2 体崩壊の崩壊幅

静止系の崩壊幅 $Γ = \frac{∣ p ∣}{8 π M ^{2}} ∣ M ∣^{2}$ （ $∣ p ∣ = \frac{M}{2} 1 - 4 m^{2} / M^{2}$ 、終状態が同種粒子なら因子 $\frac{1}{2}$ ）を使い、樹木図の振幅から崩壊幅や分岐比を $M, m$ と結合定数の式で求められる

前提

2 体崩壊のエネルギーと運動量（大学物理特殊相対論）
スピン和と振幅の 2 乗のトレース計算（大学院物理場の量子論）

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算数中学高校大学大学院

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記録タイマーの打点と速さ（中学理科運動とエネルギー）
斜面の運動と等速直線運動（中学理科運動とエネルギー）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
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三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
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小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
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正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
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2 体崩壊のエネルギーと運動量（大学物理特殊相対論）
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3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
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等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
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積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
広義積分（大学数学微分積分）
波動関数の規格化と確率解釈（大学物理量子力学（1 次元の問題））
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
演算子と期待値（大学物理量子力学（1 次元の問題））
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
掃き出し法と連立 1 次方程式（大学数学線形代数）
行列の階数と解の存在（大学数学線形代数）
ベクトル空間・一次独立・基底・次元（大学数学線形代数）
内積となす角（数学C ベクトル）
内積空間とグラム・シュミットの直交化（大学数学線形代数）
調和振動子と昇降演算子（大学物理量子力学（1 次元の問題））
力のモーメントと偶力（高校物理力と運動（知識））
力のモーメント（高校物理力と運動）
重積分と累次積分（大学数学微分積分）
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重積分の変数変換とヤコビアン（大学数学微分積分）
慣性モーメントの計算（大学物理力学（質点・剛体））
位置ベクトルと内分点・外分点（数学C ベクトル）
交点の位置ベクトル（数学C ベクトル）
空間ベクトルと直線・平面（数学C ベクトル）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
行列式（大学数学線形代数）
空間ベクトルの外積（大学数学ベクトル解析）
運動の法則（運動方程式）（高校物理力と運動（知識））
運動方程式（高校物理力と運動）
正弦定理・余弦定理と三角形の面積（数学I 図形と計量）
極座標（数学C 平面上の曲線）
極座標での運動方程式（大学物理力学（質点・剛体））
角運動量とトルク（大学物理力学（質点・剛体））
弾性力とフックの法則（高校物理力と運動（知識））
重力と弾性力の位置エネルギー（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
糸でつながれた物体の運動（高校物理力と運動）
力学的エネルギー保存則（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
固定軸のまわりの回転と転がり運動（大学物理力学（質点・剛体））
ラグランジアンとオイラー・ラグランジュ方程式（大学物理解析力学）
拘束のある系と一般化座標（大学物理解析力学）
一般化運動量と循環座標（大学物理解析力学）
ルジャンドル変換とハミルトニアン（大学物理解析力学）
三角関数の積分（数学III 積分法）
無限等比級数と無限級数（数学III 極限）
フーリエ級数（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）
2 次不等式（数学I 2次関数）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）
平均値の定理（数学III 微分法）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
べき級数と収束半径（大学数学微分積分）
オイラーの公式（大学数学微分積分）
フーリエ変換（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）
自由スカラー場の正準量子化とモード展開（大学院物理場の量子論）
分数関数の積分（部分分数分解）（数学III 積分法）
ローラン展開（大学数学複素関数）
孤立特異点の分類（大学数学複素関数）
留数の計算（大学数学複素関数）
複素数の相等（数学II 複素数と方程式）
正則関数とコーシー・リーマンの方程式（大学数学複素関数）
極形式と積・商（数学C 複素数平面）
複素数の指数関数・対数関数と分枝（大学数学複素関数）
複素線積分とコーシーの積分定理（大学数学複素関数）
留数定理による複素積分（大学数学複素関数）
ファインマン伝播関数と iε 処方（大学院物理場の量子論）
ガウス積分（大学数学微分積分）
組合せ（数学A 場合の数と確率）
ウィックの定理と縮約の数え上げ（大学院物理場の量子論）
ファインマン図の対称因子と連結図（大学院物理場の量子論）
線形変換と行列（大学数学線形代数）
核と像と次元定理（大学数学線形代数）
固有値と固有ベクトル（大学数学線形代数）
掃き出し法による逆行列（大学数学線形代数）
基底の変換と表現行列（大学数学線形代数）
対角化と行列の累乗（大学数学線形代数）
対称行列の直交対角化（大学数学線形代数）
2 次形式の標準形と符号（大学数学線形代数）
エルミート行列とエルミート形式の符号（大学数学線形代数）
スピン 1/2 とパウリ行列（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
ディラック方程式と自由粒子の解（大学院物理発展的な量子力学（散乱・相対論的量子力学））
ファインマン則と樹木図の散乱振幅（大学院物理場の量子論）
ディラック行列のトレースと縮約恒等式（大学院物理場の量子論）
スピン和と振幅の 2 乗のトレース計算（大学院物理場の量子論）

説明

不安定な粒子が単位時間あたりに崩壊する確率（崩壊幅） $Γ$ を、ファインマン則で求めた不変振幅 $M$ から計算する技能です。静止した質量 $M$ の粒子が 2 粒子に崩壊する場合は、 $Γ = \frac{∣ p ∣}{8 π M ^{2}} ∣ M ∣^{2}$ という簡単な式で書けます（ $∣ p ∣$ は崩壊生成物の運動量の大きさ）。寿命 $τ = 1/Γ$ や、いくつかの崩壊モードの崩壊幅の比である分岐比を求めるときに使います。

なぜそうしてよいのか

$ℏ = c = 1$ 、計量 $(+, -, -, -)$ とし、1 粒子状態を $⟨ p ∣ q ⟩ = 2 E_{p} (2 π)^{3} δ^{3} (p - q)$ と規格化します。この規格化のもとで、静止した粒子の崩壊幅は
$Γ = \frac{1}{2 M} \int ∣ M ∣^{2} \frac{d ^{3} p _{1}}{( 2 π ) ^{3} 2 E _{1}} \frac{d ^{3} p _{2}}{( 2 π ) ^{3} 2 E _{2}} (2 π)^{4} δ^{4} (P - p_{1} - p_{2})$
と書けます。前の $\frac{1}{2 M}$ は始状態の規格化 $2 E = 2 M$ を打ち消す因子で、残りは終状態の数え上げ（位相空間）です。

静止系 $P = (M, 0)$ で積分を実行します。 $δ^{3}$ で $p_{2} = - p_{1}$ と決まり、 $p_{1}$ を極座標で書くと $\int \frac{p ^{2} d p d Ω}{16 π ^{2} E _{1} E _{2}} δ (M - E_{1} - E_{2})$ が残ります。 $\frac{d ( E _{1} + E _{2} )}{d p} = \frac{p}{E _{1}} + \frac{p}{E _{2}} = \frac{pM}{E _{1} E _{2}}$ なので、 $p$ の積分で $\frac{∣ p ∣ d Ω}{16 π ^{2} M}$ となります。 $∣ p ∣$ はエネルギー・運動量保存で決まる値で、生成物の質量がどちらも $m$ なら $E_{1} = E_{2} = \frac{M}{2}$ から $∣ p ∣ = \frac{M}{2} 1 - \frac{4 m ^{2}}{M ^{2}}$ です。 $∣ M ∣^{2}$ が方向によらないとき（スピン 0 の粒子の崩壊や、スピンについて平均したとき）は $\int d Ω = 4 π$ で
$Γ = \frac{1}{2 M} \cdot \frac{4 π ∣ p ∣}{16 π ^{2} M} ∣ M ∣^{2} = \frac{∣ p ∣}{8 π M ^{2}} ∣ M ∣^{2}$
が得られます。

終状態の 2 粒子が同種粒子なら、方向 $Ω$ と $- Ω$ は同じ状態なので、全立体角で積分すると 2 回数えることになり、 $\frac{1}{2}$ を掛けます。 $∣ M ∣^{2}$ は、始状態のスピンについて平均（スピン $j$ なら $\frac{1}{2 j + 1}$ を掛ける）し、終状態のスピンについて和をとったものです。崩壊モードが複数あれば全幅は $Γ_{tot} = \sum_{i} Γ_{i}$ 、分岐比は $\frac{Γ _{i}}{Γ _{tot}}$ です。

手順

ファインマン則から崩壊の樹木図の振幅 $M$ を書く。
始状態のスピン平均・終状態のスピン和をとって $∣ M ∣^{2}$ を求め、運動量の内積を $M, m$ で表す（たとえば $p_{1} \cdot p_{2} = \frac{M ^{2} - m _{1}^{2} - m _{2}^{2}}{2}$ ）。
生成物の運動量の大きさを求める。等しい質量 $m$ なら $∣ p ∣ = \frac{M}{2} 1 - \frac{4 m ^{2}}{M ^{2}}$ （ $M > 2 m$ のときだけ崩壊できる）。
$Γ = \frac{∣ p ∣}{8 π M ^{2}} ∣ M ∣^{2}$ に代入する。終状態が同種粒子なら $\frac{1}{2}$ を掛ける。
必要なら各モードの $Γ_{i}$ を足して全幅を求め、分岐比 $\frac{Γ _{i}}{Γ _{tot}}$ や寿命 $τ = \frac{1}{Γ _{tot}}$ を求める。

例題

$ℏ = c = 1$ 、計量 $(+, -, -, -)$ とし、スピノルの規格化を $u ˉ u = 2 m$ とする。質量 $M$ の実スカラー場 $ϕ$ と質量 $m$ のディラック場 $ψ$ が相互作用 $L_{int} = - g ϕ ψ ˉ ψ$ （ $g$ は実数）をもち、 $M > 2 m$ とする。最低次で、静止した $ϕ$ の崩壊 $ϕ \to ψ ψ ˉ$ の崩壊幅 $Γ$ を $g, M, m$ で求めよ。

例題の解答

手順 1: 頂点因子は $- i g$ なので $M = - g u ˉ (p_{1}) v (p_{2})$ 。

手順 2: 始状態はスピン 0 なので平均は不要。終状態のスピン和は
$\sum ∣ M ∣^{2} = g^{2} Tr [(\neq p_{1} + m) (\neq p_{2} - m)] = 4 g^{2} (p_{1} \cdot p_{2} - m^{2}) .$
$M^{2} = (p_{1} + p_{2})^{2} = 2 m^{2} + 2 p_{1} \cdot p_{2}$ より $p_{1} \cdot p_{2} = \frac{M ^{2}}{2} - m^{2}$ なので $∣ M ∣^{2} = 2 g^{2} (M^{2} - 4 m^{2}) = 2 g^{2} M^{2} (1 - \frac{4 m ^{2}}{M ^{2}})$ 。

手順 3: $∣ p ∣ = \frac{M}{2} 1 - \frac{4 m ^{2}}{M ^{2}}$ 。

手順 4: $ψ$ と $ψ ˉ$ は別の粒子なので同種粒子の因子は不要。
$Γ = \frac{1}{8 π M ^{2}} \cdot \frac{M}{2} 1 - \frac{4 m ^{2}}{M ^{2}} \cdot 2 g^{2} M^{2} (1 - \frac{4 m ^{2}}{M ^{2}}) = \frac{g ^{2} M}{8 π} (1 - \frac{4 m ^{2}}{M ^{2}})^{3/2} .$

手順 5: 崩壊モードがこれだけなら寿命は $τ = \frac{8 π}{g ^{2} M} (1 - \frac{4 m ^{2}}{M ^{2}})^{- 3/2}$ 。

答え: $\frac{g ^{2} M}{8 π} (1 - \frac{4 m ^{2}}{M ^{2}})^{3/2}$

よくある誤り

終状態が同種粒子なのに $\frac{1}{2}$ を掛け忘れる誤り。たとえば $L_{int} = - \frac{μ}{2} Φ ϕ^{2}$ による $Φ \to ϕϕ$ では $M = - μ$ で、正しくは $Γ = \frac{1}{2} \cdot \frac{∣ p ∣}{8 π M ^{2}} μ^{2} = \frac{μ ^{2}}{32 π M} 1 - \frac{4 m ^{2}}{M ^{2}}$ 。
運動量の大きさを $∣ p ∣ = M 1 - \frac{4 m ^{2}}{M ^{2}}$ と 2 倍にしてしまう誤り。各生成物のエネルギーは $\frac{M}{2}$ なので、正しくは $∣ p ∣ = \frac{M ^{2}}{4} - m^{2} = \frac{M}{2} 1 - \frac{4 m ^{2}}{M ^{2}}$ 。
崩壊する粒子にスピンがあるのに始状態のスピンについて平均をとらず、和のまま使う誤り。たとえばスピン 1 の粒子の崩壊では正しくは $∣ M ∣^{2} = \frac{1}{3} \sum_{全偏極} ∣ M ∣^{2}$ 。
反粒子のスピン和を $\neq p + m$ として $\sum ∣ M ∣^{2} = 4 g^{2} (p_{1} \cdot p_{2} + m^{2}) = 2 g^{2} M^{2}$ とし、 $Γ = \frac{g ^{2} M}{8 π} (1 - \frac{4 m ^{2}}{M ^{2}})^{1/2}$ としてしまう誤り。正しくは $\sum_{s} v v ˉ = \neq p - m$ で、べきは $\frac{3}{2}$ になる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
自然単位系 $ℏ = c = 1$ 、計量の符号 $(+, -, -, -)$ を用いる。質量 $M$ の実スカラー場 $Φ$ と質量 $m$ の実スカラー場 $ϕ$ が
$L_{int} = - \frac{μ}{2} Φ ϕ^{2}$
で相互作用している（ $μ > 0$ は質量次元 $1$ の結合定数）。 $M > 2 m$ とする。この相互作用から、崩壊 $Φ \to ϕϕ$ の最低次の不変振幅は $M = - μ$ となる。
静止系の 2 体崩壊の崩壊幅の公式
$Γ = \frac{∣ p ∣}{8 π M ^{2}} ∣ M ∣^{2} \times S, ∣ p ∣ = \frac{M}{2} 1 - \frac{4 m ^{2}}{M ^{2}}$
（ $S$ は終状態が同種粒子 2 個なら $\frac{1}{2}$ 、そうでなければ $1$ ）を用いて、 $Φ \to ϕϕ$ の最低次の崩壊幅 $Γ$ を $μ, M, m$ の式で求めよ。

この技能を使う問題

難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）
自然単位系 $ℏ = c = 1$ 、計量の符号 $(+, -, -, -)$ を用いる。質量 $M$ の実スカラー場 $ϕ$ と質量 $m$ のディラック場 $ψ$ が、スカラー結合と擬スカラー結合の両方をもつ湯川相互作用で結合している系を考える。ラグランジアン密度は
$L = \frac{1}{2} \partial_{μ} ϕ \partial^{μ} ϕ - \frac{1}{2} M^{2} ϕ^{2} + ψ ˉ (i γ^{μ} \partial_{μ} - m) ψ - ϕ ψ ˉ (g + ih γ^{5}) ψ$
である。ここで $g, h$ は実数の結合定数、 $γ^{5} = i γ^{0} γ^{1} γ^{2} γ^{3}$ （ $(γ^{5})^{2} = 1$ 、 ${γ^{5}, γ^{μ}} = 0$ ）であり、 $M > 2 m > 0$ とする。
静止した $ϕ$ 粒子の崩壊 $ϕ \to ψ ψ ˉ$ の全崩壊幅 $Γ$ を、結合定数について最低次（樹木図レベル）で求め、 $M, m, g, h$ を用いて表せ。終状態のフェルミオンのスピンはすべて和をとるものとする。