場の量子論の問題

1. 展開の形

$Z/Z_0=⟨e^{-S_I}{⟩}_0$ なので
$$\log \frac{Z}{Z_0}=-⟨S_I{⟩}_0+\frac{1}{2}\left(⟨S_I^2{⟩}_0-⟨S_I{⟩}_0^2\right)+O({\lambda }^3)$$
である。${\lambda }^2$ の項は $\frac{1}{2}⟨S_I^2{⟩}_{0,\text{conn}}$、すなわち
$$\frac{1}{2}{\left(\frac{\lambda }{8}\right)}^2\int d^{d}x{d}^{d}y⟨({\varphi }_a{\varphi }_a{\varphi }_b{\varphi }_b)(x)({\varphi }_c{\varphi }_c{\varphi }_d{\varphi }_d)(y){⟩}_{0,\text{conn}}=\frac{{\lambda }^2}{128}\int \int ⟨\cdots {⟩}_{0,\text{conn}}$$
である（$⟨S_I{⟩}_0^2$ を引くことで、$x$ と $y$ がつながらない縮約が除かれる）。$8$ 個の場の縮約は全部で $7!!=105$ 通りあり、そのうち $x$ と $y$ がつながるもの（連結）は、$4$ 本すべてが $x$–$y$ 間を結ぶもの（$G^4$ 型）と、各点で $1$ 組ずつ自己縮約し残り $2$ 本が $x$–$y$ 間を結ぶもの（$G(0{)}^2{G}^2$ 型）の $2$ 種類である。

2. $G^4$ 型（バスケットボール図）

$x$ の $4$ 個の場（位置 $1,2$ が添字 $a$、位置 $3,4$ が添字 $b$）を $y$ の $4$ 個の場（位置 $1^{\prime },2^{\prime }$ が $c$、$3^{\prime },4^{\prime }$ が $d$）と $1$ 対 $1$ に結ぶ方法は $4!=24$ 通り。各縮約で得られるクロネッカーのデルタの積を添字について和をとると、添字の「輪」の数を $L$ として $N^L$ になる。
- $\{1,2\}$ が $\{1^{\prime },2^{\prime }\}$ に（したがって $\{3,4\}$ が $\{3^{\prime },4^{\prime }\}$ に）行く場合 $2\times 2=4$ 通り、$\{1,2\}$ が $\{3^{\prime },4^{\prime }\}$ に行く場合 $4$ 通り。このとき ${\delta }_{ac}{\delta }_{ac}{\delta }_{bd}{\delta }_{bd}$ などとなり、輪は $2$ つで $N^2$。計 $8$ 通り。
- 残りの $24-8=16$ 通りは $a\to c\to b\to d\to a$ と一つの輪になり $N$。

よって和は $8N^2+16N=8N(N+2)$ であり、
$$c_1=\frac{8N(N+2)}{128}=\frac{N(N+2)}{16}.$$

3. $G(0{)}^2{G}^2$ 型（ダブルバブル図）

$x$ で自己縮約する $1$ 組の選び方は $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=6$ 通り。
- $(1,2)$ または $(3,4)$ を縮約：${\delta }_{aa}=N$ が出て、残りは ${\varphi }_b{\varphi }_b$（または ${\varphi }_a{\varphi }_a$）。$2$ 通りで重み $2N$。
- $(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)$ を縮約：${\delta }_{ab}$ が出て、残りの ${\varphi }_a{\varphi }_b$ は ${\varphi }_e{\varphi }_e$ になる。$4$ 通りで重み $4$。

したがって $x$ 側の重みは $2N+4=2(N+2)$ で、残りは ${\varphi }_e{\varphi }_e(x)$ の形。$y$ 側も同様に $2(N+2)$ で、残りは ${\varphi }_f{\varphi }_f(y)$。これらを結ぶ方法は $2$ 通りで、各々 ${\delta }_{ef}{\delta }_{ef}$ の和 $=N$。よって和は
$$[2(N+2){]}^2\times 2N=8N(N+2{)}^2$$
であり、
$$c_2=\frac{8N(N+2{)}^2}{128}=\frac{N(N+2{)}^2}{16}.$$

4. 検算

$N=1$ では縮約の数が $24+72=96=105-9$（$9$ は $x,y$ それぞれ自己縮約する非連結な $3\times 3$ 通り）となり整合する。また $N=1$ では $\frac{\lambda }{8}{\varphi }^4=\frac{{\lambda }^{\prime }}{4!}{\varphi }^4$ $({\lambda }^{\prime }=3\lambda )$ であり、よく知られた対称因子 $48$, $16$ から $\frac{{\lambda }^{\prime 2}}{48}=\frac{3}{16}{\lambda }^2$, $\frac{{\lambda }^{\prime 2}}{16}=\frac{9}{16}{\lambda }^2$ となって $c_1=\frac{3}{16}$, $c_2=\frac{9}{16}$ と一致する。

以上より $(c_1,c_2)=\left(\frac{N(N+2)}{16},\frac{N(N+2{)}^2}{16}\right)$。

$\log (Z/Z_0)$ の ${\lambda }^2$ の項は、連結な真空図形だけから出る。
$$\frac{1}{2}{\left(\frac{\lambda }{8}\right)}^2\int d^{d}x{d}^{d}y⟨({\varphi }^2{)}^2(x)({\varphi }^2{)}^2(y){⟩}_{0,\text{連結}}$$
各点から出る足は 4 本である。2 点間の線の本数 $k$ は偶数で、$k=0$ は非連結なので、連結になるのは $k=4$ と $k=2$ だけである。

$k=4$（$G(x-y{)}^4$）。 4 本の足の対応は $4!=24$ 通りある。各点の足を $(aa)(bb)$、$(cc)(dd)$ と 2 つずつ組にすると、指標の閉ループ数は、対応で移した組が元の組と一致するかどうかで決まる。
- 一致する場合は 8 通りで、ループが 2 個になり $N^2$ を与える。
- 一致しない場合は 16 通りで、ループが 1 個になり $N$ を与える。

合計は $8N^2+16N=8N(N+2)$ である。したがって
$$c_1=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{64}\cdot 8N(N+2)=\frac{N(N+2)}{16}$$

$k=2$（$G(0{)}^{2}G(x-y{)}^2$）。 各点で自己縮約する 2 本を選ぶ。
- 同じ双一次形式内の 2 本を選ぶと（2 通り）、因子 $N$ が出る。
- 異なる双一次形式から 1 本ずつ選ぶと（4 通り）、因子は 1 である。

どちらの場合も、残った 2 本は ${\varphi }_b{\varphi }_b$ の形になる。よって各点の重みは $2N+4$ である。残りの 2 本どうしの結びつけ方は 2 通りあり、指標因子は $N$ なので $2N$ となる。合計は
$$(2N+4{)}^2\cdot 2N=8N(N+2{)}^2$$
したがって
$$c_2=\frac{1}{128}\cdot 8N(N+2{)}^2=\frac{N(N+2{)}^2}{16}$$

検算（$N=1$）。 このとき $\frac{\lambda }{8}{\varphi }^4=\frac{g}{4!}{\varphi }^4$ で $g=3\lambda$ である。標準的な結果は $\frac{g^2}{48}{G}^4+\frac{g^2}{16}G(0{)}^2{G}^2$ なので、$c_1=\frac{9}{48}=\frac{3}{16}$、$c_2=\frac{9}{16}$ となる。これは上の式に $N=1$ を入れた値と一致する。