場の量子論

自然単位系 $\hslash =c=1$、計量の符号 $(+,-,-,-)$ を用いる。質量 $m>0$ の実スカラー場 $\varphi (x)$ のラグランジアン密度を
$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi -\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }^2$$
とする。正準運動量を $\pi ={\partial }_0\varphi$ とし、同時刻交換関係 $[\varphi (t,\mathbf{x}),\pi (t,\mathbf{y})]=i{\delta }^3(\mathbf{x}-\mathbf{y})$ を課して、モード展開
$$\varphi (x)=\int \frac{d^{3}p}{(2\pi {)}^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\mathbf{p}}}}\left(a_{\mathbf{p}}{e}^{-ip\cdot x}+a_{\mathbf{p}}^{†}{e}^{ip\cdot x}\right),E_{\mathbf{p}}=\sqrt{|\mathbf{p}{|}^2+m^2}$$
で量子化する（$[a_{\mathbf{p}},a_{\mathbf{q}}^{†}]=(2\pi {)}^3{\delta }^3(\mathbf{p}-\mathbf{q})$）。ハミルトニアンは正規順序をとって真空 $|0⟩$ のエネルギーを $0$ とする。

$\mathbf{k}=\left(\frac{3}{4}m,0,0\right)$ として、状態
$$|\Psi ⟩=a_{\mathbf{k}}^{†}{a}_{-\mathbf{k}}^{†}{a}_0^{†}|0⟩$$
はハミルトニアン $H$ の固有状態である。その固有値（全エネルギー）を $m$ を用いて表せ。

次元正則化で使う $d$ 次元時空のディラック行列 ${\gamma }^{\mu }$ を考える。ここで $d$ は整数とは限らない形式的なパラメータとして扱い、計算は次の規則だけを使う代数的な操作とする。

• 反交換関係 $\{{\gamma }^{\mu },{\gamma }^{\nu }\}=2g^{\mu \nu }1$
• 計量の縮約 $g^{\mu \nu }{g}_{\mu \nu }=d$、$g^{\mu }{}_{\nu }{g}^{\nu }{}_{\rho }=g^{\mu }{}_{\rho }$（計量の符号の流儀は $(+,-,\dots ,-)$）
• トレースは線形で、規約として $\mathrm{Tr}1=4$ とする

添字はアインシュタインの縮約規約に従って和をとる。このとき
$$\mathrm{Tr}\left[{\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }{\gamma }_{\mu }{\gamma }_{\nu }\right]$$
を $d$ の式で求めよ。

自然単位系 $\hslash =c=1$、計量の符号 $(+,-,-,-)$ を用いる。質量ゼロの自由な実スカラー場 $\varphi (x)$ を
$$\varphi (x)=\int \frac{d^{3}p}{(2\pi {)}^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\mathbf{p}}}}\left(a_{\mathbf{p}}{e}^{-ip\cdot x}+a_{\mathbf{p}}^{†}{e}^{ip\cdot x}\right),E_{\mathbf{p}}=|\mathbf{p}|,[a_{\mathbf{p}},a_{\mathbf{q}}^{†}]=(2\pi {)}^3{\delta }^3(\mathbf{p}-\mathbf{q})$$
とモード展開し、$|0⟩$ を $a_{\mathbf{p}}|0⟩=0$ を満たす真空とする。正準運動量は $\pi ={\partial }_0\varphi$ である。

同時刻 $t=0$ での真空相関関数
$$⟨0|\pi (0,\mathbf{x})\pi (0,0)|0⟩$$
を、$r=|\mathbf{x}|>0$ の式で求めよ。ただし、運動量積分には収束因子 $e^{-\epsilon |\mathbf{p}|}$ $(\epsilon >0)$ を掛けて計算し、最後に $\epsilon \to +0$ の極限をとるものとする。

自然単位系 $\hslash =c=1$、計量の符号 $(+,-,-,-)$ を用いる。質量 $m$ の自由な実スカラー場のファインマン伝播関数
$$D_F(x-y)=\int \frac{d^{4}p}{(2\pi {)}^4}\frac{i}{p^2-m^2+i\epsilon }{e}^{-ip\cdot (x-y)}$$
で、空間運動量 $\mathbf{p}$ を固定したときの $p^0$ 積分
$$I(t)=\underset{\epsilon \to +0}{\lim }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{d{p}^0}{2\pi }\frac{i{e}^{-i{p}^{0}t}}{(p^0{)}^2-E^2+i\epsilon }$$
を考える。ここで $E=\sqrt{|\mathbf{p}{|}^2+m^2}>0$ である。

$t>0$ のとき、$I(t)$ を $E$ と $t$ の式で求めよ。

自然単位系 $\hslash =c=1$ を用い、質量次元を $[\cdot ]$ で表す（$[{\partial }_{\mu }]=1$, $[d^{d}x]=-d$）。$d=5$ 次元時空で、実スカラー場 $\varphi$ とディラック場 $\psi$ の作用
$$S=\int d^{5}x\left[\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi -\frac{1}{2}{M}^2{\varphi }^2+\bar{\psi }(i{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m)\psi -g\varphi \bar{\psi }\psi \right]$$
を考える。作用 $S$ が無次元であることから、湯川結合定数 $g$ の質量次元 $[g]$ を求めよ。

自由な実スカラー場 $\varphi$ の真空期待値（時間順序積）を $⟨\cdots {⟩}_0$ で表し、2 点関数を
$$⟨\varphi (x)\varphi (x){⟩}_0=⟨\varphi (y)\varphi (y){⟩}_0=G_0,⟨\varphi (x)\varphi (y){⟩}_0=G_1$$
とおく（$x\ne y$ は異なる 2 つの時空点、$G_0$, $G_1$ は定数とみなす）。自由場では奇数個の場の期待値は $0$ であり、ウィックの定理が成り立つ。

$$⟨\varphi (x{)}^3\varphi (y{)}^3{⟩}_0$$
を $G_0$ と $G_1$ の式で求めよ。

自然単位系 $\hslash =c=1$、計量の符号 $(+,-,\dots ,-)$ を用い、時空の次元を $d=4-ϵ$ とする次元正則化を考える。質量 $m>0$ の粒子 2 本からなる 1 ループ積分
$$B(p^2)=\int \frac{d^d\ell }{(2\pi {)}^d}\frac{1}{({\ell }^2-m^2+i\epsilon )\left((\ell +p{)}^2-m^2+i\epsilon \right)}$$
を、$ϵ\to 0$ で
$$B(p^2)=\frac{C}{ϵ}+(ϵ\text{ について有限な項})$$
と展開する。公式
$$\int \frac{d^d\ell }{(2\pi {)}^d}\frac{1}{({\ell }^2-\Delta {)}^n}=\frac{(-1{)}^{n}i}{(4\pi {)}^{d/2}}\frac{\Gamma (n-d/2)}{\Gamma (n)}{\Delta }^{d/2-n}$$
を用いてよい（$\Delta >0$ とする）。極の係数 $C$ を求めよ。ただし $i$ は虚数単位で、$p$ は $m^2-x(1-x)p^2>0$（$0\le x\le 1$）を満たす外部運動量とする。

0 次元の場の理論（ただ 1 つの実変数 $\varphi$ の積分）として
$$Z(g)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }d\varphi \exp \left(-\frac{1}{2}{\varphi }^2-\frac{g}{3!}{\varphi }^3\right)$$
を考える。$g$ は実数の結合定数で、$Z(g)$ は $g$ の形式的なべき級数として展開するものとする（伝播関数は $⟨\varphi \varphi {⟩}_0=1$、頂点因子は $-\frac{g}{3!}$）。

$g^2$ の次数のファインマン図（2 頂点の真空図）を列挙して対称因子を求め、連結図の和として
$$\log Z(g)=c{g}^2+O(g^4)$$
と書いたときの係数 $c$ を求めよ。

自然単位系 $\hslash =c=1$、計量の符号 $(+,-,-,-)$ を用いる。質量 $m$ の実スカラー場 $\varphi$ のラグランジアン密度を
$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi -\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }^2-\frac{g}{3!}{\varphi }^3$$
とする（$g$ は実数の結合定数）。この理論のファインマン則は、頂点因子 $-ig$、運動量 $q$ の内線の伝播関数 $\frac{i}{q^2-m^2+i\epsilon }$ である。

2 粒子散乱 $\varphi (p_1)+\varphi (p_2)\to \varphi (p_3)+\varphi (p_4)$ の不変振幅 $\mathcal{M}$ を、$i\mathcal{M}$ が連結で切断された（amputated）ファインマン図の和に等しいと定める。マンデルスタム変数
$$s=(p_1+p_2{)}^2,t=(p_1-p_3{)}^2,u=(p_1-p_4{)}^2$$
を用いて、$g$ の最低次（樹木図レベル）の $\mathcal{M}$ を $g,m,s,t,u$ の式で求めよ。ただし $s,t,u$ はいずれも $m^2$ と異なるとし、$i\epsilon$ は省略してよい。

自然単位系 $\hslash =c=1$ を用いる。$d=6$ 次元時空の実スカラー場の理論
$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi -\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }^2-\frac{g}{3!}{\varphi }^3$$
を考える。伝播関数は大きな運動量 $k$ で $1/k^2$ のようにふるまい、頂点は運動量によらない。

この理論の 1PI ファインマン図で、外線の本数を $N$、内線の本数を $I$、頂点の数を $V$、ループの数を $L=I-V+1$ とすると、表面的発散次数は $D=6L-2I$ で与えられる。$D$ を $N$ だけの式で表せ（$N$ は正の整数）。

自然単位系 $\hslash =c=1$、計量の符号 $(+,-,-,-)$ を用いる。${\gamma }^5=i{\gamma }^0{\gamma }^1{\gamma }^2{\gamma }^3$ は $({\gamma }^5{)}^2=1$、$\{{\gamma }^5,{\gamma }^{\mu }\}=0$、$({\gamma }^5{)}^{†}={\gamma }^5$ を満たし、$\mathrm{Tr}1=4$ とする。

質量 $M$ の擬スカラー場 $\varphi$ が、質量 $m$ のディラック場 $\psi$ と相互作用
$${\mathcal{L}}_{\text{int}}=-ig\varphi \bar{\psi }{\gamma }^5\psi (g\text{ は実数})$$
で結合しており、$M>2m$ とする。崩壊 $\varphi \to \psi (p_1)\bar{\psi }(p_2)$ の最低次の不変振幅は
$$\mathcal{M}=g\bar{u}(p_1){\gamma }^{5}v(p_2)$$
である。終状態のスピンについて和をとった $\sum _{\text{spins}}|\mathcal{M}{|}^2$ を、$g$ と $M$ の式で求めよ。ただしスピン和には ${\sum }_{s}u\bar{u}=/p+m$、${\sum }_{s}v\bar{v}=/p-m$ を用いる。

自然単位系 $\hslash =c=1$、計量の符号 $(+,-,-,-)$ を用いる。質量 $m$ の実スカラー場 $\chi$ と質量ゼロの実スカラー場 $\varphi$ が
$${\mathcal{L}}_{\text{int}}=-\frac{\lambda }{4}{\chi }^2{\varphi }^2(\lambda >0)$$
で相互作用している。過程 $\chi \chi \to \varphi \varphi$ の最低次の不変振幅は角度によらず $\mathcal{M}=-\lambda$ である。

重心系のエネルギーの 2 乗を $s$（$s>4m^2$）とし、重心系の公式
$$\frac{d\sigma }{d\Omega }=\frac{1}{64{\pi }^{2}s}\frac{|{\mathbf{p}}_f|}{|{\mathbf{p}}_i|}|\mathcal{M}{|}^2$$
を用いて、この過程の最低次の全断面積 $\sigma$ を $\lambda ,m,s$ の式で求めよ。ただし終状態の 2 個の $\varphi$ は同種粒子であることに注意せよ。

自然単位系 $\hslash =c=1$、計量の符号 $(+,-,-,-)$ を用い、時空の次元を $d=4-ϵ$ とする次元正則化と最小引き算（$\frac{1}{ϵ}$ 極だけを相殺項で取り除く）を使う。実スカラー場の理論
$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi -\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }^2-\frac{\lambda }{4!}{\varphi }^4$$
を考え、頂点因子は $-i\lambda$、伝播関数は $\frac{i}{k^2-m^2+i\epsilon }$ とする。結合定数の相殺項 ${\delta }_{\lambda }$ は頂点因子 $-i{\delta }_{\lambda }$ を与える。

2→2 散乱の 1 ループ図は $s$, $t$, $u$ の 3 つのチャネルのバブル図（いずれも対称因子 $\frac{1}{2}$）で、各チャネルの運動量積分の極部分は
$$\int \frac{d^d\ell }{(2\pi {)}^d}\frac{1}{({\ell }^2-m^2)\left((\ell +q{)}^2-m^2\right)}=\frac{i}{8{\pi }^2ϵ}+(\text{有限})$$
である（$q$ はそのチャネルの運動量）。

裸の結合定数 ${\lambda }_0={\mu }^{ϵ}(\lambda +{\delta }_{\lambda })$ が繰り込みスケール $\mu$ によらないことから、$ϵ\to 0$ でのベータ関数を
$$\beta (\lambda )=\mu \frac{d\lambda }{d\mu }=b{\lambda }^2+O({\lambda }^3)$$
と書くとき、係数 $b$ を求めよ。

自然単位系 $\hslash =c=1$、計量の符号 $(+,-,-,-)$ を用いる。質量 $M$ の実スカラー場 $\Phi$ と質量 $m$ の実スカラー場 $\varphi$ が
$${\mathcal{L}}_{\text{int}}=-\frac{\mu }{2}\Phi {\varphi }^2$$
で相互作用している（$\mu >0$ は質量次元 $1$ の結合定数）。$M>2m$ とする。この相互作用から、崩壊 $\Phi \to \varphi \varphi$ の最低次の不変振幅は $\mathcal{M}=-\mu$ となる。

静止系の 2 体崩壊の崩壊幅の公式
$$\Gamma =\frac{|\mathbf{p}|}{8\pi M^2}|\mathcal{M}{|}^2\times S,|\mathbf{p}|=\frac{M}{2}\sqrt{1-\frac{4m^2}{M^2}}$$
（$S$ は終状態が同種粒子 2 個なら $\frac{1}{2}$、そうでなければ $1$）を用いて、$\Phi \to \varphi \varphi$ の最低次の崩壊幅 $\Gamma$ を $\mu ,M,m$ の式で求めよ。

自然単位系 $\hslash =c=1$ を用い、時空の次元を $d=4-ϵ$ とする次元正則化と最小引き算を使う。光子（結合定数 $e>0$）が次の Dirac フェルミオンと結合している QED 型の理論を考える。
- 電荷 $Q=-1$ のフェルミオン 1 種類
- 電荷 $Q=+\frac{2}{3}$ のフェルミオンが 3 種類（3 色）
- 電荷 $Q=-\frac{1}{3}$ のフェルミオンが 3 種類（3 色）

電荷 $Q_f$ の Dirac フェルミオン 1 種類のループ（真空偏極）は、光子の場の繰り込み定数に
$$\delta Z_3^{(f)}=-\frac{e^2{Q}_f^2}{6{\pi }^2ϵ}$$
の寄与をし、$Z_3=1+{\sum }_f\delta Z_3^{(f)}$ となる。ウォード恒等式 $Z_1=Z_2$ により、裸の結合定数は $e_0={\mu }^{ϵ/2}{Z}_3^{-1/2}e$ と書ける。

$e_0$ が繰り込みスケール $\mu$ によらないことから、$ϵ\to 0$ でのベータ関数を
$$\beta (e)=\mu \frac{de}{d\mu }=b{e}^3+O(e^5)$$
と書くとき、係数 $b$ を求めよ。

次元正則化で用いる $d$ 次元時空を考える。計量の符号は $(+,-,\dots ,-)$ とし、ディラック行列 ${\gamma }^{\mu }$ $(\mu =0,1,\dots ,d-1)$ は
$$\{{\gamma }^{\mu },{\gamma }^{\nu }\}=2g^{\mu \nu }1,g^{\mu }{}_{\mu }=d,\mathrm{Tr}1=4$$
を満たすものとする。添字の上下は $g_{\mu \nu }$ で行い、繰り返された添字については和をとる。このとき
$$T(d)=\mathrm{Tr}\left[{\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\rho }{\gamma }_{\mu }{\gamma }_{\nu }{\gamma }_{\rho }\right]$$
を $d$ の多項式として求めよ。

$d$ 次元時空（$d$ は 2 以上の整数）で、実スカラー場 $\varphi$ とディラック場 $\psi$ が湯川相互作用
$${\mathcal{L}}_{\text{int}}=-g\varphi \bar{\psi }\psi$$
で結合している理論を考える。自然単位系 $\hslash =c=1$ を用いる。運動量空間で、スカラーの伝播関数は大きな運動量 $k$ で $1/k^2$、フェルミオンの伝播関数は $1/k$ のように振る舞い、頂点因子は運動量によらないとする。

外線のスカラー場の本数を $E_b$、外線のフェルミオン場の本数を $E_f$ とする。この理論の 1 ループ の 1 粒子既約（1PI）ダイアグラムの表面的発散次数 $D$ を、$d$, $E_b$, $E_f$ を用いて表せ（頂点の数 $V$ は消去すること）。

自然単位系 $\hslash =c=1$ をとり、4 次元時空の $SU(3)$ ゲージ理論を考える。物質場は次の 2 種類である。

• 基本表現に属する質量ゼロの Dirac フェルミオン 6 個
• 随伴表現に属する質量 $M$ の Dirac フェルミオン 1 個

群論的な量は $C_2(\text{adj})=3$、$T(\text{fund})=\frac{1}{2}$、$T(\text{adj})=3$ である。ゲージ結合定数 $g$ のベータ関数を 1 ループで
$$\beta (g)=\mu \frac{dg}{d\mu }=-\frac{b_0}{16{\pi }^2}{g}^3$$
と書き、$\alpha =\frac{g^2}{4\pi }$ とする。随伴フェルミオンの寄与は、くりこみスケール $\mu$ が $\mu <M$ では完全に無視し、$\mu >M$ では質量ゼロとして扱う（$\mu =M$ で係数 $b_0$ が階段関数的に切り替わり、$\alpha$ はそこで連続とする）。

スケール ${\mu }_0$ $({\mu }_0<M)$ で $\alpha ({\mu }_0)={\alpha }_0$ $({\alpha }_0>0)$ が与えられたとき、${\mu }_1>M$ を満たすスケール ${\mu }_1$ における $\alpha ({\mu }_1)$ を、1 ループの近似で ${\alpha }_0,{\mu }_0,{\mu }_1,M$ を用いて表せ。

自然単位系 $\hslash =c=1$、計量の符号 $(+,-,-,-)$ を用いる。$3+1$ 次元時空の質量ゼロの実スカラー場 $\varphi (x)$ を考える。ラグランジアン密度は
$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi$$
である。正準運動量は $\pi (x)={\partial }_0\varphi (x)$ であり、同時刻交換関係 $[\varphi (t,\mathbf{x}),\pi (t,\mathbf{y})]=i{\delta }^3(\mathbf{x}-\mathbf{y})$ を課して量子化する。このとき場は
$$\varphi (x)=\int \frac{d^{3}p}{(2\pi {)}^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\mathbf{p}}}}\left(a_{\mathbf{p}}{e}^{-ip\cdot x}+a_{\mathbf{p}}^{†}{e}^{ip\cdot x}\right),E_{\mathbf{p}}=|\mathbf{p}|,[a_{\mathbf{p}},a_{\mathbf{q}}^{†}]=(2\pi {)}^3{\delta }^3(\mathbf{p}-\mathbf{q})$$
と展開される（$p^0=E_{\mathbf{p}}$、ほかの交換子は $0$）。真空 $|0⟩$ は、すべての $\mathbf{p}$ について $a_{\mathbf{p}}|0⟩=0$ を満たす規格化された状態とする。

演算子 $O(x)$ を
$$O(x)=\pi (x)+\frac{\partial \varphi }{\partial z}(x)$$
で定める（$z$ は空間座標の第 3 成分）。$a>0$ を定数とし、2 点 $x=(t,0,0,a)$、$y=(t,0,0,0)$ をとる（同時刻）。真空期待値
$$⟨0|O(x)O(y)|0⟩$$
を $a$ の式で求めよ。ただし、運動量積分は被積分関数に収束因子 $e^{-\epsilon |\mathbf{p}|}$ を掛けて計算し、$\epsilon \to +0$ の極限をとったものと解釈する（$a>0$ なので極限は有限）。

自然単位系 $\hslash =c=1$ をとり、計量の符号を $(+,-,-,-)$ とする。実スカラー場 $\varphi$ のラグランジアン密度を
$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi +\frac{1}{2}{\mu }^2{\varphi }^2-\frac{\lambda }{4!}{\varphi }^4$$
とする。ここで $\mu >0$, $\lambda >0$ は定数である。この理論では $\varphi$ が真空期待値 $v>0$ をもつ。$\varphi =v+h$ と書き、場 $h$ が表す粒子（質量 $m_h$）を考える。

$h$ 粒子どうしの弾性散乱 $hh\to hh$ を、結合定数の最低次（樹木図レベル）で考える。重心系での全断面積 $\sigma (s)$ を、終状態の 2 粒子が同種粒子であることによる因子 $\frac{1}{2}$ を含めて全立体角で積分したものと定義する（$s$ は重心系の全エネルギーの 2 乗）。

閾値極限 ${\sigma }_0=\underset{s\to 4m_h^2+0}{\lim }\sigma (s)$ について、無次元量 $\frac{{\mu }^2{\sigma }_0}{{\lambda }^2}$ の値を求めよ（正確な値で答えよ）。

$d$ 次元ユークリッド空間上の $N$ 成分実スカラー場 ${\varphi }_a(x)$ $(a=1,\dots ,N)$ を考える。作用は
$$S=\int d^{d}x\left[\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }{\varphi }_a{\partial }_{\mu }{\varphi }_a+\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }_a{\varphi }_a+\frac{\lambda }{8}({\varphi }_a{\varphi }_a{)}^2\right]$$
であり、繰り返す添字については和をとる。$S_0$ を $\lambda =0$ の自由部分、$S_I=\frac{\lambda }{8}\int d^{d}x({\varphi }_a{\varphi }_a{)}^2$ を相互作用部分とし、分配関数を $Z=\int \mathcal{D}\varphi e^{-S}$、$Z_0=\int \mathcal{D}\varphi e^{-S_0}$ とする。自由場の伝播関数を
$$⟨{\varphi }_a(x){\varphi }_b(y){⟩}_0={\delta }_{ab}G(x-y)$$
とし、$G(0)$ は適当な正則化のもとで有限な定数として形式的に扱う（その値は求めなくてよい）。

ウィックの定理を用いて $\log (Z/Z_0)$ を $\lambda$ で展開したとき、その ${\lambda }^2$ の項は
$${\lambda }^2\left[c_1\int d^{d}x{d}^{d}yG(x-y{)}^4+c_{2}G(0{)}^2\int d^{d}x{d}^{d}yG(x-y{)}^2\right]$$
の形に書ける。係数 $c_1,c_2$ を $N$ の式で求め、組 $(c_1,c_2)$ の形で答えよ。

自然単位系 $\hslash =c=1$、計量の符号 $(+,-,-,-)$ を用いる。$3+1$ 次元時空の質量のない実スカラー場 $\varphi (x)$ を考える。ラグランジアン密度は
$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi$$
とする。共役運動量は $\pi ={\partial }_0\varphi$ であり、正準交換関係 $[\varphi (t,\mathbf{x}),\pi (t,\mathbf{y})]=i{\delta }^3(\mathbf{x}-\mathbf{y})$ を課す。場のモード展開は
$$\varphi (x)=\int \frac{d^{3}k}{(2\pi {)}^3}\frac{1}{\sqrt{2{\omega }_k}}\left(a_{\mathbf{k}}{e}^{-ik\cdot x}+a_{\mathbf{k}}^{†}{e}^{ik\cdot x}\right),{\omega }_k=|\mathbf{k}|,k^0={\omega }_k$$
で、$[a_{\mathbf{k}},a_{\mathbf{q}}^{†}]=(2\pi {)}^3{\delta }^3(\mathbf{k}-\mathbf{q})$、$[a_{\mathbf{k}},a_{\mathbf{q}}]=0$、真空 $|0⟩$ は $a_{\mathbf{k}}|0⟩=0$ を満たす。

同時刻 $t=0$ における、2 点 $\mathbf{x}$ と $0$（$r=|\mathbf{x}|>0$）の共役運動量の真空相関関数
$$G(r)=⟨0|\pi (0,\mathbf{x})\pi (0,0)|0⟩$$
を $r$ の式で求めよ。ただし、運動量積分が収束しない部分は、被積分関数に収束因子 $e^{-ϵ|\mathbf{k}|}$ $(ϵ>0)$ を掛けて計算したのち $ϵ\to +0$ の極限をとって定めるものとする。

$d$ 次元時空のディラック行列 ${\gamma }^{\mu }$ $(\mu =0,1,\dots ,d-1)$ は反交換関係
$$\{{\gamma }^{\mu },{\gamma }^{\nu }\}=2g^{\mu \nu }1$$
を満たすとする。計量の符号は $(+,-,\dots ,-)$、$g^{\mu }{}_{\mu }=d$ とし、単位行列のトレースは $\mathrm{Tr}1=4$ とする（次元正則化で通常用いる流儀）。添字はすべて $d$ 次元で縮約し、繰り返された添字については和をとる。

このとき
$$T(d)=\mathrm{Tr}\left[{\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\rho }{\gamma }^{\sigma }{\gamma }_{\mu }{\gamma }_{\nu }{\gamma }_{\rho }{\gamma }_{\sigma }\right]$$
を $d$ の多項式として求めよ（因数分解した形でよい）。

自然単位系 $\hslash =c=1$、計量の符号 $(+,-,-,-)$ を用いる。質量 $M$ の実スカラー場 $\varphi$ と質量 $m$ のディラック場 $\psi$ が、スカラー結合と擬スカラー結合の両方をもつ湯川相互作用で結合している系を考える。ラグランジアン密度は
$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi -\frac{1}{2}{M}^2{\varphi }^2+\bar{\psi }\left(i{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m\right)\psi -\varphi \bar{\psi }\left(g+ih{\gamma }^5\right)\psi$$
である。ここで $g,h$ は実数の結合定数、${\gamma }^5=i{\gamma }^0{\gamma }^1{\gamma }^2{\gamma }^3$（$({\gamma }^5{)}^2=1$、$\{{\gamma }^5,{\gamma }^{\mu }\}=0$）であり、$M>2m>0$ とする。

静止した $\varphi$ 粒子の崩壊 $\varphi \to \psi \bar{\psi }$ の全崩壊幅 $\Gamma$ を、結合定数について最低次（樹木図レベル）で求め、$M,m,g,h$ を用いて表せ。終状態のフェルミオンのスピンはすべて和をとるものとする。