場の量子論の問題

自然単位系 $\hslash =c=1$、計量の符号 $(+,-,-,-)$ を用いる。質量 $m$ の実スカラー場 $\varphi$ のラグランジアン密度を
$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi -\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }^2-\frac{g}{3!}{\varphi }^3$$
とする（$g$ は実数の結合定数）。この理論のファインマン則は、頂点因子 $-ig$、運動量 $q$ の内線の伝播関数 $\frac{i}{q^2-m^2+i\epsilon }$ である。

2 粒子散乱 $\varphi (p_1)+\varphi (p_2)\to \varphi (p_3)+\varphi (p_4)$ の不変振幅 $\mathcal{M}$ を、$i\mathcal{M}$ が連結で切断された（amputated）ファインマン図の和に等しいと定める。マンデルスタム変数
$$s=(p_1+p_2{)}^2,t=(p_1-p_3{)}^2,u=(p_1-p_4{)}^2$$
を用いて、$g$ の最低次（樹木図レベル）の $\mathcal{M}$ を $g,m,s,t,u$ の式で求めよ。ただし $s,t,u$ はいずれも $m^2$ と異なるとし、$i\epsilon$ は省略してよい。

$d$ 次元時空（$d$ は 2 以上の整数）で、実スカラー場 $\varphi$ とディラック場 $\psi$ が湯川相互作用
$${\mathcal{L}}_{\text{int}}=-g\varphi \bar{\psi }\psi$$
で結合している理論を考える。自然単位系 $\hslash =c=1$ を用いる。運動量空間で、スカラーの伝播関数は大きな運動量 $k$ で $1/k^2$、フェルミオンの伝播関数は $1/k$ のように振る舞い、頂点因子は運動量によらないとする。

外線のスカラー場の本数を $E_b$、外線のフェルミオン場の本数を $E_f$ とする。この理論の 1 ループ の 1 粒子既約（1PI）ダイアグラムの表面的発散次数 $D$ を、$d$, $E_b$, $E_f$ を用いて表せ（頂点の数 $V$ は消去すること）。

自然単位系 $\hslash =c=1$、計量の符号 $(+,-,-,-)$ を用い、時空の次元を $d=4-ϵ$ とする次元正則化と最小引き算（$\frac{1}{ϵ}$ 極だけを相殺項で取り除く）を使う。実スカラー場の理論
$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi -\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }^2-\frac{\lambda }{4!}{\varphi }^4$$
を考え、頂点因子は $-i\lambda$、伝播関数は $\frac{i}{k^2-m^2+i\epsilon }$ とする。結合定数の相殺項 ${\delta }_{\lambda }$ は頂点因子 $-i{\delta }_{\lambda }$ を与える。

2→2 散乱の 1 ループ図は $s$, $t$, $u$ の 3 つのチャネルのバブル図（いずれも対称因子 $\frac{1}{2}$）で、各チャネルの運動量積分の極部分は
$$\int \frac{d^d\ell }{(2\pi {)}^d}\frac{1}{({\ell }^2-m^2)\left((\ell +q{)}^2-m^2\right)}=\frac{i}{8{\pi }^2ϵ}+(\text{有限})$$
である（$q$ はそのチャネルの運動量）。

裸の結合定数 ${\lambda }_0={\mu }^{ϵ}(\lambda +{\delta }_{\lambda })$ が繰り込みスケール $\mu$ によらないことから、$ϵ\to 0$ でのベータ関数を
$$\beta (\lambda )=\mu \frac{d\lambda }{d\mu }=b{\lambda }^2+O({\lambda }^3)$$
と書くとき、係数 $b$ を求めよ。

自然単位系 $\hslash =c=1$ を用い、質量次元を $[\cdot ]$ で表す（$[{\partial }_{\mu }]=1$, $[d^{d}x]=-d$）。$d=5$ 次元時空で、実スカラー場 $\varphi$ とディラック場 $\psi$ の作用
$$S=\int d^{5}x\left[\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi -\frac{1}{2}{M}^2{\varphi }^2+\bar{\psi }(i{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m)\psi -g\varphi \bar{\psi }\psi \right]$$
を考える。作用 $S$ が無次元であることから、湯川結合定数 $g$ の質量次元 $[g]$ を求めよ。

0 次元の場の理論（ただ 1 つの実変数 $\varphi$ の積分）として
$$Z(g)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }d\varphi \exp \left(-\frac{1}{2}{\varphi }^2-\frac{g}{3!}{\varphi }^3\right)$$
を考える。$g$ は実数の結合定数で、$Z(g)$ は $g$ の形式的なべき級数として展開するものとする（伝播関数は $⟨\varphi \varphi {⟩}_0=1$、頂点因子は $-\frac{g}{3!}$）。

$g^2$ の次数のファインマン図（2 頂点の真空図）を列挙して対称因子を求め、連結図の和として
$$\log Z(g)=c{g}^2+O(g^4)$$
と書いたときの係数 $c$ を求めよ。