場の量子論の問題

自然単位系 $\hslash =c=1$、計量の符号 $(+,-,\dots ,-)$ を用い、時空の次元を $d=4-ϵ$ とする次元正則化を考える。質量 $m>0$ の粒子 2 本からなる 1 ループ積分
$$B(p^2)=\int \frac{d^d\ell }{(2\pi {)}^d}\frac{1}{({\ell }^2-m^2+i\epsilon )\left((\ell +p{)}^2-m^2+i\epsilon \right)}$$
を、$ϵ\to 0$ で
$$B(p^2)=\frac{C}{ϵ}+(ϵ\text{ について有限な項})$$
と展開する。公式
$$\int \frac{d^d\ell }{(2\pi {)}^d}\frac{1}{({\ell }^2-\Delta {)}^n}=\frac{(-1{)}^{n}i}{(4\pi {)}^{d/2}}\frac{\Gamma (n-d/2)}{\Gamma (n)}{\Delta }^{d/2-n}$$
を用いてよい（$\Delta >0$ とする）。極の係数 $C$ を求めよ。ただし $i$ は虚数単位で、$p$ は $m^2-x(1-x)p^2>0$（$0\le x\le 1$）を満たす外部運動量とする。

自然単位系 $\hslash =c=1$ を用い、時空の次元を $d=4-ϵ$ とする次元正則化と最小引き算を使う。光子（結合定数 $e>0$）が次の Dirac フェルミオンと結合している QED 型の理論を考える。
- 電荷 $Q=-1$ のフェルミオン 1 種類
- 電荷 $Q=+\frac{2}{3}$ のフェルミオンが 3 種類（3 色）
- 電荷 $Q=-\frac{1}{3}$ のフェルミオンが 3 種類（3 色）

電荷 $Q_f$ の Dirac フェルミオン 1 種類のループ（真空偏極）は、光子の場の繰り込み定数に
$$\delta Z_3^{(f)}=-\frac{e^2{Q}_f^2}{6{\pi }^2ϵ}$$
の寄与をし、$Z_3=1+{\sum }_f\delta Z_3^{(f)}$ となる。ウォード恒等式 $Z_1=Z_2$ により、裸の結合定数は $e_0={\mu }^{ϵ/2}{Z}_3^{-1/2}e$ と書ける。

$e_0$ が繰り込みスケール $\mu$ によらないことから、$ϵ\to 0$ でのベータ関数を
$$\beta (e)=\mu \frac{de}{d\mu }=b{e}^3+O(e^5)$$
と書くとき、係数 $b$ を求めよ。

自然単位系 $\hslash =c=1$ を用い、質量次元を $[\cdot ]$ で表す（$[{\partial }_{\mu }]=1$, $[d^{d}x]=-d$）。$d=5$ 次元時空で、実スカラー場 $\varphi$ とディラック場 $\psi$ の作用
$$S=\int d^{5}x\left[\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi -\frac{1}{2}{M}^2{\varphi }^2+\bar{\psi }(i{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m)\psi -g\varphi \bar{\psi }\psi \right]$$
を考える。作用 $S$ が無次元であることから、湯川結合定数 $g$ の質量次元 $[g]$ を求めよ。

自然単位系 $\hslash =c=1$ を用いる。$d=6$ 次元時空の実スカラー場の理論
$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi -\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }^2-\frac{g}{3!}{\varphi }^3$$
を考える。伝播関数は大きな運動量 $k$ で $1/k^2$ のようにふるまい、頂点は運動量によらない。

この理論の 1PI ファインマン図で、外線の本数を $N$、内線の本数を $I$、頂点の数を $V$、ループの数を $L=I-V+1$ とすると、表面的発散次数は $D=6L-2I$ で与えられる。$D$ を $N$ だけの式で表せ（$N$ は正の整数）。

自然単位系 $\hslash =c=1$、計量の符号 $(+,-,-,-)$ を用いる。質量 $m>0$ の実スカラー場 $\varphi (x)$ のラグランジアン密度を
$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi -\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }^2$$
とする。正準運動量を $\pi ={\partial }_0\varphi$ とし、同時刻交換関係 $[\varphi (t,\mathbf{x}),\pi (t,\mathbf{y})]=i{\delta }^3(\mathbf{x}-\mathbf{y})$ を課して、モード展開
$$\varphi (x)=\int \frac{d^{3}p}{(2\pi {)}^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\mathbf{p}}}}\left(a_{\mathbf{p}}{e}^{-ip\cdot x}+a_{\mathbf{p}}^{†}{e}^{ip\cdot x}\right),E_{\mathbf{p}}=\sqrt{|\mathbf{p}{|}^2+m^2}$$
で量子化する（$[a_{\mathbf{p}},a_{\mathbf{q}}^{†}]=(2\pi {)}^3{\delta }^3(\mathbf{p}-\mathbf{q})$）。ハミルトニアンは正規順序をとって真空 $|0⟩$ のエネルギーを $0$ とする。

$\mathbf{k}=\left(\frac{3}{4}m,0,0\right)$ として、状態
$$|\Psi ⟩=a_{\mathbf{k}}^{†}{a}_{-\mathbf{k}}^{†}{a}_0^{†}|0⟩$$
はハミルトニアン $H$ の固有状態である。その固有値（全エネルギー）を $m$ を用いて表せ。