次元正則化の 1 ループ積分

ファインマン・パラメータで分母をまとめ、運動量をシフトしてウィック回転し、 $\int \frac{d ^{d} ℓ}{( 2 π ) ^{d}} \frac{1}{( ℓ ^{2} - Δ ) ^{n}} = \frac{( - 1 ) ^{n} i}{( 4 π ) ^{d /2}} \frac{Γ ( n - d /2 )}{Γ ( n )} Δ^{d /2 - n}$ を使って、 $d = 4 - ϵ$ での 1 ループ積分の $\frac{1}{ϵ}$ 極の係数を求められる

前提

ファインマン伝播関数と iε 処方（大学院物理場の量子論）
ガンマ関数・ベータ関数とガンマ分布（大学数学確率・統計）
ガウス積分（大学数学微分積分）

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算数中学高校大学大学院

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複素数の指数関数・対数関数と分枝（大学数学複素関数）
複素線積分とコーシーの積分定理（大学数学複素関数）
留数定理による複素積分（大学数学複素関数）
ファインマン伝播関数と iε 処方（大学院物理場の量子論）
組合せ（数学A 場合の数と確率）
確率の定義と和事象・余事象（数学A 場合の数と確率）
期待値（数学A 場合の数と確率）
確率変数と確率分布（数学B 統計的な推測）
平均と合計（算数いろいろな文章題）
平均値・中央値・最頻値（中学数学データの活用）
代表値（平均値・中央値・最頻値）（数学I データの分析）
分散と標準偏差（数学I データの分析）
変量の変換と平均・分散（数学I データの分析）
確率変数の期待値・分散と $a X + b$ （数学B 統計的な推測）
連続型確率変数と確率密度関数（数学B 統計的な推測）
一様分布・指数分布（大学数学確率・統計）
ガンマ関数・ベータ関数とガンマ分布（大学数学確率・統計）
ガウス積分（大学数学微分積分）

説明

場の量子論の 1 ループ図に現れる運動量積分 $\int \frac{d ^{4} ℓ}{( 2 π ) ^{4}} \frac{1}{( ℓ ^{2} - m ^{2} ) (( ℓ + p ) ^{2} - m ^{2} )}$ などは、そのままでは紫外発散します。次元正則化では時空の次元を $d$ に一般化して積分を $d$ の関数として求め、 $d = 4 - ϵ$ とおいて $ϵ \to 0$ での振る舞いを調べます。発散は $\frac{1}{ϵ}$ の極として現れ、その係数がわかれば繰り込みの相殺項やベータ関数の 1 ループ係数が求まります。この技能では、ファインマン・パラメータ、運動量のシフト、ウィック回転、基本公式の 4 つを組み合わせて極の係数を計算します。計量は $(+, -, -, \dots, -)$ とします。

なぜそうしてよいのか

鍵になる基本公式 $\int \frac{d ^{d} ℓ}{( 2 π ) ^{d}} \frac{1}{( ℓ ^{2} - Δ + i ε ) ^{n}} = \frac{( - 1 ) ^{n} i}{( 4 π ) ^{d /2}} \frac{Γ ( n - d /2 )}{Γ ( n )} Δ^{d /2 - n}$ （ $Δ > 0$ で $ℓ$ に依らない）は、前提の技能から導けます。 $ℓ^{0}$ の被積分関数の極は $ℓ^{0} = \pm (ℓ^{2} + Δ - i ε^{'})$ 、つまり第 4 象限と第 2 象限にあるので、 $ℓ^{0}$ の積分路を原点のまわりに反時計回りに $9 0^{\circ}$ 回して虚軸上に移しても極をまたぎません（コーシーの積分定理）。そこで $ℓ^{0} = i ℓ_{E}^{0}$ 、 $ℓ = ℓ_{E}$ とおくと $ℓ^{2} = - ℓ_{E}^{2}$ 、 $d^{d} ℓ = i d^{d} ℓ_{E}$ となり、積分は $i (- 1)^{n} \int \frac{d ^{d} ℓ _{E}}{( 2 π ) ^{d}} \frac{1}{( ℓ _{E}^{2} + Δ ) ^{n}}$ になります（ウィック回転）。

次に $\frac{1}{A ^{n}} = \frac{1}{Γ ( n )} \int_{0}^{\infty} t^{n - 1} e^{- t A} d t$ （ $A > 0$ 、ガンマ関数の定義で $t \to t A$ と置換したもの）を使うと、 $ℓ_{E}$ の積分は各成分のガウス積分の積 $\int d^{d} ℓ_{E} e^{- t ℓ_{E}^{2}} = (π / t)^{d /2}$ になります。残る $t$ 積分は $\int_{0}^{\infty} t^{n - d /2 - 1} e^{- t Δ} d t = Γ (n - d /2) Δ^{d /2 - n}$ で、 $(2 π)^{- d} π^{d /2} = (4 π)^{- d /2}$ とまとめれば公式が出ます。この式は $d$ について解析的なので、整数でない $d$ に対しても積分の「定義」として使えます。 $d = 4$ で発散する積分は、 $Γ (n - d /2)$ が $d = 4$ 付近で極をもつことに表れます。

この公式を使うには、分母を $(ℓ^{2} - Δ)^{n}$ の形にそろえる必要があります。そのために使うのがファインマン・パラメータ $\frac{1}{A B} = \int_{0}^{1} \frac{d x}{[ x A + ( 1 - x ) B ] ^{2}}$ です（右辺は $\int_{0}^{1} \frac{d x}{[ B + x ( A - B ) ] ^{2}} = \frac{1}{A - B} (\frac{1}{B} - \frac{1}{A}) = \frac{1}{A B}$ と確かめられます）。まとめた分母は $ℓ$ の 2 次式なので、平方完成して $ℓ$ を定数ベクトルだけずらせば $(ℓ^{2} - Δ)^{2}$ の形になります。次元正則化した積分は収束しているので、このずらし（シフト）は積分値を変えません。最後に $Γ (z) = \frac{Γ ( z + 1 )}{z}$ と $Γ (1) = 1$ より $Γ (z) = \frac{1}{z} + (z \to 0 で有限)$ なので、 $Γ (ϵ /2) = \frac{2}{ϵ} + (有限)$ から極の係数が読み取れます。

手順

ファインマン・パラメータで分母を 1 つにまとめる: $\frac{1}{A B} = \int_{0}^{1} \frac{d x}{[ x A + ( 1 - x ) B ] ^{2}}$ 。
まとめた分母を $ℓ$ について平方完成し、 $ℓ \to ℓ - (定数ベクトル)$ とシフトして $(ℓ^{2} - Δ)^{n}$ の形にする。 $Δ$ を $x$ と外線運動量・質量で書く。
基本公式（ウィック回転を含む）を当てはめる: $\int \frac{d ^{d} ℓ}{( 2 π ) ^{d}} \frac{1}{( ℓ ^{2} - Δ ) ^{n}} = \frac{( - 1 ) ^{n} i}{( 4 π ) ^{d /2}} \frac{Γ ( n - d /2 )}{Γ ( n )} Δ^{d /2 - n}$ 。
$d = 4 - ϵ$ を代入し、 $Γ (z) = \frac{1}{z} + (有限)$ を使って極を取り出す。 $Δ^{d /2 - n}$ や $(4 π)^{- d /2}$ の $ϵ$ 依存は $1 + O (ϵ)$ なので極の係数には効かず、 $d = 4$ の値に置き換えてよい。
残ったファインマン・パラメータの積分 $\int_{0}^{1} d x$ を実行して、 $\frac{1}{ϵ}$ の係数を求める。

例題

計量 $(+, -, -, -)$ を $d$ 次元に拡張し、 $d = 4 - ϵ$ の次元正則化を用いる。質量 $m > 0$ 、外線運動量 $p$ は $p^{2} < 4 m^{2}$ を満たすとする。
$I = \int \frac{d ^{d} ℓ}{( 2 π ) ^{d}} \frac{1}{( ℓ ^{2} - m ^{2} + i ε ) (( ℓ + p ) ^{2} - m ^{2} + i ε )}$
を $ϵ \to 0$ で $I = \frac{C}{ϵ} + (ϵ \to 0 で有限な項)$ と書いたときの係数 $C$ を求めよ。

例題の解答

手順 1: $A = (ℓ + p)^{2} - m^{2}$ 、 $B = ℓ^{2} - m^{2}$ としてまとめると
$x A + (1 - x) B = ℓ^{2} + 2 x ℓ \cdot p + x p^{2} - m^{2} .$

手順 2: 平方完成すると $(ℓ + x p)^{2} - x^{2} p^{2} + x p^{2} - m^{2} = (ℓ + x p)^{2} - Δ$ 、ただし $Δ = m^{2} - x (1 - x) p^{2}$ 。 $0 \leq x \leq 1$ で $x (1 - x) \leq \frac{1}{4}$ 、 $p^{2} < 4 m^{2}$ より $Δ > 0$ 。 $ℓ \to ℓ - x p$ とシフトして
$I = \int_{0}^{1} d x \int \frac{d ^{d} ℓ}{( 2 π ) ^{d}} \frac{1}{( ℓ ^{2} - Δ ) ^{2}} .$

手順 3: $n = 2$ の基本公式より、 $(- 1)^{2} = 1$ 、 $Γ (2) = 1$ なので
$I = \int_{0}^{1} d x \frac{i}{( 4 π ) ^{d /2}} Γ (2 - \frac{d}{2}) Δ^{d /2 - 2} .$

手順 4: $d = 4 - ϵ$ で $2 - \frac{d}{2} = \frac{ϵ}{2}$ なので $Γ (\frac{ϵ}{2}) = \frac{2}{ϵ} + (有限)$ 。 $(4 π)^{- d /2} = \frac{1}{16 π ^{2}} (1 + O (ϵ))$ 、 $Δ^{- ϵ /2} = 1 + O (ϵ)$ なので、極の部分は
$I = \int_{0}^{1} d x \frac{i}{16 π ^{2}} \cdot \frac{2}{ϵ} + (有限) = \frac{i}{8 π ^{2}} \int_{0}^{1} d x \cdot \frac{1}{ϵ} + (有限) .$

手順 5: $\int_{0}^{1} d x = 1$ より $C = \frac{i}{8 π ^{2}}$ 。極の係数は $m$ にも $p$ にもよらない。

答え: $\frac{i}{8 π ^{2}}$

よくある誤り

$Γ (\frac{ϵ}{2})$ の極を $\frac{1}{ϵ}$ としてしまう誤り。 $Γ (z) = \frac{1}{z} + \dots$ に $z = \frac{ϵ}{2}$ を入れるので、正しくは $Γ (\frac{ϵ}{2}) = \frac{2}{ϵ} + \dots$ 。 $d = 4 - 2 ϵ$ の流儀なら $Γ (ϵ) = \frac{1}{ϵ} + \dots$ で、どちらの $ϵ$ かを必ず確認する。
ウィック回転で $d^{d} ℓ = i d^{d} ℓ_{E}$ の $i$ や $ℓ^{2} = - ℓ_{E}^{2}$ からくる $(- 1)^{n}$ を落とし、 $n = 1$ の積分 $\int \frac{d ^{d} ℓ}{( 2 π ) ^{d}} \frac{1}{ℓ ^{2} - Δ}$ を $+ \frac{1}{( 4 π ) ^{d /2}} Γ (1 - \frac{d}{2}) Δ^{d /2 - 1}$ としてしまう誤り。正しくは $\frac{- i}{( 4 π ) ^{d /2}} Γ (1 - \frac{d}{2}) Δ^{d /2 - 1}$ 。
平方完成で $Δ$ の符号や項を取り違え、 $Δ = m^{2} + x (1 - x) p^{2}$ や $Δ = m^{2} - x^{2} p^{2}$ としてしまう誤り。 $ℓ^{2} + 2 x ℓ \cdot p + x p^{2} - m^{2} = (ℓ + x p)^{2} - (m^{2} - x (1 - x) p^{2})$ なので、正しくは $Δ = m^{2} - x (1 - x) p^{2}$ 。
ファインマン・パラメータの分母の指数を 1 のままにして $\frac{1}{A B} = \int_{0}^{1} \frac{d x}{x A + ( 1 - x ) B}$ としてしまう誤り。正しくは指数 2 で $\frac{1}{A B} = \int_{0}^{1} \frac{d x}{[ x A + ( 1 - x ) B ] ^{2}}$ （両辺の $A, B$ についての次数がそろう）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
自然単位系 $ℏ = c = 1$ 、計量の符号 $(+, -, \dots, -)$ を用い、時空の次元を $d = 4 - ϵ$ とする次元正則化を考える。質量 $m > 0$ の粒子 2 本からなる 1 ループ積分
$B (p^{2}) = \int \frac{d ^{d} ℓ}{( 2 π ) ^{d}} \frac{1}{( ℓ ^{2} - m ^{2} + i ε ) ( ( ℓ + p ) ^{2} - m ^{2} + i ε )}$
を、 $ϵ \to 0$ で
$B (p^{2}) = \frac{C}{ϵ} + (ϵ について有限な項)$
と展開する。公式
$\int \frac{d ^{d} ℓ}{( 2 π ) ^{d}} \frac{1}{( ℓ ^{2} - Δ ) ^{n}} = \frac{( - 1 ) ^{n} i}{( 4 π ) ^{d /2}} \frac{Γ ( n - d /2 )}{Γ ( n )} Δ^{d /2 - n}$
を用いてよい（ $Δ > 0$ とする）。極の係数 $C$ を求めよ。ただし $i$ は虚数単位で、 $p$ は $m^{2} - x (1 - x) p^{2} > 0$ （ $0 \leq x \leq 1$ ）を満たす外部運動量とする。

この技能の次に学べること

相殺項から求める φ⁴ 理論のベータ関数（大学院物理場の量子論）