自由スカラー場の正準量子化とモード展開

ラグランジアン密度から正準運動量 $π = \partial_{0} ϕ$ とハミルトニアンを求め、同時刻交換関係 $[ϕ (t, x), π (t, y)] = i δ^{3} (x - y)$ とモード展開 $ϕ = \int \frac{d ^{3} p}{( 2 π ) ^{3}} \frac{1}{2 E _{p}} (a_{p} e^{- i p \cdot x} + a_{p}^{†} e^{i p \cdot x})$ から $[a_{p}, a_{q}^{†}] = (2 π)^{3} δ^{3} (p - q)$ を確かめ、ハミルトニアン・運動量演算子を生成消滅演算子で書いて多粒子状態のエネルギーを求められる

前提

調和振動子と昇降演算子（大学物理量子力学（1 次元の問題））
ルジャンドル変換とハミルトニアン（大学物理解析力学）
フーリエ変換（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）

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算数中学高校大学大学院

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フーリエ変換（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）

説明

質量 $m$ の実スカラー場 $ϕ (x)$ を、空間の各点に 1 つずつ置かれた座標 $ϕ (x)$ をもつ力学系とみなし、解析力学の手順（正準運動量・ルジャンドル変換）と調和振動子の量子化をそのまま当てはめます。場をフーリエ成分に分けると、各運動量 $p$ の成分が振動数 $E_{p} = p^{2} + m^{2}$ の独立な調和振動子になり、その昇降演算子 $a_{p}, a_{p}^{†}$ が「運動量 $p$ の粒子を 1 個消す・作る」演算子になります。これにより、多粒子状態のエネルギーや運動量を、粒子 1 個ずつの $E_{p}$ と $p$ の和として求められます。

なぜそうしてよいのか

計量を $(+, -, -, -)$ 、 $ℏ = c = 1$ とし、 $L = \frac{1}{2} \partial_{μ} ϕ \partial^{μ} ϕ - \frac{1}{2} m^{2} ϕ^{2} = \frac{1}{2} ϕ ˙^{2} - \frac{1}{2} (\nabla ϕ)^{2} - \frac{1}{2} m^{2} ϕ^{2}$ とします。 $ϕ (x)$ を添字 $x$ の一般化座標とみると、一般化運動量は $π (x) = \frac{\partial L}{\partial ϕ ˙} = ϕ ˙$ 、ルジャンドル変換で
$H = \int d^{3} x (π ϕ ˙ - L) = \int d^{3} x [\frac{1}{2} π^{2} + \frac{1}{2} (\nabla ϕ)^{2} + \frac{1}{2} m^{2} ϕ^{2}]$
です。正準交換関係 $[q_{i}, p_{j}] = i δ_{ij}$ の連続版が $[ϕ (t, x), π (t, y)] = i δ^{3} (x - y)$ （ $[ϕ, ϕ] = [π, π] = 0$ ）です。空間についてフーリエ変換すると $\nabla$ がかけ算 $i p$ に変わるので、 $H$ は各 $p$ ごとの振動数 $E_{p} = p^{2} + m^{2}$ の調和振動子の和になります。調和振動子で $x = \frac{1}{2 ω} (a + a^{†})$ と書いたのと同じく、 $p \cdot x = E_{p} t - p \cdot x$ として（以下 $\int_{p} = \int \frac{d ^{3} p}{( 2 π ) ^{3}}$ ）
$ϕ = \int_{p} \frac{1}{2 E _{p}} (a_{p} e^{- i p \cdot x} + a_{p}^{†} e^{i p \cdot x}), π = \int_{p} (- i) \frac{E _{p}}{2} (a_{p} e^{- i p \cdot x} - a_{p}^{†} e^{i p \cdot x}), \nabla ϕ = \int_{p} \frac{i p}{2 E _{p}} (a_{p} e^{- i p \cdot x} - a_{p}^{†} e^{i p \cdot x})$
と展開します（各項はクライン・ゴルドン方程式を満たす）。

交換関係. $t = 0$ で $ϕ, π$ に $e^{- i p \cdot x}$ を掛けて積分すると、 $\int d^{3} x e^{i (k - p) \cdot x} = (2 π)^{3} δ^{3} (k - p)$ により $\int e^{- i p \cdot x} ϕ = \frac{a _{p} + a _{- p}^{†}}{2 E _{p}}$ 、 $\int e^{- i p \cdot x} π = - i \frac{E _{p}}{2} (a_{p} - a_{- p}^{†})$ です。 $E_{p} /2$ 倍と $i / 2 E_{p}$ 倍して足すと $\frac{1}{2} (a_{p} + a_{- p}^{†}) + \frac{1}{2} (a_{p} - a_{- p}^{†})$ となり、 $a_{- p}^{†}$ が打ち消し合って
$a_{p} = \int d^{3} x e^{- i p \cdot x} (\frac{E _{p}}{2} ϕ + \frac{i}{2 E _{p}} π), a_{q}^{†} = \int d^{3} y e^{i q \cdot y} (\frac{E _{q}}{2} ϕ - \frac{i}{2 E _{q}} π)$
です。 $[ϕ, ϕ] = [π, π] = 0$ なので、交換子は 2 項だけ残ります:
$[a_{p}, a_{q}^{†}] = \iint e^{- i p \cdot x + i q \cdot y} {\frac{E _{p}}{2} \frac{- i}{2 E _{q}} [ϕ (x), π (y)] + \frac{i}{2 E _{p}} \frac{E _{q}}{2} [π (x), ϕ (y)]} .$
第 1 項は $\frac{- i}{2} \frac{E _{p}}{E _{q}} \cdot i δ^{3} = \frac{1}{2} \frac{E _{p}}{E _{q}} δ^{3}$ 、第 2 項は $\frac{i}{2} \frac{E _{q}}{E _{p}} \cdot (- i) δ^{3} = \frac{1}{2} \frac{E _{q}}{E _{p}} δ^{3}$ 。 $y$ 積分で $y = x$ とし、 $x$ 積分で $(2 π)^{3} δ^{3} (p - q)$ が出て $E_{p} = E_{q}$ となるので、括弧の和が $1$ になり $[a_{p}, a_{q}^{†}] = (2 π)^{3} δ^{3} (p - q)$ 。同様に $[a_{p}, a_{q}] = 0$ です。

ハミルトニアン. 展開を $H$ に代入すると、 $\int_{p} \int_{q}$ の二重積分の中に $\int d^{3} x e^{\mp i (p + q) \cdot x}$ （ $aa$ 、 $a^{†} a^{†}$ の項）と $\int d^{3} x e^{\pm i (p - q) \cdot x}$ （ $a a^{†}$ 、 $a^{†} a$ の項）が現れ、それぞれ $(2 π)^{3} δ^{3} (p + q)$ 、 $(2 π)^{3} δ^{3} (p - q)$ になります。 $\frac{1}{2} π^{2}, \frac{1}{2} (\nabla ϕ)^{2}, \frac{1}{2} m^{2} ϕ^{2}$ からの $a_{p} a_{q}$ の係数はそれぞれ $\frac{- E _{p} E _{q}}{4 E _{p} E _{q}}$ 、 $\frac{( i p ) \cdot ( i q )}{4 E _{p} E _{q}}$ 、 $\frac{m ^{2}}{4 E _{p} E _{q}}$ で、和は
$\frac{- E _{p} E _{q} - p \cdot q + m ^{2}}{4 E _{p} E _{q}} q = - p \frac{- E _{p}^{2} + p ^{2} + m ^{2}}{4 E _{p}} = 0$
と消えます（ $a^{†} a^{†}$ も同様）。 $a_{p} a_{q}^{†}$ の係数は $\frac{E _{p} E _{q} + p \cdot q + m ^{2}}{4 E _{p} E _{q}}$ で、 $q = p$ では $\frac{2 E _{p}^{2}}{4 E _{p}} = \frac{E _{p}}{2}$ 。 $a^{†} a$ も同じで、時間の位相 $e^{\mp i (E_{p} - E_{q}) t}$ も $1$ になるので
$H = \int_{p} \frac{E _{p}}{2} (a_{p} a_{p}^{†} + a_{p}^{†} a_{p}) = \int_{p} E_{p} (a_{p}^{†} a_{p} + \frac{1}{2} (2 π)^{3} δ^{3} (0)) .$
最後の項は各振動子の零点エネルギーの和（無限大の定数）で、エネルギーの原点をずらして捨てます（正規順序: $a^{†}$ を左に並べる）。

運動量演算子. $P = - \int d^{3} x π \nabla ϕ$ でも同様に、 $\nabla ϕ$ が $\pm i q$ を出します。 $a_{p} a_{q}^{†}$ の係数は $- (- i) \frac{E _{p}}{2} \cdot \frac{- i q}{2 E _{q}} \to \frac{p}{2}$ 、 $a_{p}^{†} a_{q}$ の係数は $- (i) \frac{E _{p}}{2} \cdot \frac{i q}{2 E _{q}} \to \frac{p}{2}$ （ $q = p$ ）。 $aa$ の項は $q = - p$ で $\frac{p}{2} a_{p} a_{- p} e^{- 2 i E_{p} t}$ となり、 $a_{p} a_{- p}$ は $p \to - p$ で変わらないのに $p$ が符号を変えるので、 $p$ 積分で $0$ （ $a^{†} a^{†}$ も同様）。よって $a^{†} a$ の項だけが残り、 $P = \int_{p} p a_{p}^{†} a_{p}$ です（交換子の定数 $\frac{p}{2} (2 π)^{3} δ^{3} (0)$ も奇関数で消える）。

交換関係から $[H, a_{p}^{†}] = E_{p} a_{p}^{†}$ 、 $[P, a_{p}^{†}] = p a_{p}^{†}$ なので、 $a_{p}^{†}$ を 1 回かけるごとにエネルギー $E_{p}$ 、運動量 $p$ が加わります。

手順

ラグランジアン密度から正準運動量 $π = \frac{\partial L}{\partial ϕ ˙}$ を求め、ハミルトニアン密度 $H = π ϕ ˙ - L$ を $π, ϕ$ で書く（自由スカラー場では $H = \frac{1}{2} π^{2} + \frac{1}{2} (\nabla ϕ)^{2} + \frac{1}{2} m^{2} ϕ^{2}$ ）。
同時刻交換関係 $[ϕ (t, x), π (t, y)] = i δ^{3} (x - y)$ を課す。 $t = 0$ でフーリエ逆変換して $a_{p} = \int d^{3} x e^{- i p \cdot x} (E_{p} /2 ϕ + iπ / 2 E_{p})$ （ $a_{- p}^{†}$ は打ち消し合う）とし、 $[ϕ, π]$ と $[π, ϕ]$ の 2 項から $[a_{p}, a_{q}^{†}] = (2 π)^{3} δ^{3} (p - q)$ を確かめる。
展開を $H$ と $P = - \int π \nabla ϕ$ に代入して $x$ 積分を実行する。 $δ^{3} (p + q)$ のつく $aa, a^{†} a^{†}$ の項は係数 $- E_{p} E_{q} - p \cdot q + m^{2} = 0$ （ $H$ ）や奇関数の積分（ $P$ ）で消え、零点エネルギーを除いて（正規順序） $H = \int_{p} E_{p} a_{p}^{†} a_{p}$ 、 $P = \int_{p} p a_{p}^{†} a_{p}$ を得る。
$[H, a_{p}^{†}] = E_{p} a_{p}^{†}$ 、 $[P, a_{p}^{†}] = p a_{p}^{†}$ と $H ∣0 ⟩ = P ∣0 ⟩ = 0$ を使い、多粒子状態 $a_{p_{1}}^{†} \dots a_{p_{k}}^{†} ∣0 ⟩$ のエネルギー $\sum_{i} E_{p_{i}}$ と運動量 $\sum_{i} p_{i}$ を求める。

例題

計量 $(+, -, -, -)$ 、 $ℏ = c = 1$ とし、質量 $m$ の実スカラー場 $L = \frac{1}{2} \partial_{μ} ϕ \partial^{μ} ϕ - \frac{1}{2} m^{2} ϕ^{2}$ を正準量子化する。モード展開 $ϕ = \int \frac{d ^{3} p}{( 2 π ) ^{3}} \frac{1}{2 E _{p}} (a_{p} e^{- i p \cdot x} + a_{p}^{†} e^{i p \cdot x})$ 、 $E_{p} = p^{2} + m^{2}$ を用い、ハミルトニアンと運動量演算子は正規順序をとって真空 $∣0 ⟩$ のエネルギーと運動量を $0$ とする。 $m = 4$ のとき、状態 $a_{k}^{†} a_{k}^{†} a_{0}^{†} ∣0 ⟩$ （ $k = (3, 0, 0)$ 、 $0 = (0, 0, 0)$ ）のエネルギー $E$ と運動量の $x$ 成分 $P_{x}$ を、 $(E, P_{x})$ の順に求めよ。

例題の解答

手順 1: $π = ϕ ˙$ 、 $H = \frac{1}{2} π^{2} + \frac{1}{2} (\nabla ϕ)^{2} + \frac{1}{2} m^{2} ϕ^{2}$ 。

手順 2: モード展開と同時刻交換関係から $[a_{p}, a_{q}^{†}] = (2 π)^{3} δ^{3} (p - q)$ 、 $[a_{p}, a_{q}] = 0$ 。

手順 3: $aa, a^{†} a^{†}$ の項が消え、正規順序をとって $H = \int \frac{d ^{3} p}{( 2 π ) ^{3}} E_{p} a_{p}^{†} a_{p}$ 、 $P = \int \frac{d ^{3} p}{( 2 π ) ^{3}} p a_{p}^{†} a_{p}$ 。

手順 4: 交換関係から $[H, a_{q}^{†}] = \int \frac{d ^{3} p}{( 2 π ) ^{3}} E_{p} a_{p}^{†} (2 π)^{3} δ^{3} (p - q) = E_{q} a_{q}^{†}$ 。 $H a^{†} = a^{†} H + E a^{†}$ を使って $H$ を右へ順に通過させると、1 回ごとに $E$ が加わり、最後に $H ∣0 ⟩ = 0$ なので
$H a_{k}^{†} a_{k}^{†} a_{0}^{†} ∣0 ⟩ = (2 E_{k} + E_{0}) a_{k}^{†} a_{k}^{†} a_{0}^{†} ∣0 ⟩ .$
$E_{k} = 3^{2} + 4^{2} = 5$ 、 $E_{0} = m = 4$ なので $E = 2 \cdot 5 + 4 = 14$ 。運動量も同様に $P = 2 k + 0 = (6, 0, 0)$ で、 $P_{x} = 6$ 。

よって $(E, P_{x}) = (14, 6)$ 。

答え: $(14, 6)$

よくある誤り

$H$ を $\int \frac{d ^{3} p}{( 2 π ) ^{3}} E_{p} (a_{p}^{†} a_{p} + \frac{1}{2} (2 π)^{3} δ^{3} (0))$ のまま使い、真空や多粒子状態のエネルギーに零点エネルギーを残す誤り。この項は無限大の定数で、正規順序でエネルギーの原点をずらして除く。
同じ運動量の粒子が 2 個ある状態 $a_{k}^{†} a_{k}^{†} ∣0 ⟩$ のエネルギーを、「運動量 $k$ のモードは 1 つだから」と 1 個分の $E_{k}$ にしたり、2 個分を積 $E_{k} \cdot E_{k} = E_{k}^{2}$ にしたりする誤り。正しくは $[H, a_{k}^{†}] = E_{k} a_{k}^{†}$ により $a_{k}^{†}$ を 1 回かけるごとに $E_{k}$ が足されるので、エネルギーは和の $2 E_{k}$ （ボース粒子なので同じ運動量に何個でも入れる）。
$e^{- i p \cdot x}$ の 4 元内積の符号を取り違え、 $t = 0$ で $a_{p}$ に掛かる空間因子を $e^{- i p \cdot x}$ とする誤り。計量 $(+, -, -, -)$ では $p \cdot x = E_{p} t - p \cdot x$ なので、 $e^{- i p \cdot x} ∣_{t = 0} = e^{+ i p \cdot x}$ であり、逆変換は $a_{p} = \int d^{3} x e^{- i p \cdot x} (E_{p} /2 ϕ + iπ / 2 E_{p})$ となる。
静止した粒子のエネルギーを $0$ とする誤り。 $E_{0} = 0 + m^{2} = m$ で、運動量 $0$ の粒子も静止エネルギー $m$ をもつ。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
自然単位系 $ℏ = c = 1$ 、計量の符号 $(+, -, -, -)$ を用いる。質量 $m > 0$ の実スカラー場 $ϕ (x)$ のラグランジアン密度を
$L = \frac{1}{2} \partial_{μ} ϕ \partial^{μ} ϕ - \frac{1}{2} m^{2} ϕ^{2}$
とする。正準運動量を $π = \partial_{0} ϕ$ とし、同時刻交換関係 $[ϕ (t, x), π (t, y)] = i δ^{3} (x - y)$ を課して、モード展開
$ϕ (x) = \int \frac{d ^{3} p}{( 2 π ) ^{3}} \frac{1}{2 E _{p}} (a_{p} e^{- i p \cdot x} + a_{p}^{†} e^{i p \cdot x}), E_{p} = ∣ p ∣^{2} + m^{2}$
で量子化する（ $[a_{p}, a_{q}^{†}] = (2 π)^{3} δ^{3} (p - q)$ ）。ハミルトニアンは正規順序をとって真空 $∣0 ⟩$ のエネルギーを $0$ とする。
$k = (\frac{3}{4} m, 0, 0)$ として、状態
$∣Ψ ⟩ = a_{k}^{†} a_{- k}^{†} a_{0}^{†} ∣0 ⟩$
はハミルトニアン $H$ の固有状態である。その固有値（全エネルギー）を $m$ を用いて表せ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

真空 2 点関数と運動量積分（大学院物理場の量子論）
ファインマン伝播関数と iε 処方（大学院物理場の量子論）
場と結合定数の質量次元（大学院物理場の量子論）