気圧と高度

気圧が高度とともに一定の割合で減少する（一定の高度ごとに一定倍になる）ことを使い、観測データから任意の高度の気圧や、ある気圧になる高度を指数・対数で求められる

前提

大気圧による力（中学理科天気とその変化）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）

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算数中学高校大学大学院

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重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
大気圧による力（中学理科天気とその変化）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）

説明

上空へ行くほど気圧は下がりますが、その下がり方は「1 km ごとに何 hPa ずつ減る」という一定の引き算ではなく、「一定の高さ上がるごとに一定の倍率で小さくなる」というかけ算の形になります。この性質を使うと、地上と上空の観測データから、任意の高度の気圧を指数で求めたり、気圧がある値になる高度を対数で求めたりできます。山の上や飛行機の高度での気圧を見積もる場面、高層天気図の等圧面の高さを考える場面などで使います。

なぜそうしてよいのか

ある高さでの気圧は、その面 $1 m^{2}$ の上にのっている空気全体の重さ（重力の大きさ）による圧力です。そこで、薄い空気の層を 1 枚下から上へ通りぬけると、気圧はその層の空気の重さの分だけ減ります。ところが空気は押し縮められる気体なので、気圧が高いところほど空気は詰まっていて（密度が大きく）、同じ厚さの層でも重くなります。気温の違いを無視すれば、層の重さは、その場所の気圧に比例すると考えられます。

つまり「同じ厚さだけ上がったときの気圧の減り方は、そのときの気圧に比例する」ということです。気圧が $1000 hPa$ のところで 1 割減るなら、 $500 hPa$ のところでも同じ厚さで 1 割減ります。減る量ではなく減る割合が一定なので、一定の高さ $H$ 上がるごとに気圧は一定の倍率 $r$ （ $0 < r < 1$ ）倍になります。地上の気圧を $P_{0}$ とすると、高度 $h$ の気圧は
$P = P_{0} r^{\frac{h}{H}}$
と指数関数で表されます。たとえば「約 $5.5 km$ ごとに半分」なら $r = \frac{1}{2}$ 、 $H = 5.5 km$ です。

逆に、気圧が $P$ になる高度を求めたいときは、両辺の常用対数をとって指数を下ろします。 $lo g_{10} \frac{P}{P _{0}} = \frac{h}{H} lo g_{10} r$ より $h = H \cdot \frac{lo g _{10} ( P / P _{0} )}{lo g _{10} r}$ となります。なお、実際の大気は高さによって気温が変わるので、この式は近似です。

手順

問題文から、地上（基準の高さ）の気圧 $P_{0}$ と、「高さ $H$ ごとに $r$ 倍」という減り方を読み取る。2 つの高さの気圧が与えられているときは、その比と高さの差から $r$ と $H$ を決める。
高度 $h$ の気圧を式で表す： $P = P_{0} r^{\frac{h}{H}}$ 。
気圧を求めるときは、 $\frac{h}{H}$ を計算し、 $r^{\frac{h}{H}}$ を求めて $P_{0}$ にかける。
高度を求めるときは、 $\frac{P}{P _{0}} = r^{\frac{h}{H}}$ の両辺の常用対数をとり、 $h = H \cdot \frac{lo g _{10} ( P / P _{0} )}{lo g _{10} r}$ を計算する。対数の値は問題文で与えられたものを使う。
問題文の指定どおりに丸め、単位（km、hPa など）が問い方と合っているか確かめる。

例題

ある地点の地上の気圧は $1000 hPa$ で、その上空では、高度が $5.5 km$ 上がるごとに気圧が $\frac{1}{2}$ 倍になるものとする。気圧が $100 hPa$ になる高度は地上から何 km か。 $lo g_{10} 2 = 0.30$ として、有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

手順 1： $P_{0} = 1000 hPa$ 、 $H = 5.5 km$ 、 $r = \frac{1}{2}$ である。

手順 2：高度 $h [km]$ の気圧は
$P = 1000 \times (\frac{1}{2})^{\frac{h}{5.5}}$

手順 4： $P = 100$ とすると $(\frac{1}{2})^{\frac{h}{5.5}} = \frac{100}{1000} = \frac{1}{10}$ 。両辺の常用対数をとると
$\frac{h}{5.5} \times (- lo g_{10} 2) = - 1$
よって
$h = \frac{5.5}{lo g _{10} 2} = \frac{5.5}{0.30} = 18.33 \dots$

手順 5：有効数字 2 桁で $18 km$ 。

答え: $18$

よくある誤り

気圧が高さに比例して一定量ずつ減るとしてしまう誤り（「 $5.5 km$ で $500 hPa$ 減るから、 $11 km$ で $0 hPa$ 」など）。正しくは一定の割合で減るので、 $11 km$ では $1000 \times (\frac{1}{2})^{2} = 250 hPa$ になる。
指数を $\frac{h}{H}$ ではなく $h$ や $H \times h$ にしてしまう誤り（ $1000 \times (\frac{1}{2})^{11}$ など）。正しくは、何回「 $H$ だけ上がった」かを数えて、指数は $\frac{h}{H} = \frac{11}{5.5} = 2$ である。
対数をとるときに符号を落とし、高度が負になったり、 $lo g_{10} \frac{1}{2}$ を $0.30$ としてしまう誤り。正しくは $lo g_{10} \frac{1}{2} = - lo g_{10} 2 = - 0.30$ で、 $lo g_{10} \frac{1}{10} = - 1$ と両辺とも負になり、 $h = \frac{5.5 \times ( - 1 )}{- 0.30} > 0$ となる。
地上の気圧 $P_{0}$ との比ではなく、差 $P_{0} - P$ に対数をとってしまう誤り（ $lo g_{10} (1000 - 100)$ など）。正しくは、倍率で減るので比 $\frac{P}{P _{0}} = \frac{100}{1000}$ の対数をとる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
ある地点の地表（高度 $0 km$ ）での気圧は $1000 hPa$ であった。この地点の上空では、気圧は高度が $5.5 km$ 上がるごとに $\frac{1}{2}$ 倍になるものとする。この地点の上空、高度 $16.5 km$ での気圧は何 hPa か。

この技能を使う問題

高度 $[km]$	0	1.8	3.6	5.4
気圧 $[hPa]$	1000	800	640	512

高度 [km]	0	2.0	4.0	6.0
気圧 [hPa]	1000	800	640	512

この技能の次に学べること

高度による気圧の減少と大気の質量の割合（高校地学大気と気象）