フェルミオンループを含む 1 ループのベータ関数

$\hslash =c=1$、計量 $(+,-,-,-)$、$d=4-ϵ$ とし、最小引き算（$\frac{1}{ϵ}$ 極だけを相殺項で打ち消す流儀）を使います。裸の量を ${\psi }_0=Z_2^{1/2}\psi$、$A_0=Z_3^{1/2}A$ と繰り込み、相互作用 $-e_0{\bar{\psi }}_0{\gamma }^{\mu }{\psi }_0{A}_{0\mu }=-Z_1{\mu }^{ϵ/2}e\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi A_{\mu }$ と書きます（$d$ 次元では $[e_0]=\frac{ϵ}{2}$ なので ${\mu }^{ϵ/2}$ を付けて $e$ を無次元にします）。すると $e_0={\mu }^{ϵ/2}\frac{Z_1}{Z_2{Z}_3^{1/2}}e$ です。ゲージ不変性から導かれるウォード恒等式 $Z_1=Z_2$ により $e_0={\mu }^{ϵ/2}{Z}_3^{-1/2}e$ となり、電荷の繰り込みは光子の自己エネルギーだけで決まります。どのフェルミオンでも同じ $Z_3$ が効くので、電荷の比 $Q_f$ は繰り込まれません。

$Z_3$ を決めるのが真空偏極 $i{\Pi }^{\mu \nu }(q)=i(q^2{g}^{\mu \nu }-q^{\mu }{q}^{\nu })\Pi (q^2)$ です。電荷 $Q_{f}e$ のフェルミオン 1 種のループは、頂点 $-i{Q}_{f}e{\gamma }^{\mu }$ が 2 つ、伝播関数 $\frac{i(/\ell +m)}{{\ell }^2-m^2}$ が 2 本で、閉じたフェルミオンループには、フェルミオン場が反交換することから因子 $-1$ と、スピノルの添字が輪になることからトレースが付きます:
$$i{\Pi }_2^{\mu \nu }=-(-i{Q}_{f}e{)}^2\int \frac{d^d\ell }{(2\pi {)}^d}\frac{i^2\mathrm{Tr}[{\gamma }^{\mu }(/\ell +m){\gamma }^{\nu }(/\ell +/q+m)]}{({\ell }^2-m^2)((\ell +q{)}^2-m^2)}.$$
トレースは $4[{\ell }^{\mu }(\ell +q{)}^{\nu }+{\ell }^{\nu }(\ell +q{)}^{\mu }-g^{\mu \nu }(\ell \cdot (\ell +q)-m^2)]$ です。ファインマン・パラメータでまとめて $\ell \to \ell -xq$ とシフトすると分母は $({\ell }^2-\Delta {)}^2$、$\Delta =m^2-x(1-x)q^2$ になります。$\Pi$ を読み取るには、$\ell$ の積分に関係しない $q^{\mu }{q}^{\nu }$ の係数を見るのが簡単です。シフト後の ${\ell }^{\mu }(\ell +q{)}^{\nu }\to (\ell -xq{)}^{\mu }(\ell +(1-x)q{)}^{\nu }$ の $q^{\mu }{q}^{\nu }$ の項は $-x(1-x)q^{\mu }{q}^{\nu }$ で、$\mu \leftrightarrow \nu$ の項と合わせて分子に $-8x(1-x)q^{\mu }{q}^{\nu }$ が現れます。前の因子は $-(-i{Q}_{f}e{)}^2{i}^2=-Q_f^2{e}^2$ なので、基本公式 $\int \frac{d^d\ell }{(2\pi {)}^d}\frac{1}{({\ell }^2-\Delta {)}^2}=\frac{i}{(4\pi {)}^{d/2}}\Gamma (2-\frac{d}{2}){\Delta }^{d/2-2}$ と $\Gamma (\frac{ϵ}{2})=\frac{2}{ϵ}+\cdots$、${\int }_0^{1}x(1-x)dx=\frac{1}{6}$ より
$$i{\Pi }_2^{\mu \nu }\supset 8i{Q}_f^2{e}^2{q}^{\mu }{q}^{\nu }\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{16{\pi }^2}\cdot \frac{2}{ϵ}=\frac{i{Q}_f^2{e}^2}{6{\pi }^2ϵ}{q}^{\mu }{q}^{\nu }.$$
$i{\Pi }^{\mu \nu }$ の $q^{\mu }{q}^{\nu }$ の係数は $-i\Pi$ なので、${\Pi }_2\supset -\frac{Q_f^2{e}^2}{6{\pi }^2ϵ}$ です（$g^{\mu \nu }$ の項もゲージ不変性により $q^2{g}^{\mu \nu }$ の形にそろいます）。

相殺項 $-\frac{1}{4}{\delta }_3{F}_{\mu \nu }{F}^{\mu \nu }$（$Z_3=1+{\delta }_3$）は $\Pi$ に $-{\delta }_3$ を加えるので、極を消すには ${\delta }_3=-\frac{e^2}{6{\pi }^2ϵ}{\sum }_f{Q}_f^2$。よって $e_0={\mu }^{ϵ/2}e(1-\frac{{\delta }_3}{2})={\mu }^{ϵ/2}e\left(1+\frac{c{e}^2}{ϵ}\right)$、$c=\frac{1}{12{\pi }^2}{\sum }_f{Q}_f^2$。$\mu \frac{d{e}_0}{d\mu }=0$ から $\frac{ϵ}{2}e(1+\frac{c{e}^2}{ϵ})+\beta (1+\frac{3c{e}^2}{ϵ})=0$ で、$\beta =-\frac{ϵ}{2}e+{\beta }_1$ とおいて $e^3$ の項を比べると $\frac{c}{2}{e}^3+{\beta }_1-\frac{3}{2}c{e}^3=0$、すなわち ${\beta }_1=c{e}^3$。$ϵ\to 0$ で $\beta (e)=\frac{e^3}{12{\pi }^2}{\sum }_f{Q}_f^2$ です。