場の量子論の問題

次元正則化で用いる $d$ 次元時空を考える。計量の符号は $(+,-,\dots ,-)$ とし、ディラック行列 ${\gamma }^{\mu }$ $(\mu =0,1,\dots ,d-1)$ は
$$\{{\gamma }^{\mu },{\gamma }^{\nu }\}=2g^{\mu \nu }1,g^{\mu }{}_{\mu }=d,\mathrm{Tr}1=4$$
を満たすものとする。添字の上下は $g_{\mu \nu }$ で行い、繰り返された添字については和をとる。このとき
$$T(d)=\mathrm{Tr}\left[{\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\rho }{\gamma }_{\mu }{\gamma }_{\nu }{\gamma }_{\rho }\right]$$
を $d$ の多項式として求めよ。

次元正則化で使う $d$ 次元時空のディラック行列 ${\gamma }^{\mu }$ を考える。ここで $d$ は整数とは限らない形式的なパラメータとして扱い、計算は次の規則だけを使う代数的な操作とする。

• 反交換関係 $\{{\gamma }^{\mu },{\gamma }^{\nu }\}=2g^{\mu \nu }1$
• 計量の縮約 $g^{\mu \nu }{g}_{\mu \nu }=d$、$g^{\mu }{}_{\nu }{g}^{\nu }{}_{\rho }=g^{\mu }{}_{\rho }$（計量の符号の流儀は $(+,-,\dots ,-)$）
• トレースは線形で、規約として $\mathrm{Tr}1=4$ とする

添字はアインシュタインの縮約規約に従って和をとる。このとき
$$\mathrm{Tr}\left[{\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }{\gamma }_{\mu }{\gamma }_{\nu }\right]$$
を $d$ の式で求めよ。

自然単位系 $\hslash =c=1$、計量の符号 $(+,-,-,-)$ を用いる。質量 $M$ の実スカラー場 $\varphi$ と質量 $m$ のディラック場 $\psi$ が、スカラー結合と擬スカラー結合の両方をもつ湯川相互作用で結合している系を考える。ラグランジアン密度は
$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi -\frac{1}{2}{M}^2{\varphi }^2+\bar{\psi }\left(i{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m\right)\psi -\varphi \bar{\psi }\left(g+ih{\gamma }^5\right)\psi$$
である。ここで $g,h$ は実数の結合定数、${\gamma }^5=i{\gamma }^0{\gamma }^1{\gamma }^2{\gamma }^3$（$({\gamma }^5{)}^2=1$、$\{{\gamma }^5,{\gamma }^{\mu }\}=0$）であり、$M>2m>0$ とする。

静止した $\varphi$ 粒子の崩壊 $\varphi \to \psi \bar{\psi }$ の全崩壊幅 $\Gamma$ を、結合定数について最低次（樹木図レベル）で求め、$M,m,g,h$ を用いて表せ。終状態のフェルミオンのスピンはすべて和をとるものとする。

自然単位系 $\hslash =c=1$、計量の符号 $(+,-,-,-)$ を用いる。$3+1$ 次元時空の質量ゼロの実スカラー場 $\varphi (x)$ を考える。ラグランジアン密度は
$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi$$
である。正準運動量は $\pi (x)={\partial }_0\varphi (x)$ であり、同時刻交換関係 $[\varphi (t,\mathbf{x}),\pi (t,\mathbf{y})]=i{\delta }^3(\mathbf{x}-\mathbf{y})$ を課して量子化する。このとき場は
$$\varphi (x)=\int \frac{d^{3}p}{(2\pi {)}^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\mathbf{p}}}}\left(a_{\mathbf{p}}{e}^{-ip\cdot x}+a_{\mathbf{p}}^{†}{e}^{ip\cdot x}\right),E_{\mathbf{p}}=|\mathbf{p}|,[a_{\mathbf{p}},a_{\mathbf{q}}^{†}]=(2\pi {)}^3{\delta }^3(\mathbf{p}-\mathbf{q})$$
と展開される（$p^0=E_{\mathbf{p}}$、ほかの交換子は $0$）。真空 $|0⟩$ は、すべての $\mathbf{p}$ について $a_{\mathbf{p}}|0⟩=0$ を満たす規格化された状態とする。

演算子 $O(x)$ を
$$O(x)=\pi (x)+\frac{\partial \varphi }{\partial z}(x)$$
で定める（$z$ は空間座標の第 3 成分）。$a>0$ を定数とし、2 点 $x=(t,0,0,a)$、$y=(t,0,0,0)$ をとる（同時刻）。真空期待値
$$⟨0|O(x)O(y)|0⟩$$
を $a$ の式で求めよ。ただし、運動量積分は被積分関数に収束因子 $e^{-\epsilon |\mathbf{p}|}$ を掛けて計算し、$\epsilon \to +0$ の極限をとったものと解釈する（$a>0$ なので極限は有限）。

$d$ 次元ユークリッド空間上の $N$ 成分実スカラー場 ${\varphi }_a(x)$ $(a=1,\dots ,N)$ を考える。作用は
$$S=\int d^{d}x\left[\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }{\varphi }_a{\partial }_{\mu }{\varphi }_a+\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }_a{\varphi }_a+\frac{\lambda }{8}({\varphi }_a{\varphi }_a{)}^2\right]$$
であり、繰り返す添字については和をとる。$S_0$ を $\lambda =0$ の自由部分、$S_I=\frac{\lambda }{8}\int d^{d}x({\varphi }_a{\varphi }_a{)}^2$ を相互作用部分とし、分配関数を $Z=\int \mathcal{D}\varphi e^{-S}$、$Z_0=\int \mathcal{D}\varphi e^{-S_0}$ とする。自由場の伝播関数を
$$⟨{\varphi }_a(x){\varphi }_b(y){⟩}_0={\delta }_{ab}G(x-y)$$
とし、$G(0)$ は適当な正則化のもとで有限な定数として形式的に扱う（その値は求めなくてよい）。

ウィックの定理を用いて $\log (Z/Z_0)$ を $\lambda$ で展開したとき、その ${\lambda }^2$ の項は
$${\lambda }^2\left[c_1\int d^{d}x{d}^{d}yG(x-y{)}^4+c_{2}G(0{)}^2\int d^{d}x{d}^{d}yG(x-y{)}^2\right]$$
の形に書ける。係数 $c_1,c_2$ を $N$ の式で求め、組 $(c_1,c_2)$ の形で答えよ。