スピン和と振幅の 2 乗のトレース計算

完全性関係 $\sum_{s} u u ˉ = \neq p + m$ 、 $\sum_{s} v v ˉ = \neq p - m$ と光子の偏極和 $\sum ϵ_{μ} ϵ_{ν}^{*} \to - g_{μν}$ を使って、フェルミオンを含む振幅の 2 乗のスピン和 $\sum ∣ M ∣^{2}$ をトレースに直し、運動量の内積で表せる（例: $ϕ \to ψ ψ ˉ$ で $\sum ∣ M ∣^{2} = 4 g^{2} (p_{1} \cdot p_{2} - m^{2})$ ）

前提

ファインマン則と樹木図の散乱振幅（大学院物理場の量子論）
ディラック行列のトレースと縮約恒等式（大学院物理場の量子論）

この技能までの道筋（188 技能）

算数中学高校大学大学院

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基底の変換と表現行列（大学数学線形代数）
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対称行列の直交対角化（大学数学線形代数）
2 次形式の標準形と符号（大学数学線形代数）
エルミート行列とエルミート形式の符号（大学数学線形代数）
スピン 1/2 とパウリ行列（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
ディラック方程式と自由粒子の解（大学院物理発展的な量子力学（散乱・相対論的量子力学））
ファインマン則と樹木図の散乱振幅（大学院物理場の量子論）
ディラック行列のトレースと縮約恒等式（大学院物理場の量子論）

説明

フェルミオンを含む過程の不変振幅 $M$ は $u ˉ (p_{1}) Γ v (p_{2})$ のようにスピノルを含み、そのままでは 2 乗を計算しにくいものです。実験でスピンを測らない場合は、終状態のスピンについて和をとり（始状態は平均し）、 $\sum ∣ M ∣^{2}$ だけがわかれば崩壊幅や断面積が求まります。この技能では、スピノルの完全性関係を使ってこの和をディラック行列のトレースに直し、運動量の内積だけの式にします。光子が外線にあるときは偏極和 $\sum ϵ_{μ} ϵ_{ν}^{*} \to - g_{μν}$ も同じように使います。

なぜそうしてよいのか

$ℏ = c = 1$ 、計量 $(+, -, -, -)$ 、 $\neq p = γ^{μ} p_{μ}$ 、 $u ˉ = u^{†} γ^{0}$ とし、スピノルの規格化を $u ˉ^{s} u^{s^{'}} = 2 m δ^{s s^{'}}$ 、 $v ˉ^{s} v^{s^{'}} = - 2 m δ^{s s^{'}}$ とします。完全性関係はまず静止系で確かめられます。ディラック表示で $p = (m, 0)$ の解は $u^{s} = 2 m (0 ξ ^{s})$ 、 $v^{s} = 2 m (η ^{s} 0)$ （ $ξ^{s}, η^{s}$ は正規直交な 2 成分スピノル）なので、 $γ^{0} = diag (1, 1, - 1, - 1)$ を使うと $\sum_{s} u^{s} u ˉ^{s} = 2 m diag (1, 1, 0, 0) = m (γ^{0} + 1) = \neq p + m$ 、 $\sum_{s} v^{s} v ˉ^{s} = - 2 m diag (0, 0, 1, 1) = m (γ^{0} - 1) = \neq p - m$ です。両辺は同じようにローレンツ変換されるので、一般の運動量でも $\sum_{s} u u ˉ = \neq p + m$ 、 $\sum_{s} v v ˉ = \neq p - m$ が成り立ちます（ $(\neq p - m) u = 0$ 、 $(\neq p + m) v = 0$ と整合することも確かめられます）。

次に振幅 $M = u ˉ (p_{1}) Γ v (p_{2})$ （ $Γ$ はガンマ行列の積）の複素共役は、 $(u ˉ Γ v)^{*} = v^{†} Γ^{†} γ^{0} u = v ˉ Γ ˉ u$ （ $Γ ˉ = γ^{0} Γ^{†} γ^{0}$ ）と、同じ形の「数」になります。そこで $∣ M ∣^{2} = u ˉ_{a} Γ_{ab} v_{b} v ˉ_{c} Γ ˉ_{c d} u_{d}$ と成分で書き、 $u_{d} u ˉ_{a}$ と $v_{b} v ˉ_{c}$ をそれぞれ完全性関係で置き換えると、添字が輪になってつながり
$s_{1}, s_{2} \sum ∣ M ∣^{2} = Tr [(\neq p_{1} + m) Γ (\neq p_{2} - m) Γ ˉ]$
というトレースになります。 $Γ ˉ$ は $Γ = 1$ なら $1$ 、 $Γ = γ^{μ}$ なら $γ^{μ}$ です。あとはトレースの公式で運動量の内積にするだけです。

光子については、偏極ベクトルの和 $\sum_{λ} ϵ_{μ}^{(λ)} ϵ_{ν}^{(λ) *}$ を $- g_{μν}$ に置き換えてよい、という規則を使います。これは物理的な 2 つの横偏極の和と $- g_{μν}$ の差が光子の運動量 $k_{μ}$ に比例する項だけで、電荷の保存から振幅が $k_{μ} M^{μ} = 0$ を満たすので、その差が $\sum ∣ M ∣^{2}$ に寄与しないためです。

手順

振幅を $M = (係数) \times u ˉ (p_{1}) Γ v (p_{2})$ のような形に書き、複素共役を $M^{*} = (係数)^{*} v ˉ (p_{2}) Γ ˉ u (p_{1})$ 、 $Γ ˉ = γ^{0} Γ^{†} γ^{0}$ と書く。
スピン和をとり、完全性関係 $\sum_{s} u u ˉ = \neq p + m$ 、 $\sum_{s} v v ˉ = \neq p - m$ で置き換えて、スピノルの線をたどった順にトレース $Tr [(\neq p_{1} + m) Γ (\neq p_{2} - m) Γ ˉ]$ を書く。光子の外線があれば $\sum ϵ_{μ} ϵ_{ν}^{*} \to - g_{μν}$ とする。
奇数個のガンマ行列のトレースが 0 であることを使って項を減らし、 $Tr [\neq a \neq b] = 4 a \cdot b$ 、 $Tr [\neq a \neq b \neq c \neq d] = 4 [(a \cdot b) (c \cdot d) - (a \cdot c) (b \cdot d) + (a \cdot d) (b \cdot c)]$ 、 $Tr 1 = 4$ で計算する。
運動量保存と質量殻条件 $p_{i}^{2} = m_{i}^{2}$ を使って内積を質量（やマンデルスタム変数）で表す。
始状態のスピンについては平均をとる（スピン 1/2 の粒子 1 個につき $\frac{1}{2}$ 、光子 1 個につき $\frac{1}{2}$ を掛ける）。

例題

$ℏ = c = 1$ 、計量 $(+, -, -, -)$ とし、スピノルの規格化を $u ˉ u = 2 m$ とする。質量 $m_{ϕ}$ の実スカラー場 $ϕ$ と質量 $m$ のディラック場 $ψ$ が相互作用 $L_{int} = - g ϕ ψ ˉ ψ$ （ $g$ は実数）をもつ。 $m_{ϕ} > 2 m$ のとき、崩壊 $ϕ \to ψ (p_{1}) ψ ˉ (p_{2})$ の最低次の振幅について、終状態のスピンについての和 $\sum_{s_{1}, s_{2}} ∣ M ∣^{2}$ を $g, m, m_{ϕ}$ で求めよ。

例題の解答

手順 1: 頂点因子は $- i g$ なので $i M = - i g u ˉ (p_{1}) v (p_{2})$ 、すなわち $M = - g u ˉ (p_{1}) v (p_{2})$ 。 $Γ = 1$ なので $Γ ˉ = 1$ で、 $M^{*} = - g v ˉ (p_{2}) u (p_{1})$ 。

手順 2: 完全性関係より
$s_{1}, s_{2} \sum ∣ M ∣^{2} = g^{2} Tr [(\neq p_{1} + m) (\neq p_{2} - m)] .$

手順 3: 展開すると $Tr [\neq p_{1} \neq p_{2}] - m Tr [\neq p_{1}] + m Tr [\neq p_{2}] - m^{2} Tr 1$ 。ガンマ行列 1 個のトレースは 0 なので、 $4 p_{1} \cdot p_{2} - 4 m^{2}$ 。よって $\sum ∣ M ∣^{2} = 4 g^{2} (p_{1} \cdot p_{2} - m^{2})$ 。

手順 4: $ϕ$ の運動量を $P = p_{1} + p_{2}$ とすると $P^{2} = m_{ϕ}^{2} = p_{1}^{2} + p_{2}^{2} + 2 p_{1} \cdot p_{2} = 2 m^{2} + 2 p_{1} \cdot p_{2}$ より $p_{1} \cdot p_{2} = \frac{m _{ϕ}^{2}}{2} - m^{2}$ 。代入して
$\sum ∣ M ∣^{2} = 4 g^{2} (\frac{m _{ϕ}^{2}}{2} - 2 m^{2}) = 2 g^{2} (m_{ϕ}^{2} - 4 m^{2}) .$

手順 5: 始状態はスピン 0 なので平均の因子は不要。 $m_{ϕ} > 2 m$ で正になっていることも確かめられる。

答え: $2 g^{2} (m_{ϕ}^{2} - 4 m^{2})$

よくある誤り

反粒子のスピン和を $\sum_{s} v v ˉ = \neq p + m$ としてしまう誤り。正しくは $\sum_{s} v v ˉ = \neq p - m$ で、これを誤ると例題が $4 g^{2} (p_{1} \cdot p_{2} + m^{2}) = 2 g^{2} m_{ϕ}^{2}$ となってしまう。
$M^{*}$ を作るときに $(u ˉ Γ v)^{*} = v ˉ Γ u$ としてしまう誤り。正しくは $v ˉ γ^{0} Γ^{†} γ^{0} u$ で、たとえば $Γ = γ^{5}$ なら $γ^{0} γ^{5 †} γ^{0} = - γ^{5}$ 、 $Γ = γ^{μ} γ^{ν}$ なら $γ^{ν} γ^{μ}$ と順序が逆になる。
トレースの中の質量の項を落として $Tr [(\neq p_{1} + m) (\neq p_{2} - m)] = 4 p_{1} \cdot p_{2}$ としてしまう誤り。奇数個のガンマ行列の項は 0 だが $m^{2} Tr 1$ は残るので、正しくは $4 p_{1} \cdot p_{2} - 4 m^{2}$ 。
始状態のスピンについて平均をとるべきところで和のままにしてしまう誤り。たとえば $e^{-} e^{+} \to μ^{-} μ^{+}$ の非偏極の量は $\frac{1}{4} \sum_{全スピン} ∣ M ∣^{2}$ （始状態の 2 つのスピン 1/2 粒子で $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}$ ）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
自然単位系 $ℏ = c = 1$ 、計量の符号 $(+, -, -, -)$ を用いる。 $γ^{5} = i γ^{0} γ^{1} γ^{2} γ^{3}$ は $(γ^{5})^{2} = 1$ 、 ${γ^{5}, γ^{μ}} = 0$ 、 $(γ^{5})^{†} = γ^{5}$ を満たし、 $Tr 1 = 4$ とする。
質量 $M$ の擬スカラー場 $ϕ$ が、質量 $m$ のディラック場 $ψ$ と相互作用
$L_{int} = - i g ϕ ψ ˉ γ^{5} ψ (g は実数)$
で結合しており、 $M > 2 m$ とする。崩壊 $ϕ \to ψ (p_{1}) ψ ˉ (p_{2})$ の最低次の不変振幅は
$M = g u ˉ (p_{1}) γ^{5} v (p_{2})$
である。終状態のスピンについて和をとった $spins \sum ∣ M ∣^{2}$ を、 $g$ と $M$ の式で求めよ。ただしスピン和には $\sum_{s} u u ˉ = \neq p + m$ 、 $\sum_{s} v v ˉ = \neq p - m$ を用いる。

この技能を使う問題

難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）
自然単位系 $ℏ = c = 1$ 、計量の符号 $(+, -, -, -)$ を用いる。質量 $M$ の実スカラー場 $ϕ$ と質量 $m$ のディラック場 $ψ$ が、スカラー結合と擬スカラー結合の両方をもつ湯川相互作用で結合している系を考える。ラグランジアン密度は
$L = \frac{1}{2} \partial_{μ} ϕ \partial^{μ} ϕ - \frac{1}{2} M^{2} ϕ^{2} + ψ ˉ (i γ^{μ} \partial_{μ} - m) ψ - ϕ ψ ˉ (g + ih γ^{5}) ψ$
である。ここで $g, h$ は実数の結合定数、 $γ^{5} = i γ^{0} γ^{1} γ^{2} γ^{3}$ （ $(γ^{5})^{2} = 1$ 、 ${γ^{5}, γ^{μ}} = 0$ ）であり、 $M > 2 m > 0$ とする。
静止した $ϕ$ 粒子の崩壊 $ϕ \to ψ ψ ˉ$ の全崩壊幅 $Γ$ を、結合定数について最低次（樹木図レベル）で求め、 $M, m, g, h$ を用いて表せ。終状態のフェルミオンのスピンはすべて和をとるものとする。

この技能の次に学べること

2 体崩壊の崩壊幅（大学院物理場の量子論）