体積弾性率・横弾性係数と弾性定数の関係

均質・等方な線形弾性体で、体積弾性率 $K = \frac{E}{3 ( 1 - 2 ν )}$ と横弾性係数 $G = \frac{E}{2 ( 1 + ν )}$ の関係を使って $E, ν, K, G$ のうち 2 つから残りを求め、一様な静水圧 $p$ を受けたときの体積変化 $\frac{Δ V}{V} = - \frac{p}{K}$ や圧縮率 $1/ K$ を求められる

前提

3 軸応力の一般化フックの法則（大学物理材料力学）

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3 軸応力の一般化フックの法則（大学物理材料力学）

説明

均質・等方な線形弾性体の性質は、縦弾性係数 $E$ ・ポアソン比 $ν$ ・体積弾性率 $K$ ・横弾性係数 $G$ の 4 つで表されますが、独立なのはそのうち 2 つだけです。 $K = \frac{E}{3 ( 1 - 2 ν )}$ と $G = \frac{E}{2 ( 1 + ν )}$ を使えば、どれか 2 つがわかれば残りが求まります。水中や高圧容器の中のように物体が四方から一様な圧力 $p$ を受けるとき、体積変化の割合は $\frac{Δ V}{V} = - \frac{p}{K}$ で求められ、 $1/ K$ を圧縮率と呼びます。

なぜそうしてよいのか

体積弾性率 $K$ : 一様な静水圧 $p$ （押す向き）は $σ_{x} = σ_{y} = σ_{z} = - p$ と表せます。一般化フックの法則に入れると、3 方向とも
$ε_{x} = \frac{1}{E} [- p - ν (- p - p)] = - \frac{( 1 - 2 ν ) p}{E}$
です。体積ひずみは 3 方向のひずみの和なので（ $(1 + ε_{x}) (1 + ε_{y}) (1 + ε_{z}) - 1$ でひずみの 2 乗以上を無視）
$\frac{Δ V}{V} = 3 ε_{x} = - \frac{3 ( 1 - 2 ν )}{E} p .$
これを $\frac{Δ V}{V} = - \frac{p}{K}$ と書いたときの比例定数が体積弾性率で、 $K = \frac{E}{3 ( 1 - 2 ν )}$ となります。 $K > 0$ でなければ「押すと膨らむ」ことになるので、 $ν < \frac{1}{2}$ でなければなりません。

横弾性係数 $G$ : 横弾性係数は、せん断応力 $τ$ とせん断ひずみ $γ$ （直角だった角がずれる角度、ラジアン）の比 $τ = G γ$ で定義されます。正方形の要素の辺に $τ$ をかけた状態を、対角線（45° の向き）から見直すと、一方の対角線方向には引張り $σ_{1} = τ$ 、もう一方には圧縮 $σ_{2} = - τ$ がかかっている状態と同じになります。フックの法則から対角線方向の伸びのひずみは $ε_{1} = \frac{1}{E} (τ + ν τ) = \frac{( 1 + ν ) τ}{E}$ です。一方、正方形が角度 $γ$ だけゆがむと、伸びる側の対角線のひずみは幾何学的に（小さい変形で） $\frac{γ}{2}$ になります。 $\frac{γ}{2} = \frac{( 1 + ν ) τ}{E}$ から $τ = \frac{E}{2 ( 1 + ν )} γ$ 、つまり $G = \frac{E}{2 ( 1 + ν )}$ です。

このように $K$ も $G$ も $E$ と $ν$ から決まるので、4 つのうち 2 つを知れば残り 2 つは計算で出せます。

手順

与えられた 2 つの定数を確認し、単位をそろえる（ $E, K, G$ は応力と同じ単位、 $ν$ は無次元）
$ν$ がわからなければ、与えられた組から求める。 $E, G$ なら $ν = \frac{E}{2 G} - 1$ 、 $E, K$ なら $ν = \frac{1}{2} - \frac{E}{6 K}$
必要な定数を $K = \frac{E}{3 ( 1 - 2 ν )}$ 、 $G = \frac{E}{2 ( 1 + ν )}$ から計算する（ $E$ がわからなければ $E = 2 G (1 + ν)$ などで先に求める）
求めた値が $- 1 < ν < \frac{1}{2}$ 、 $K > 0$ 、 $G > 0$ を満たすか確かめる
静水圧 $p$ による体積変化は $\frac{Δ V}{V} = - \frac{p}{K}$ （圧縮なら負）、圧縮率は $\frac{1}{K}$ で求める

例題

ある鋼は均質・等方な線形弾性体とみなせ、縦弾性係数が $E = 210 GPa$ 、横弾性係数が $G = 80 GPa$ である。この鋼の塊が一様な静水圧 $p = 140 MPa$ を受けたときの体積ひずみ $\frac{Δ V}{V}$ を、分数で正確に求めよ（体積が減るときは負とする）。

例題の解答

手順 1: 単位を GPa にそろえると $E = 210$ 、 $G = 80$ 、 $p = 0.14$ （GPa）。

手順 2: $G = \frac{E}{2 ( 1 + ν )}$ から
$ν = \frac{E}{2 G} - 1 = \frac{210}{160} - 1 = \frac{5}{16} .$

手順 3:
$K = \frac{E}{3 ( 1 - 2 ν )} = \frac{210}{3 ( 1 - \frac{10}{16} )} = \frac{210}{3 \cdot \frac{6}{16}} = \frac{560}{3} GPa .$

手順 4: $ν = \frac{5}{16}$ は $- 1 < ν < \frac{1}{2}$ を満たし、 $K > 0$ なので妥当。

手順 5:
$\frac{Δ V}{V} = - \frac{p}{K} = - 0.14 \times \frac{3}{560} = - \frac{0.42}{560} = - \frac{3}{4000} .$
つまり体積が $0.075 %$ 減る。

答え: $- \frac{3}{4000}$

よくある誤り

体積ひずみを 1 方向のひずみと同じ $\frac{Δ V}{V} = ε_{x} = - \frac{( 1 - 2 ν ) p}{E}$ としてしまう誤り。正しくは 3 方向の和で $\frac{Δ V}{V} = 3 ε_{x} = - \frac{3 ( 1 - 2 ν ) p}{E} = - \frac{p}{K}$
$K$ と $G$ の分母を取り違えて $K = \frac{E}{2 ( 1 + ν )}$ 、 $G = \frac{E}{3 ( 1 - 2 ν )}$ としてしまう誤り。正しくは静水圧から導く $K = \frac{E}{3 ( 1 - 2 ν )}$ 、せん断から導く $G = \frac{E}{2 ( 1 + ν )}$ 。 $ν \to \frac{1}{2}$ で $K \to \infty$ （体積が変わらない）になるのが $K$ の方
$G$ から $ν$ を出すときに $ν = \frac{E}{G} - 1$ としてしまう誤り。正しくは $ν = \frac{E}{2 G} - 1$ （例: $E = 210, G = 80$ なら $ν = \frac{5}{16}$ で、 $\frac{13}{8}$ にはならない）
単位をそろえずに $\frac{p}{K}$ を計算してしまう誤り。 $p = 140 MPa$ 、 $K = \frac{560}{3} GPa$ なら $p = 0.14 GPa$ に直してから割る（ $140 \div \frac{560}{3} = 0.75$ のような 1000 倍の誤りになる）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
縦弾性係数（ヤング率） $E = 70 GPa$ 、ポアソン比 $ν = \frac{1}{3}$ の均質・等方な線形弾性体でできた、体積 $V = 1000 c m^{3}$ の金属ブロックがある。このブロックを液体中に沈め、表面全体に一様な静水圧 $p = 140 MPa$ を加えた。体積弾性率は $K = \frac{E}{3 ( 1 - 2 ν )}$ で与えられ、変形は微小で弾性範囲内にあるものとし、温度は変わらないとする。
ブロックの体積の減少量は何 $c m^{3}$ か。整数で求めよ。

この技能を使う問題

難易度 3（期末試験の応用レベル）
両端を閉じた薄肉の円筒形容器がある。円筒部分の肉厚の中心での半径は $a$ 、肉厚は $t (t ≪ a)$ 、円筒部分の長さは $L$ である。円筒の壁は、ヤング率 $E$ 、ポアソン比 $ν (0 < ν < \frac{1}{2})$ の均質・等方な線形弾性体でできている。容器の内容積は $V = π a^{2} L$ とみなす。
はじめ、容器は大気圧（ゲージ圧 $0$ ）の液体ですき間なく満たされている（気泡はない）。この容器に同じ液体をポンプで押し込み、容器内のゲージ圧を $p (> 0)$ にする。液体の体積弾性率は $K$ であり、圧力変化 $Δ P$ に対して体積は $Δ V / V = - Δ P / K$ にしたがって変化する。容器の外側は常に大気圧である。
次の近似を用いる。
- 薄肉近似：壁の中の半径方向の応力は、周方向・軸方向の応力に比べて無視し、周方向・軸方向の応力は肉厚方向に一様とする。
- 両端のふた（端板）自身の変形は無視する。ただし、円筒部分の軸方向の伸びによる容積変化は考える。
- 変形は微小で、 $p$ について 1 次の量までを考える。温度は一定とする。
ゲージ圧を $0$ から $p$ にするために押し込む必要のある液体の体積を、大気圧（ゲージ圧 $0$ ）のもとで測った値として、 $a, t, L, p, E, ν, K$ を用いて求めよ。