ディラック行列のトレースと縮約恒等式

${γ^{μ}, γ^{ν}} = 2 g^{μν}$ と $Tr 1 = 4$ から、 $Tr [γ^{μ} γ^{ν}] = 4 g^{μν}$ 、 $Tr [γ^{μ} γ^{ν} γ^{ρ} γ^{σ}]$ 、奇数個のトレースが 0、 $γ^{5}$ を含むトレース、 $d$ 次元の縮約 $γ^{μ} γ^{ν} γ_{μ} = - (d - 2) γ^{ν}$ などを使って、添字を縮約したトレースを $d$ の多項式として求められる

前提

ディラック方程式と自由粒子の解（大学院物理発展的な量子力学（散乱・相対論的量子力学））

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算数中学高校大学大学院

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ディラック方程式と自由粒子の解（大学院物理発展的な量子力学（散乱・相対論的量子力学））

説明

散乱断面積や崩壊率を計算すると、スピンについて和をとった結果は必ずディラック行列の積のトレース $Tr [γ^{μ} γ^{ν} \dots]$ になります。この技能では、行列の具体的な形を使わずに、反交換関係 ${γ^{μ}, γ^{ν}} = 2 g^{μν}$ と $Tr 1 = 4$ だけからトレースを計量 $g^{μν}$ の積に直す規則と、添字を縮約した $γ^{μ} \dots γ_{μ}$ を簡単にする恒等式を身につけます。ループ計算で使う次元正則化に備えて、時空の次元を $d$ （ $g^{μ}_{μ} = d$ ）のまま扱い、答えを $d$ の多項式として出せるようにします。

なぜそうしてよいのか

計量は $(+, -, -, -)$ （ $d$ 次元では $g^{μ}_{μ} = d$ ）とし、 ${γ^{μ}, γ^{ν}} = γ^{μ} γ^{ν} + γ^{ν} γ^{μ} = 2 g^{μν} 1$ 、 $Tr 1 = 4$ とします。使う道具はトレースの巡回性 $Tr [A B] = Tr [B A]$ と、反交換関係による「入れ替えると $2 g$ が出て符号が変わる」操作だけです。まず $Tr [γ^{μ} γ^{ν}] = \frac{1}{2} Tr [γ^{μ} γ^{ν} + γ^{ν} γ^{μ}] = \frac{1}{2} \cdot 2 g^{μν} \cdot 4 = 4 g^{μν}$ です。4 個の場合は、先頭の $γ^{μ}$ を右へ 1 つずつ入れ替えて末尾まで運ぶと $2 g$ の項が 3 つ出て、最後に $- Tr [γ^{ν} γ^{ρ} γ^{σ} γ^{μ}] = - Tr [γ^{μ} γ^{ν} γ^{ρ} γ^{σ}]$ （巡回性）が残るので、移項して
$Tr [γ^{μ} γ^{ν} γ^{ρ} γ^{σ}] = 4 (g^{μν} g^{ρ σ} - g^{μ ρ} g^{ν σ} + g^{μ σ} g^{ν ρ})$
が得られます。同じ手順を繰り返せば $2 n$ 個のトレースも $2 n - 2$ 個のトレースに下ろせます。

4 次元では $γ^{5} = i γ^{0} γ^{1} γ^{2} γ^{3}$ と定めると、反交換関係から $(γ^{5})^{2} = 1$ 、 ${γ^{5}, γ^{μ}} = 0$ が確かめられます。奇数個の積 $X$ では $Tr [X] = Tr [γ^{5} γ^{5} X] = Tr [γ^{5} X γ^{5}]$ （巡回性） $= - Tr [γ^{5} γ^{5} X]$ （ $γ^{5}$ を奇数回入れ替え）なので $Tr [X] = 0$ です。 $γ^{5}$ を含むものは、同様の議論で $Tr [γ^{5}] = Tr [γ^{5} γ^{μ} γ^{ν}] = 0$ となり、0 でない最初のものは $Tr [γ^{5} γ^{μ} γ^{ν} γ^{ρ} γ^{σ}] = - 4 i ε^{μν ρ σ}$ です（ここで $ε^{μν ρ σ}$ は完全反対称で $ε^{0123} = + 1$ 。 $γ^{0} γ^{1} γ^{2} γ^{3} = - i γ^{5}$ より $Tr [γ^{5} γ^{0} γ^{1} γ^{2} γ^{3}] = - i Tr [(γ^{5})^{2}] = - 4 i$ 。添字が重なると反交換で 2 個以下の $γ$ に減って 0 になるので完全反対称です。 $ε$ の符号の規約は本によって違うので注意します）。

縮約の恒等式も反交換関係だけから出ます。 $γ^{μ} γ_{μ} = \frac{1}{2} {γ^{μ}, γ_{μ}} = g^{μ}_{μ} = d$ 、次に $γ^{μ} γ^{ν} γ_{μ} = (2 g^{μν} - γ^{ν} γ^{μ}) γ_{μ} = 2 γ^{ν} - d γ^{ν} = - (d - 2) γ^{ν}$ 。同じく 1 つずつ入れ替えると $γ^{μ} γ^{ν} γ^{ρ} γ_{μ} = 4 g^{ν ρ} - (4 - d) γ^{ν} γ^{ρ}$ 、 $γ^{μ} γ^{ν} γ^{ρ} γ^{σ} γ_{μ} = - 2 γ^{σ} γ^{ρ} γ^{ν} + (4 - d) γ^{ν} γ^{ρ} γ^{σ}$ が得られます。 $d = 4$ では $- 2 γ^{ν}$ 、 $4 g^{ν ρ}$ 、 $- 2 γ^{σ} γ^{ρ} γ^{ν}$ に戻ります。

手順

トレースの中の $γ$ の個数を数える。奇数個なら（ $γ^{5}$ を含まなくても含んでも、4 次元では）0。 $γ^{5}$ を含み $γ^{μ}$ が 4 個未満でも 0。
同じ添字で縮約された組 $γ^{μ} \dots γ_{μ}$ があれば、縮約の恒等式（ $γ^{μ} γ_{μ} = d$ 、 $γ^{μ} γ^{ν} γ_{μ} = - (d - 2) γ^{ν}$ など）で先に取り除き、 $γ$ の数を減らす。
残ったトレースを $Tr [γ^{μ} γ^{ν}] = 4 g^{μν}$ 、 $Tr [γ^{μ} γ^{ν} γ^{ρ} γ^{σ}] = 4 (g^{μν} g^{ρ σ} - g^{μ ρ} g^{ν σ} + g^{μ σ} g^{ν ρ})$ 、 $Tr [γ^{5} γ^{μ} γ^{ν} γ^{ρ} γ^{σ}] = - 4 i ε^{μν ρ σ}$ で計量の積に直す。
残った計量の縮約を $g^{μ}_{μ} = d$ 、 $g^{μν} g_{ν ρ} = δ^{μ}_{ρ}$ で計算し、 $d$ の多項式として整理する（4 次元の答えが欲しければ最後に $d = 4$ を代入する）。

例題

$d$ 次元時空で、計量 $g^{μν}$ （ $g^{μ}_{μ} = d$ ）とディラック行列 ${γ^{μ}, γ^{ν}} = 2 g^{μν} 1$ 、 $Tr 1 = 4$ を考える。繰り返す添字は和をとるものとして、
$Tr [γ^{μ} γ^{ν} γ_{μ} γ_{ν}]$
を $d$ の式で求めよ。

例題の解答

手順 1: $γ$ は 4 個（偶数）で $γ^{5}$ はないので、0 とは限らない。

手順 2: 先頭の $γ^{μ} γ^{ν} γ_{μ}$ に縮約の恒等式を使う。 $γ^{μ} γ^{ν} γ_{μ} = (2 g^{μν} - γ^{ν} γ^{μ}) γ_{μ} = 2 γ^{ν} - d γ^{ν} = - (d - 2) γ^{ν}$ より
$Tr [γ^{μ} γ^{ν} γ_{μ} γ_{ν}] = - (d - 2) Tr [γ^{ν} γ_{ν}] .$

手順 3: $Tr [γ^{ν} γ_{ν}] = 4 g^{ν}_{ν}$ 。

手順 4: $g^{ν}_{ν} = d$ なので
$Tr [γ^{μ} γ^{ν} γ_{μ} γ_{ν}] = - (d - 2) \cdot 4 d = - 4 d (d - 2) .$
（検算: 4 個のトレース公式で $ρ = μ, σ = ν$ として下げると $4 (g^{μν} g_{μν} - g^{μ}_{μ} g^{ν}_{ν} + g^{μ}_{ν} g^{ν}_{μ}) = 4 (d - d^{2} + d) = - 4 d (d - 2)$ で一致する。 $d = 4$ では $- 32$ 。）

答え: $- 4 d (d - 2)$

よくある誤り

$d$ 次元で 4 次元の恒等式をそのまま使い、 $γ^{μ} γ^{ν} γ_{μ} = - 2 γ^{ν}$ としてしまう誤り。 $γ^{μ} γ_{μ} = g^{μ}_{μ} = d$ なので、正しくは $γ^{μ} γ^{ν} γ_{μ} = - (d - 2) γ^{ν}$ 。例題でこれを使うと $- 32$ になり、 $d$ 依存性 $- 4 d (d - 2)$ が失われる（次元正則化では $O (d - 4)$ の差が有限部分に効く）。
4 個のトレースの真ん中の項の符号を誤り、 $4 (g^{μν} g^{ρ σ} + g^{μ ρ} g^{ν σ} + g^{μ σ} g^{ν ρ})$ としてしまう誤り。 $γ^{μ}$ を 2 つ目の位置まで運ぶときに 1 回入れ替えるので符号が負になり、正しくは $4 (g^{μν} g^{ρ σ} - g^{μ ρ} g^{ν σ} + g^{μ σ} g^{ν ρ})$ 。
$Tr 1$ を $d$ にしてしまう誤り。 $Tr 1$ はスピノルの成分数で、時空の次元とは別の数。ここでは慣例どおり $Tr 1 = 4$ とし、 $d$ は $g^{μ}_{μ}$ からだけ出る。例題で $Tr 1 = d$ とすると $- d^{2} (d - 2)$ という誤った答えになる。
$γ^{5}$ を含むトレースの値を $Tr [γ^{5} γ^{μ} γ^{ν} γ^{ρ} γ^{σ}] = 4 i ε^{μν ρ σ}$ や $Tr [γ^{5} γ^{μ} γ^{ν}] = 4 i ε^{μν}$ のように符号の規約や個数を確かめずに使う誤り。 $γ^{5} = i γ^{0} γ^{1} γ^{2} γ^{3}$ 、 $ε^{0123} = + 1$ なら $Tr [γ^{5} γ^{0} γ^{1} γ^{2} γ^{3}] = - 4 i$ から $- 4 i ε^{μν ρ σ}$ であり、 $γ^{μ}$ が 2 個のときは 0 である。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
次元正則化で使う $d$ 次元時空のディラック行列 $γ^{μ}$ を考える。ここで $d$ は整数とは限らない形式的なパラメータとして扱い、計算は次の規則だけを使う代数的な操作とする。
- 反交換関係 ${γ^{μ}, γ^{ν}} = 2 g^{μν} 1$
- 計量の縮約 $g^{μν} g_{μν} = d$ 、 $g^{μ}_{ν} g^{ν}_{ρ} = g^{μ}_{ρ}$ （計量の符号の流儀は $(+, -, \dots, -)$ ）
- トレースは線形で、規約として $Tr 1 = 4$ とする
添字はアインシュタインの縮約規約に従って和をとる。このとき
$Tr [γ^{μ} γ^{ν} γ_{μ} γ_{ν}]$
を $d$ の式で求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

スピン和と振幅の 2 乗のトレース計算（大学院物理場の量子論）
フェルミオンループを含む 1 ループのベータ関数（大学院物理場の量子論）