場の量子論の問題

1. 不変振幅

相互作用項 $-\varphi \bar{\psi }(g+ih{\gamma }^5)\psi$ から、頂点因子は $-i(g+ih{\gamma }^5)$ である。終状態のフェルミオンの運動量を $p_1$、反フェルミオンの運動量を $p_2$ とすると、最低次の振幅は（全体の位相を除いて）
$$\mathcal{M}=\bar{u}(p_1)\Lambda v(p_2),\Lambda \equiv g+ih{\gamma }^5$$
となる。

2. スピン和

複素共役は ${\mathcal{M}}^{\ast }=\bar{v}(p_2)\bar{\Lambda }u(p_1)$ であり、$\bar{\Lambda }={\gamma }^0{\Lambda }^{†}{\gamma }^0$ である。${\gamma }^5$ はエルミートなので ${\Lambda }^{†}=g-ih{\gamma }^5$ であり、${\gamma }^0{\gamma }^5{\gamma }^0=-{\gamma }^5$ より $\bar{\Lambda }=g+ih{\gamma }^5$ となる。スピン和の公式 $\sum u\bar{u}=/p_1+m$、$\sum v\bar{v}=/p_2-m$ を用いると
$$\sum _{\mathrm{spins}}|\mathcal{M}{|}^2=\mathrm{Tr}\left[(/p_1+m)(g+ih{\gamma }^5)(/p_2-m)(g+ih{\gamma }^5)\right].$$

${\gamma }^5$ と $/p_2$ が反可換であることから $(g+ih{\gamma }^5)/p_2=/p_2(g-ih{\gamma }^5)$ が成り立つ。これを使うと
$$(g+ih{\gamma }^5)(/p_2-m)(g+ih{\gamma }^5)=/p_2(g-ih{\gamma }^5)(g+ih{\gamma }^5)-m(g+ih{\gamma }^5{)}^2$$
$$=(g^2+h^2)/p_2-m\left(g^2-h^2+2igh{\gamma }^5\right).$$

$\mathrm{Tr}[{\gamma }^5]=0$、$\mathrm{Tr}[/p{\gamma }^5]=0$、$\mathrm{Tr}[{\gamma }^{\mu }]=0$、$\mathrm{Tr}[/p_1/p_2]=4p_1\cdot p_2$、$\mathrm{Tr}[1]=4$ より
$$\sum |\mathcal{M}{|}^2=4(g^2+h^2)p_1\cdot p_2-4m^2(g^2-h^2).$$

運動量保存から $M^2=(p_1+p_2{)}^2=2m^2+2p_1\cdot p_2$ なので、$p_1\cdot p_2=\frac{M^2-2m^2}{2}$ である。これを代入すると
$$\sum |\mathcal{M}{|}^2=2(M^2-2m^2)(g^2+h^2)-4m^2(g^2-h^2)=2g^2(M^2-4m^2)+2h^2{M}^2.$$
$\beta \equiv \sqrt{1-4m^2/M^2}$ とおくと
$$\sum |\mathcal{M}{|}^2=2M^2\left(g^2{\beta }^2+h^2\right).$$

3. 2 体位相空間

静止系で 2 体に崩壊するとき、終状態は区別できる粒子（$\psi$ と $\bar{\psi }$）なので対称因子はない。このとき崩壊幅は
$$\Gamma =\frac{1}{2M}\int d{\Pi }_2\sum |\mathcal{M}{|}^2=\frac{|\mathbf{p}|}{8\pi M^2}\sum |\mathcal{M}{|}^2$$
で与えられる。ここで $|\mathcal{M}{|}^2$ が角度によらないことを用いた。終状態の運動量の大きさは $|\mathbf{p}|=\sqrt{M^2/4-m^2}=\frac{M\beta }{2}$ である。

4. 結果

$$\Gamma =\frac{M\beta /2}{8\pi M^2}\cdot 2M^2(g^2{\beta }^2+h^2)=\frac{M\beta }{8\pi }\left(g^2{\beta }^2+h^2\right),$$
すなわち
$$\Gamma =\frac{M}{8\pi }\sqrt{1-\frac{4m^2}{M^2}}\left[g^2\left(1-\frac{4m^2}{M^2}\right)+h^2\right].$$

5. 確認と物理的解釈

$h=0$ とすると、よく知られた純スカラー湯川結合の結果 $\Gamma =g^{2}M{\beta }^3/(8\pi )$ に一致する。スカラー結合では終状態が P 波（${\beta }^3$）、擬スカラー結合では S 波（$\beta$）になる。また干渉項 $\propto gh$ は ${\gamma }^5$ のトレースが消えるため全幅に寄与しない。

振幅は $i\mathcal{M}=-i\bar{u}(p_1)(g+ih{\gamma }^5)v(p_2)$ である。スピン和は
$$\sum |\mathcal{M}{|}^2=\mathrm{Tr}[(\text{slashed}{p}_1+m)(g+ih{\gamma }^5)(\text{slashed}{p}_2-m)(g+ih{\gamma }^5{)}^{†}{}^{\prime }]$$
の形で計算する。

共役側の因子を求める。$\Gamma =g+ih{\gamma }^5$ とすると、$\bar{\Gamma }={\gamma }^0{\Gamma }^{†}{\gamma }^0={\gamma }^0(g-ih{\gamma }^5){\gamma }^0=g+ih{\gamma }^5$ となる。したがって
$$\sum |\mathcal{M}{|}^2=\mathrm{Tr}[(\text{slashed}{p}_1+m)\Gamma (\text{slashed}{p}_2-m)\Gamma ].$$

$\Gamma \text{slashed}{p}_2=\text{slashed}{p}_2(g-ih{\gamma }^5)$ より、
$$\Gamma (\text{slashed}{p}_2-m)\Gamma =\text{slashed}{p}_2(g-ih{\gamma }^5)(g+ih{\gamma }^5)-m(g+ih{\gamma }^5{)}^2.$$
ここで $(g-ih{\gamma }^5)(g+ih{\gamma }^5)=g^2+h^2$、$(g+ih{\gamma }^5{)}^2=g^2-h^2+2igh{\gamma }^5$ である。

これをトレースに代入する。
$$\mathrm{Tr}[(\text{slashed}{p}_1+m)(\text{slashed}{p}_2(g^2+h^2)-m(g^2-h^2)-2ighm{\gamma }^5)]$$
${\gamma }^5$ の項はトレースが 0 になる。残りは
$$4p_1\cdot p_2(g^2+h^2)-4m^2(g^2-h^2).$$

運動学は次のとおりである。$p_1\cdot p_2=(M^2-2m^2)/2$ だから
$$\sum |\mathcal{M}{|}^2=2(g^2+h^2)(M^2-2m^2)-4m^2(g^2-h^2)=2g^2(M^2-4m^2)+2h^2{M}^2.$$

崩壊幅は
$$\Gamma =\frac{|\mathbf{p}|}{8\pi M^2}\sum |\mathcal{M}{|}^2,|\mathbf{p}|=\frac{M}{2}\sqrt{1-4m^2/M^2}.$$
$\psi$ と $\bar{\psi }$ は別の粒子なので、同種粒子の因子 $1/2$ は不要である。

よって
$$\Gamma =\frac{\beta }{16\pi M}\left[2g^2{M}^2{\beta }^2+2h^2{M}^2\right]=\frac{M\beta }{8\pi }\left[g^2{\beta }^2+h^2\right],\beta =\sqrt{1-4m^2/M^2}.$$

検算として、$h=0$ の場合は標準のスカラー崩壊 $\Gamma =\frac{g^{2}M}{8\pi }{\beta }^3$ に一致する。$g=0$ の場合は擬スカラー崩壊 $\frac{h^{2}M}{8\pi }\beta$ に一致する。