表面的発散次数と繰り込み可能性

ループ数 $L = I - V + 1$ と頂点での線の本数の関係を使って、1PI 図の表面的発散次数 $D = d L - 2 I_{b} - I_{f}$ を外線の本数 $E_{b}, E_{f}$ と $d$ （と頂点数）の式で表し、結合定数の質量次元から理論が繰り込み可能か、どの $n$ 点関数が発散するかを判定できる

前提

場と結合定数の質量次元（大学院物理場の量子論）
ファインマン図の対称因子と連結図（大学院物理場の量子論）

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算数中学高校大学大学院

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場と結合定数の質量次元（大学院物理場の量子論）
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ファインマン図の対称因子と連結図（大学院物理場の量子論）

説明

ループを含むファインマン図の運動量積分は、大きな運動量の領域で発散することがあります。この技能では、実際に積分を計算する前に、分子と分母の運動量のべきを数えるだけで発散の強さの目安「表面的発散次数 $D$ 」を求め、それを外線の本数と頂点の数だけの式に直します。その結果、発散する $n$ 点関数が有限個しかないか（繰り込み可能）、次数が上がるほど発散する関数が増えるか（繰り込み不可能）を、結合定数の質量次元から判定できるようになります。

なぜそうしてよいのか

$ℏ = c = 1$ とし、 $d$ 次元時空で考えます。1PI 図（内線を 1 本切っても 2 つに分かれない図）の運動量積分で、すべてのループ運動量を同時に $Λ$ 倍の大きさにしたとき被積分関数全体が $Λ^{D}$ のように振る舞うとします。独立なループ運動量 1 つごとに $d^{d} ℓ$ が $d$ だけ、ボソンの伝播関数 $\frac{i}{p ^{2} - m ^{2}}$ が $- 2$ だけ、フェルミオンの伝播関数（ $\frac{1}{p}$ 程度）が $- 1$ だけべきを与えるので、 $D = d L - 2 I_{b} - I_{f}$ です（ $L$ はループ数、 $I_{b}, I_{f}$ はボソン・フェルミオンの内線の数）。 $D \geq 0$ なら積分は $Λ^{D}$ （ $D = 0$ なら $lo g Λ$ ）のように発散する見込みで、 $D < 0$ なら全体としては収束する見込みです。「表面的」と呼ぶのは、部分図の発散や対称性による打ち消しまでは見ていないからです。

独立なループ運動量の数は、内線ごとの運動量 $I$ 個から、頂点ごとの運動量保存 $V$ 個（ただし 1 つは外線全体の運動量保存として残る）を引いて $L = I - V + 1$ です。また、各頂点から出る線の本数を数えると、内線は両端の 2 つの頂点で数えられ、外線は 1 つの頂点でだけ数えられるので、 $ϕ^{n}$ 型の頂点だけの理論では $nV = 2 I + E$ が成り立ちます。この 2 式で $L$ と $I$ を消すと、 $ϕ^{n}$ 理論では
$D = d L - 2 I = d - \frac{d - 2}{2} E - (d - n \frac{d - 2}{2}) V = d - [ϕ] E - [λ] V$
となります。ここで $[ϕ] = \frac{d - 2}{2}$ 、 $[λ] = d - n [ϕ]$ は場と結合定数の質量次元です。

この形は次元解析からも納得できます。運動量空間の 1PI な $E$ 点関数の質量次元は $d - E [ϕ]$ で決まっており、そのうち結合定数が $V [λ]$ を受け持つので、残りが運動量積分から来るべき $D$ です。フェルミオンなどが混ざる一般の場合も同じ理由で $D = d - \sum_{外線} [場] - \sum_{頂点} [結合定数]$ となります。したがって、 $[λ] > 0$ なら $V$ が増えるほど $D$ が下がり、発散する図は有限個しかありません（超繰り込み可能）。 $[λ] = 0$ なら $D$ は $V$ によらず外線の本数だけで決まり、発散する $n$ 点関数が有限種類にとどまります（繰り込み可能）。 $[λ] < 0$ なら $V$ とともに $D$ が増え、どんな $E$ でも高次で発散します（繰り込み不可能）。

手順

時空の次元 $d$ と相互作用項から、場の質量次元 $[ϕ] = \frac{d - 2}{2}$ （ディラック場は $\frac{d - 1}{2}$ ）と結合定数の質量次元を求める。
1PI 図について $D = d L - 2 I_{b} - I_{f}$ と書き、関係式 $L = I - V + 1$ と頂点での線の本数の関係（ $ϕ^{n}$ なら $nV = 2 I + E$ ）を書く。
2 つの関係式で $L$ と $I$ を消し、 $D$ を外線の本数 $E$ （ $E_{b}, E_{f}$ ）と頂点数 $V$ で表す。結果が $D = d - \sum_{外線} [場] - V [結合定数]$ と一致することで検算する。
$V$ の係数（ $= - [結合定数]$ ）の符号で、超繰り込み可能・繰り込み可能・繰り込み不可能を判定する。
$D \geq 0$ となる外線の本数を調べ、どの $n$ 点関数が（表面的に）発散するかを挙げる。

例題

$ℏ = c = 1$ とする。 $d = 3$ 次元時空の実スカラー場の理論 $L = \frac{1}{2} \partial_{μ} ϕ \partial^{μ} ϕ - \frac{1}{2} m^{2} ϕ^{2} - \frac{λ}{4 !} ϕ^{4}$ で、外線 $E$ 本・頂点 $V$ 個の 1PI 図の表面的発散次数 $D$ を $E$ と $V$ の式で求めよ。

例題の解答

手順 1: $d = 3$ では $[ϕ] = \frac{3 - 2}{2} = \frac{1}{2}$ 、 $[λ] = 3 - 4 \cdot \frac{1}{2} = 1$ 。

手順 2: スカラーだけなので $D = 3 L - 2 I$ 。ループ数は $L = I - V + 1$ 、頂点での線の本数は $4 V = 2 I + E$ 。

手順 3: $L$ を代入して $D = 3 (I - V + 1) - 2 I = I - 3 V + 3$ 。 $I = \frac{4 V - E}{2} = 2 V - \frac{E}{2}$ を代入して
$D = 2 V - \frac{E}{2} - 3 V + 3 = 3 - \frac{E}{2} - V .$
検算: $d - [ϕ] E - [λ] V = 3 - \frac{1}{2} E - 1 \cdot V$ と一致する。

手順 4: $V$ の係数が $- 1$ （ $[λ] = 1 > 0$ ）なので、頂点が増えるほど発散が弱まり、この理論は超繰り込み可能。

手順 5: たとえば $E = 2$ では $D = 2 - V$ なので、 $V = 1, 2$ の図だけが表面的に発散する。

答えは $D = 3 - \frac{E}{2} - V$ 。

答え: $3 - \frac{E}{2} - V$

よくある誤り

ループ数を $L = I - V$ としてしまう誤り。全体の運動量保存の 1 つは外線の運動量の関係として残り、ループ運動量を減らさないので、正しくは $L = I - V + 1$ （例: 1 頂点の 8 の字図は $I = 2, V = 1$ で $L = 2$ ）。
頂点での線の本数を $nV = I + E$ と数えてしまう誤り。内線は両端の 2 つの頂点で 1 回ずつ数えられるので、正しくは $nV = 2 I + E$ 。これを誤ると $d = 4$ の $ϕ^{4}$ 理論で $D = 4 - E$ が得られない。
フェルミオンの伝播関数もボソンと同じく $- 2$ と数え、 $D = d L - 2 I_{b} - 2 I_{f}$ としてしまう誤り。フェルミオンの伝播関数は $\frac{γ ^{μ} p _{μ} + m}{p ^{2} - m ^{2}}$ で大きな運動量で $\frac{1}{p}$ 程度なので、正しくは $D = d L - 2 I_{b} - I_{f}$ （ $d = 4$ の QED では $D = 4 - E_{b} - \frac{3}{2} E_{f}$ ）。
$D < 0$ なら必ず有限、 $D \geq 0$ なら必ず発散すると決めつけてしまう誤り。 $D$ は表面的な目安で、部分図に発散があれば $D < 0$ でも発散し、対称性で打ち消し合えば実際の発散は弱まる（例: $d = 4$ の QED の光子 2 点関数は $D = 2$ だがゲージ不変性により実際の発散は対数的）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
自然単位系 $ℏ = c = 1$ を用いる。 $d = 6$ 次元時空の実スカラー場の理論
$L = \frac{1}{2} \partial_{μ} ϕ \partial^{μ} ϕ - \frac{1}{2} m^{2} ϕ^{2} - \frac{g}{3 !} ϕ^{3}$
を考える。伝播関数は大きな運動量 $k$ で $1/ k^{2}$ のようにふるまい、頂点は運動量によらない。
この理論の 1PI ファインマン図で、外線の本数を $N$ 、内線の本数を $I$ 、頂点の数を $V$ 、ループの数を $L = I - V + 1$ とすると、表面的発散次数は $D = 6 L - 2 I$ で与えられる。 $D$ を $N$ だけの式で表せ（ $N$ は正の整数）。

この技能を使う問題

難易度 2（大学院の講義の演習問題レベル）
$d$ 次元時空（ $d$ は 2 以上の整数）で、実スカラー場 $ϕ$ とディラック場 $ψ$ が湯川相互作用
$L_{int} = - g ϕ ψ ˉ ψ$
で結合している理論を考える。自然単位系 $ℏ = c = 1$ を用いる。運動量空間で、スカラーの伝播関数は大きな運動量 $k$ で $1/ k^{2}$ 、フェルミオンの伝播関数は $1/ k$ のように振る舞い、頂点因子は運動量によらないとする。
外線のスカラー場の本数を $E_{b}$ 、外線のフェルミオン場の本数を $E_{f}$ とする。この理論の 1 ループ の 1 粒子既約（1PI）ダイアグラムの表面的発散次数 $D$ を、 $d$ , $E_{b}$ , $E_{f}$ を用いて表せ（頂点の数 $V$ は消去すること）。

この技能の次に学べること

相殺項から求める φ⁴ 理論のベータ関数（大学院物理場の量子論）