、ある高度での気圧は、その高度より上にある大気の重さによる圧力に等しいとする。重力加速度の大きさは高度によらず $9.8 m/ s^{2}$ 、 $1 hPa = 100 Pa$ とし、必要なら $lo g_{10} 2 = 0.30$ 、 $lo g_{10} 9.8 = 0.99$ を用いよ。

この問題で使うもの

高度による気圧の減少と大気の質量の割合（説明と入口の問題）
気圧と高度（説明と入口の問題）
対数の定義と性質（説明と入口の問題）

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算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

気圧は、その高度より上にある空気の重さによる圧力です。まず、与えられた質量から高度 $h$ での気圧を求めましょう。そのうえで、表から気圧の減り方の規則を読み取ります。

ヒント 2

表を見ると、高度が $1.8 km$ 上がるごとに気圧は $0.8$ 倍になっています。したがって $p = 1000 \times 0. 8^{h /1.8} [hPa]$ と表せます。また、 $p = \frac{m g}{S}$ です。

ヒント 3

$p = 2.0 \times 1 0^{3} \times 9.8 = 1.96 \times 1 0^{4} Pa = 196 hPa$ より、 $0. 8^{h /1.8} = 0.196$ となります。両辺の常用対数をとると $lo g_{10} 0.8 = - 0.10$ 、 $lo g_{10} 0.196 = 0.30 + 0.99 - 2$ です。

答えと解説

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解説を読む

1. 高度 $h$ での気圧を求める

高度 $h$ での気圧 $p$ は、その高度より上にある大気の重さを面積で割ったものに等しい。水平面 $1.0 m^{2}$ あたりの大気の質量を $m = 2.0 \times 1 0^{3} kg$ とすると、
$p = \frac{m g}{S} = \frac{2.0 \times 1 0 ^{3} \times 9.8}{1.0} = 1.96 \times 1 0^{4} Pa = 196 hPa$
となる。

2. 気圧の減り方を表から読み取る

表から、高度が $1.8 km$ 上がるごとに気圧は次のように変化している。
$\frac{800}{1000} = \frac{640}{800} = \frac{512}{640} = 0.8$
したがって、 $1.8 km$ 上がるごとに気圧は $0.8$ 倍になる。地表の気圧を $1000 hPa$ とすると、高度 $h [km]$ での気圧は
$p = 1000 \times 0. 8^{\frac{h}{1.8}} [hPa]$
と表せる。

3. 対数を使って $h$ を求める

$p = 196 hPa$ を代入すると
$0. 8^{\frac{h}{1.8}} = \frac{196}{1000} = 0.196$
となる。両辺の常用対数をとると
$\frac{h}{1.8} lo g_{10} 0.8 = lo g_{10} 0.196$
である。それぞれの値を求める。
$lo g_{10} 0.8 = lo g_{10} \frac{2 ^{3}}{10} = 3 \times 0.30 - 1 = - 0.10$
$lo g_{10} 0.196 = lo g_{10} (2 \times 9.8 \times 1 0^{- 2}) = 0.30 + 0.99 - 2 = - 0.71$
よって
$\frac{h}{1.8} \times (- 0.10) = - 0.71$
$h = 1.8 \times 7.1 = 12.78$

小数第 1 位を四捨五入すると $h = 13 km$ である。

（参考：地表では、水平面 $1 m^{2}$ あたりの大気の質量は $\frac{1.0 \times 1 0 ^{5}}{9.8} ≒ 1.0 \times 1 0^{4} kg$ である。したがって高度約 $13 km$ より上には、大気全体の約 $20 %$ しか残っていないことになる。）

別解

表より、高度が 1.8 km 増えるごとに気圧は 0.8 倍になる（1000→800→640→512 で、いずれも比 0.8）。したがって高度 $h$ での気圧は $P (h) = 1000 \times 0. 8^{h /1.8}$ hPa と表せる。

高度 $h$ より上の大気の質量は $2.0 \times 1 0^{3}$ kg/m² なので、 $h$ での気圧は
$P = 2.0 \times 1 0^{3} \times 9.8 = 1.96 \times 1 0^{4} Pa = 196 hPa$ 。

よって $1000 \times 0. 8^{h /1.8} = 196$ 、すなわち $0. 8^{h /1.8} = 0.196$ 。

両辺の常用対数をとる。
$lo g_{10} 0.8 = lo g_{10} 8 - 1 = 3 \times 0.30 - 1 = - 0.10$
$lo g_{10} 0.196 = lo g_{10} (9.8 \times 20 \times 1 0^{- 3}) = 0.99 + 1.30 - 3 = - 0.71$

$\frac{h}{1.8} \times (- 0.10) = - 0.71$ より $h /1.8 = 7.1$ 、 $h = 12.78 km$ 。

小数第 1 位を四捨五入して $h \approx 13$ km。

検算： $0. 8^{7.1}$ の常用対数は $- 0.71$ で、これは $0.196$ に一致する。対数の近似値を使わずに計算しても $h \approx 13.1$ km で、整数にすると同じ 13 になる。

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