流体力学・連続体の問題

ヤング率 $E$、ポアソン比 $\nu (0<\nu <\frac{1}{2})$ の均質・等方な線形弾性体でできた、直径 $D$ の一様な円柱形の棒がある。この棒の両端に、軸方向に大きさ $F(>0)$ の引張力を加えた。

引張応力は棒の断面内で一様に分布し、棒の側面には力がはたらかないものとする。また、ひずみは十分小さく、応力は変形前の断面積で計算してよい。引張によって棒の直径が減少する量 $\delta (>0)$ を、$F,D,E,\nu$ を用いて表せ。

長さ $L=100\mathrm{m}$ の一様な断面をもつ鋼の棒（線材）の上端を天井に固定し、鉛直につり下げた。棒の下端には何もつけず、棒は自重だけで静止している。鋼の密度を $\rho =7.8\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$、縦弾性係数を $E=2.0\times 10^{11}\mathrm{Pa}$、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。変形は微小で弾性範囲内にあり、各断面の応力は断面内で一様な単軸応力とみなす。

自重による棒全体の伸びは何 mm か。有効数字 2 桁で求めよ。

ヤング率 $E$、ポアソン比 $\nu (0<\nu <\frac{1}{2})$ の均質・等方な線形弾性体でできた直方体がある。直方体の各辺を $x,y,z$ 軸に平行にとる。

直方体の $x$ 軸に垂直な 2 つの面を、互いに平行に固定された 2 枚の剛体の壁に接触させる。壁と直方体の間に摩擦はなく、壁は直方体の $x$ 方向の伸び縮みを完全に妨げる（$x$ 方向のひずみが $0$）。この状態で、$z$ 軸に垂直な 2 つの面に一様な圧縮応力 $p(>0)$ を加える。$y$ 軸に垂直な 2 つの面には何も力を加えない（自由表面）。直方体の内部の応力とひずみは一様で、変形は微小であり、重力は無視できるとする。

変形前の体積を $V$、変形による体積の変化を $\Delta V$ とするとき、体積ひずみ $\frac{\Delta V}{V}$ をひずみの 1 次の近似で $E,\nu ,p$ を用いて表せ（体積が増えるときを正とする）。

底面が水平な正方形（一辺 $0.40\mathrm{m}$）で、高さが $H=25\mathrm{cm}$ の直方体の木材がある。木材は均質で、密度は ${\rho }_{\mathrm{s}}=6.0\times 10^{2}kg/{\mathrm{m}}^3$ である。この木材を、底面を水平に保ったまま密度 ${\rho }_{\mathrm{f}}=1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$ の静止した水に浮かべたところ、そのまま静止した。重力加速度の大きさを $g$ とし、水面と木材の上面にはたらく大気圧は等しいものとする。

木材の喫水（水面から木材の底面までの深さ）は何 cm か。整数で求めよ。

断面積 $A=0.50{\mathrm{m}}^2$ の直円柱形の水槽が鉛直に置かれ、上面は大気に開いている。はじめ水深は $H=1.8\mathrm{m}$ で、時刻 $t=0$ に底面にある断面積 $a=5.0\times 10^{-4}{\mathrm{m}}^2$ の小孔を開いて水を大気中に流出させる。水深が $h$ のときの小孔からの流出速度はトリチェリの定理 $v=\sqrt{2gh}$ で与えられるとし（準定常近似）、流出する噴流の断面積は小孔の断面積 $a$ に等しいとする。重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とし、水の粘性と縮流は無視する。

水槽が空になるまでの時間は何 s か。根号を含む正確な値で求めよ。