場と結合定数の質量次元

自然単位系 $ℏ = c = 1$ で作用が無次元であることから、 $d$ 次元時空のスカラー場 $[ϕ] = \frac{d - 2}{2}$ 、ディラック場 $[ψ] = \frac{d - 1}{2}$ 、ゲージ場の質量次元と、 $λ ϕ^{n}$ ・ $g ϕ ψ ˉ ψ$ ・ $e ψ ˉ γ^{μ} ψ A_{μ}$ の結合定数の質量次元を求められる

前提

自由スカラー場の正準量子化とモード展開（大学院物理場の量子論）
次元解析（大学数学数理モデル）

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算数中学高校大学大学院

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フーリエ変換（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）
自由スカラー場の正準量子化とモード展開（大学院物理場の量子論）
次元解析（大学数学数理モデル）

説明

自然単位系 $ℏ = c = 1$ では、長さも時間もエネルギーもすべて質量の何乗かで表せます。この技能では「作用 $S$ は無次元」という条件だけを使って、 $d$ 次元時空のスカラー場・ディラック場・ゲージ場の質量次元を決め、相互作用項 $λ ϕ^{n}$ 、 $g ϕ ψ ˉ ψ$ 、 $e ψ ˉ γ^{μ} ψ A_{μ}$ などの結合定数の質量次元を求めます。結合定数の質量次元が正・0・負のどれかで、その理論が高エネルギーでどう振る舞うか（繰り込み可能かどうかの目安）が判断でき、次元正則化で $d = 4 - ϵ$ とするときの結合定数の次元の扱いにも使います。

なぜそうしてよいのか

$ℏ = c = 1$ とすると $E = ℏ ω$ 、 $p = ℏ k$ 、 $E = m c^{2}$ からエネルギー・運動量・質量・振動数・波数はすべて同じ次元になり、これを質量次元 1 と数えて $[m] = 1$ と書きます。時間と長さはその逆数なので $[x] = - 1$ 、微分は $[\partial_{μ}] = + 1$ 、 $d$ 次元時空の体積要素は $[d^{d} x] = - d$ です。また $ℏ$ が作用の単位なので、 $ℏ = 1$ では作用 $S = \int d^{d} x L$ は無次元 $[S] = 0$ です。したがってラグランジアン密度のどの項も $[L] = d$ でなければなりません。

場の次元は運動項（微分を含む 2 次の項）の係数を $1$ と決めることで定まります。スカラー場は $\frac{1}{2} \partial_{μ} ϕ \partial^{μ} ϕ$ より $2 + 2 [ϕ] = d$ 、すなわち $[ϕ] = \frac{d - 2}{2}$ 。ディラック場は $ψ ˉ i γ^{μ} \partial_{μ} ψ$ （ $γ^{μ}$ は数の行列で無次元）より $1 + 2 [ψ] = d$ 、 $[ψ] = \frac{d - 1}{2}$ 。ゲージ場は $- \frac{1}{4} F_{μν} F^{μν}$ （ $F_{μν} = \partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}$ ）より $2 (1 + [A]) = d$ 、 $[A_{μ}] = \frac{d - 2}{2}$ で、スカラー場と同じです。これらは $d = 4$ でそれぞれ $1, \frac{3}{2}, 1$ になります。質量項 $\frac{1}{2} m^{2} ϕ^{2}$ 、 $m ψ ˉ ψ$ も $[m] = 1$ と矛盾しないことが確かめられます。

相互作用項も $[L] = d$ を満たす必要があるので、結合定数の次元は「 $d$ から場と微分の次元の和を引いたもの」です。 $λ ϕ^{n}$ なら $[λ] = d - n \frac{d - 2}{2}$ 、湯川結合 $g ϕ ψ ˉ ψ$ なら $[g] = d - \frac{d - 2}{2} - (d - 1) = \frac{4 - d}{2}$ 、ゲージ結合 $e ψ ˉ γ^{μ} ψ A_{μ}$ も同じく $[e] = \frac{4 - d}{2}$ です。共変微分 $\partial_{μ} + i e A_{μ}$ の 2 項が同じ次元になること（ $[e] + [A] = 1$ ）からも同じ結果が出ます。結合定数の次元が負なら、無次元の組合せは $λ E^{- [λ]}$ でエネルギーとともに大きくなるので、高エネルギーで摂動が効かなくなります。

手順

自然単位系での基本の次元を確認する: $[m] = [E] = [p] = 1$ 、 $[x] = - 1$ 、 $[\partial_{μ}] = 1$ 、 $[d^{d} x] = - d$ 、 $[S] = 0$ より $[L] = d$ 。
運動項から場の次元を決める: $[ϕ] = [A_{μ}] = \frac{d - 2}{2}$ 、 $[ψ] = [ψ ˉ] = \frac{d - 1}{2}$ 。
相互作用項に含まれる場と微分の次元を足し合わせる（ $γ^{μ}$ や数係数は無次元）。
結合定数の次元を $d -$ （その和）として求める。 $d$ に具体的な値があれば代入し、正・0・負を判定する。

例題

自然単位系 $ℏ = c = 1$ で、 $d$ 次元時空における実スカラー場 $ϕ$ とディラック場 $ψ$ の理論
$L = \frac{1}{2} \partial_{μ} ϕ \partial^{μ} ϕ - \frac{1}{2} M^{2} ϕ^{2} + ψ ˉ (i γ^{μ} \partial_{μ} - m) ψ - g ϕ ψ ˉ ψ$
を考える。作用 $S = \int d^{d} x L$ が無次元であることを用いて、湯川結合定数 $g$ の質量次元を $d$ の式で求めよ。

例題の解答

手順 1: $[S] = 0$ 、 $[d^{d} x] = - d$ より $[L] = d$ 。 $[\partial_{μ}] = 1$ 。

手順 2: スカラーの運動項から $2 [\partial_{μ}] + 2 [ϕ] = d$ 、よって $[ϕ] = \frac{d - 2}{2}$ 。ディラックの運動項 $ψ ˉ i γ^{μ} \partial_{μ} ψ$ から $2 [ψ] + 1 = d$ 、よって $[ψ] = [ψ ˉ] = \frac{d - 1}{2}$ 。

手順 3: $ϕ ψ ˉ ψ$ の次元は $\frac{d - 2}{2} + 2 \cdot \frac{d - 1}{2} = \frac{3 d - 4}{2}$ 。

手順 4: $[g] + \frac{3 d - 4}{2} = d$ より
$[g] = d - \frac{3 d - 4}{2} = \frac{4 - d}{2} .$
（ $d = 4$ で $0$ （無次元）、 $d = 3$ で $\frac{1}{2}$ 、 $d = 6$ で $- 1$ 。）

答え: $\frac{4 - d}{2}$

よくある誤り

ラグランジアン密度ではなくラグランジアンの次元と混同し、 $[L] = 1$ （エネルギーの次元）としてしまう誤り。 $S = \int d^{d} x L$ が無次元で $[d^{d} x] = - d$ なので、正しくは $[L] = d$ （ $d = 4$ で $4$ ）。
どの場も同じ次元だと思い、ディラック場にも $[ψ] = \frac{d - 2}{2}$ を使ってしまう誤り。ディラック場の運動項は微分を 1 つしか含まない（ $ψ ˉ i γ^{μ} \partial_{μ} ψ$ ）ので、正しくは $[ψ] = \frac{d - 1}{2}$ （ $d = 4$ で $\frac{3}{2}$ ）。これを誤ると湯川結合が $[g] = d - 3 \cdot \frac{d - 2}{2} = \frac{6 - d}{2}$ になってしまう。
$ϕ^{n}$ 結合の次元を $[λ] = d - n$ のように場の次元を $1$ と決めつけて計算する誤り。場の次元は $d$ に依存し、正しくは $[λ] = d - n \frac{d - 2}{2}$ 。例えば $d = 6$ の $ϕ^{3}$ では $6 - 3 \cdot 2 = 0$ 、 $d = 3$ の $ϕ^{6}$ では $3 - 6 \cdot \frac{1}{2} = 0$ で、 $d = 4$ の $ϕ^{4}$ と同じく無次元になる。
ゲージ結合 $e$ の次元を、 $ψ ˉ γ^{μ} ψ A_{μ}$ の $γ^{μ}$ や添字に次元があると考えて誤る誤り。 $γ^{μ}$ は数の行列で無次元、 $[A_{μ}] = \frac{d - 2}{2}$ なので、正しくは $[e] = d - (d - 1) - \frac{d - 2}{2} = \frac{4 - d}{2}$ 。共変微分 $\partial_{μ} + i e A_{μ}$ で $[e] + [A_{μ}] = 1$ となることとも一致する。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
自然単位系 $ℏ = c = 1$ を用い、質量次元を $[\cdot]$ で表す（ $[\partial_{μ}] = 1$ , $[d^{d} x] = - d$ ）。 $d = 5$ 次元時空で、実スカラー場 $ϕ$ とディラック場 $ψ$ の作用
$S = \int d^{5} x [\frac{1}{2} \partial_{μ} ϕ \partial^{μ} ϕ - \frac{1}{2} M^{2} ϕ^{2} + ψ ˉ (i γ^{μ} \partial_{μ} - m) ψ - g ϕ ψ ˉ ψ]$
を考える。作用 $S$ が無次元であることから、湯川結合定数 $g$ の質量次元 $[g]$ を求めよ。

この技能の次に学べること

表面的発散次数と繰り込み可能性（大学院物理場の量子論）