場の量子論の問題

自然単位系 $\hslash =c=1$ を用いる。$d=6$ 次元時空の実スカラー場の理論
$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi -\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }^2-\frac{g}{3!}{\varphi }^3$$
を考える。伝播関数は大きな運動量 $k$ で $1/k^2$ のようにふるまい、頂点は運動量によらない。

この理論の 1PI ファインマン図で、外線の本数を $N$、内線の本数を $I$、頂点の数を $V$、ループの数を $L=I-V+1$ とすると、表面的発散次数は $D=6L-2I$ で与えられる。$D$ を $N$ だけの式で表せ（$N$ は正の整数）。

自然単位系 $\hslash =c=1$、計量の符号 $(+,-,-,-)$ を用いる。${\gamma }^5=i{\gamma }^0{\gamma }^1{\gamma }^2{\gamma }^3$ は $({\gamma }^5{)}^2=1$、$\{{\gamma }^5,{\gamma }^{\mu }\}=0$、$({\gamma }^5{)}^{†}={\gamma }^5$ を満たし、$\mathrm{Tr}1=4$ とする。

質量 $M$ の擬スカラー場 $\varphi$ が、質量 $m$ のディラック場 $\psi$ と相互作用
$${\mathcal{L}}_{\text{int}}=-ig\varphi \bar{\psi }{\gamma }^5\psi (g\text{ は実数})$$
で結合しており、$M>2m$ とする。崩壊 $\varphi \to \psi (p_1)\bar{\psi }(p_2)$ の最低次の不変振幅は
$$\mathcal{M}=g\bar{u}(p_1){\gamma }^{5}v(p_2)$$
である。終状態のスピンについて和をとった $\sum _{\text{spins}}|\mathcal{M}{|}^2$ を、$g$ と $M$ の式で求めよ。ただしスピン和には ${\sum }_{s}u\bar{u}=/p+m$、${\sum }_{s}v\bar{v}=/p-m$ を用いる。

自然単位系 $\hslash =c=1$、計量の符号 $(+,-,-,-)$ を用いる。質量 $M$ の実スカラー場 $\varphi$ と質量 $m$ のディラック場 $\psi$ が、スカラー結合と擬スカラー結合の両方をもつ湯川相互作用で結合している系を考える。ラグランジアン密度は
$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi -\frac{1}{2}{M}^2{\varphi }^2+\bar{\psi }\left(i{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m\right)\psi -\varphi \bar{\psi }\left(g+ih{\gamma }^5\right)\psi$$
である。ここで $g,h$ は実数の結合定数、${\gamma }^5=i{\gamma }^0{\gamma }^1{\gamma }^2{\gamma }^3$（$({\gamma }^5{)}^2=1$、$\{{\gamma }^5,{\gamma }^{\mu }\}=0$）であり、$M>2m>0$ とする。

静止した $\varphi$ 粒子の崩壊 $\varphi \to \psi \bar{\psi }$ の全崩壊幅 $\Gamma$ を、結合定数について最低次（樹木図レベル）で求め、$M,m,g,h$ を用いて表せ。終状態のフェルミオンのスピンはすべて和をとるものとする。

自然単位系 $\hslash =c=1$ を用い、質量次元を $[\cdot ]$ で表す（$[{\partial }_{\mu }]=1$, $[d^{d}x]=-d$）。$d=5$ 次元時空で、実スカラー場 $\varphi$ とディラック場 $\psi$ の作用
$$S=\int d^{5}x\left[\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi -\frac{1}{2}{M}^2{\varphi }^2+\bar{\psi }(i{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m)\psi -g\varphi \bar{\psi }\psi \right]$$
を考える。作用 $S$ が無次元であることから、湯川結合定数 $g$ の質量次元 $[g]$ を求めよ。

自然単位系 $\hslash =c=1$、計量の符号 $(+,-,-,-)$ を用い、時空の次元を $d=4-ϵ$ とする次元正則化と最小引き算（$\frac{1}{ϵ}$ 極だけを相殺項で取り除く）を使う。実スカラー場の理論
$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi -\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }^2-\frac{\lambda }{4!}{\varphi }^4$$
を考え、頂点因子は $-i\lambda$、伝播関数は $\frac{i}{k^2-m^2+i\epsilon }$ とする。結合定数の相殺項 ${\delta }_{\lambda }$ は頂点因子 $-i{\delta }_{\lambda }$ を与える。

2→2 散乱の 1 ループ図は $s$, $t$, $u$ の 3 つのチャネルのバブル図（いずれも対称因子 $\frac{1}{2}$）で、各チャネルの運動量積分の極部分は
$$\int \frac{d^d\ell }{(2\pi {)}^d}\frac{1}{({\ell }^2-m^2)\left((\ell +q{)}^2-m^2\right)}=\frac{i}{8{\pi }^2ϵ}+(\text{有限})$$
である（$q$ はそのチャネルの運動量）。

裸の結合定数 ${\lambda }_0={\mu }^{ϵ}(\lambda +{\delta }_{\lambda })$ が繰り込みスケール $\mu$ によらないことから、$ϵ\to 0$ でのベータ関数を
$$\beta (\lambda )=\mu \frac{d\lambda }{d\mu }=b{\lambda }^2+O({\lambda }^3)$$
と書くとき、係数 $b$ を求めよ。