相殺項から求める φ⁴ 理論のベータ関数

φ⁴ 理論の 1 ループ 4 点関数（ $s$ ・ $t$ ・ $u$ チャネルのバブル図、対称因子 $\frac{1}{2}$ ）の $\frac{1}{ϵ}$ 極を打ち消す相殺項 $δ_{λ}$ を決め、裸の結合定数 $λ_{0} = μ^{ϵ} (λ + δ_{λ})$ が繰り込みスケール $μ$ によらないことから $β (λ) = μ \frac{d λ}{d μ} = \frac{3 λ ^{2}}{16 π ^{2}}$ を導き、成分数を $N$ にした $O (N)$ 模型の係数 $\frac{( N + 8 ) λ ^{2}}{48 π ^{2}}$ （ $\frac{λ}{4 !} (ϕ_{a} ϕ_{a})^{2}$ の規格化）のように頂点の組合せから 1 ループ係数を求められる。あわせて $\frac{1}{λ ( μ )} = \frac{1}{λ ( μ _{0} )} - \frac{3}{16 π ^{2}} lo g \frac{μ}{μ _{0}}$ から φ⁴ 結合のランダウ極の位置 $μ_{0} e^{16 π^{2} /3 λ (μ_{0})}$ を求められる

前提

次元正則化の 1 ループ積分（大学院物理場の量子論）
表面的発散次数と繰り込み可能性（大学院物理場の量子論）
変数分離形（大学数学微分方程式）

この技能までの道筋（173 技能）

算数中学高校大学大学院

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分散と標準偏差（数学I データの分析）
変量の変換と平均・分散（数学I データの分析）
確率変数の期待値・分散と $a X + b$ （数学B 統計的な推測）
連続型確率変数と確率密度関数（数学B 統計的な推測）
一様分布・指数分布（大学数学確率・統計）
ガンマ関数・ベータ関数とガンマ分布（大学数学確率・統計）
ガウス積分（大学数学微分積分）
次元正則化の 1 ループ積分（大学院物理場の量子論）
次元解析（大学数学数理モデル）
場と結合定数の質量次元（大学院物理場の量子論）
ウィックの定理と縮約の数え上げ（大学院物理場の量子論）
ファインマン図の対称因子と連結図（大学院物理場の量子論）
表面的発散次数と繰り込み可能性（大学院物理場の量子論）
変数分離形（大学数学微分方程式）

説明

繰り込みのあとの結合定数 $λ$ は、どのエネルギースケール $μ$ で定義したかによって値が変わります。その変わり方を表すのがベータ関数 $β (λ) = μ \frac{d λ}{d μ}$ です。この技能では、次元正則化で 1 ループの 4 点関数の発散 $\frac{1}{ϵ}$ を打ち消す相殺項 $δ_{λ}$ を決め、「裸の結合定数は $μ$ によらない」という条件からベータ関数の 1 ループ係数を導きます。結果を積分すると、結合定数が高エネルギーで大きくなり発散するスケール（ランダウ極）も求められます。

なぜそうしてよいのか

$ℏ = c = 1$ 、計量 $(+, -, -, -)$ 、 $d = 4 - ϵ$ とし、 $L = \frac{1}{2} (\partial ϕ)^{2} - \frac{1}{2} m^{2} ϕ^{2} - \frac{λ _{0}}{4 !} ϕ^{4}$ を考えます。 $d$ 次元では $[ϕ] = \frac{d - 2}{2}$ なので $[λ_{0}] = d - 4 [ϕ] = ϵ$ となり、裸の結合定数 $λ_{0}$ には質量次元があります。そこで任意のスケール $μ$ を導入して $λ_{0} = μ^{ϵ} (λ + δ_{λ})$ と書き、無次元の繰り込まれた結合定数 $λ$ と、発散を打ち消すための相殺項 $δ_{λ}$ に分けます。相殺項は振幅に頂点 $- i δ_{λ}$ として加わり、1 ループ図の $\frac{1}{ϵ}$ 極をちょうど打ち消すように決めます（ここでは極だけを打ち消す最小引き算の流儀を使います）。1 ループでは $δ_{λ} = \frac{a λ ^{2}}{ϵ}$ の形になります。

$λ_{0}$ はラグランジアンに書かれた量で、人が勝手に選んだ $μ$ を変えても変わりません。そこで $μ \frac{d}{d μ} [μ^{ϵ} (λ + δ_{λ})] = 0$ より
$ϵ (λ + δ_{λ}) + β (1 + \frac{d δ _{λ}}{d λ}) = 0.$
$λ$ の 1 次では $β = - ϵ λ + β_{1}$ で、 $λ^{2}$ の次数を比べると $ϵ δ_{λ} + β_{1} - ϵ λ \frac{d δ _{λ}}{d λ} = 0$ 、すなわち $a λ^{2} + β_{1} - 2 a λ^{2} = 0$ から $β_{1} = a λ^{2}$ となります。 $ϵ \to 0$ で $β (λ) = a λ^{2}$ 。つまり「相殺項の $\frac{1}{ϵ}$ の係数（ $λ^{2}$ の 1 次の場合）がそのまま 1 ループのベータ関数」で、 $\frac{1}{ϵ}$ は打ち消し合って有限な結果だけが残ります。

$a$ を求めるには 1 ループの 4 点関数を数えます。2 つの頂点 $- iλ$ を 2 本の伝播関数で結ぶバブル図が、外線の振り分け方に応じて $s$ ・ $t$ ・ $u$ の 3 チャネルあり、各図では 2 本の内線を入れ替えても同じ図なので対称因子 $\frac{1}{2}$ が付きます。前提の技能で求めたように、バブル積分 $\int \frac{d ^{d} ℓ}{( 2 π ) ^{d}} \frac{1}{( ℓ ^{2} - m ^{2} ) (( ℓ + p ) ^{2} - m ^{2} )}$ の極は $\frac{i}{8 π ^{2} ϵ}$ で、質量や外線運動量によりません。この普遍性のおかげで、相殺項は定数として決まります。

手順

1 ループの 4 点関数の図（ $s$ ・ $t$ ・ $u$ チャネルのバブル図）を描き、それぞれの対称因子（ $\frac{1}{2}$ ）と頂点因子を書く。
バブル積分の極 $\int \frac{d ^{d} ℓ}{( 2 π ) ^{d}} \frac{1}{( ℓ ^{2} - m ^{2} ) (( ℓ + p ) ^{2} - m ^{2} )} = \frac{i}{8 π ^{2} ϵ} + (有限)$ を使い、 $i M$ の $\frac{1}{ϵ}$ 極を求める。
相殺項の頂点 $- i δ_{λ}$ を加えて極が消えるように $δ_{λ} = \frac{a λ ^{2}}{ϵ}$ を決める。
$λ_{0} = μ^{ϵ} (λ + δ_{λ})$ を $μ$ で微分して 0 とおき、 $λ^{2}$ の次数を比べて $β (λ) = a λ^{2}$ を得る（ $ϵ \to 0$ ）。
必要なら $μ \frac{d λ}{d μ} = a λ^{2}$ を変数分離で解き、 $\frac{1}{λ ( μ )} = \frac{1}{λ ( μ _{0} )} - a lo g \frac{μ}{μ _{0}}$ からランダウ極 $μ = μ_{0} e^{1/ (aλ (μ_{0}))}$ を求める。

例題

$ℏ = c = 1$ 、計量 $(+, -, -, -)$ とし、 $d = 4 - ϵ$ の次元正則化と、 $\frac{1}{ϵ}$ 極だけを打ち消す最小引き算を用いる。実スカラー場の理論 $L = \frac{1}{2} \partial_{μ} ϕ \partial^{μ} ϕ - \frac{1}{2} m^{2} ϕ^{2} - \frac{λ _{0}}{4 !} ϕ^{4}$ で $λ_{0} = μ^{ϵ} (λ + δ_{λ})$ とする。バブル積分の極が $\int \frac{d ^{d} ℓ}{( 2 π ) ^{d}} \frac{1}{( ℓ ^{2} - m ^{2} ) (( ℓ + p ) ^{2} - m ^{2} )} = \frac{i}{8 π ^{2} ϵ} + (有限)$ であることを用いて、1 ループのベータ関数 $β (λ) = μ \frac{d λ}{d μ}$ （ $ϵ \to 0$ ）を求めよ。

例題の解答

手順 1: 1 ループの 4 点関数は $s$ ・ $t$ ・ $u$ チャネルのバブル図 3 つ。各図は頂点 $- iλ$ が 2 つ、伝播関数 $\frac{i}{q ^{2} - m ^{2}}$ が 2 本、対称因子 $\frac{1}{2}$ 。

手順 2: 1 つのチャネルの値は
$\frac{1}{2} (- iλ)^{2} \int \frac{d ^{d} ℓ}{( 2 π ) ^{d}} \frac{i}{ℓ ^{2} - m ^{2}} \frac{i}{( ℓ + p ) ^{2} - m ^{2}} = \frac{1}{2} (- λ^{2}) (- 1) \cdot \frac{i}{8 π ^{2} ϵ} + \dots = \frac{i λ ^{2}}{16 π ^{2} ϵ} + \dots .$
極は外線運動量によらないので 3 チャネルで $i M \supset \frac{3 i λ ^{2}}{16 π ^{2} ϵ}$ 。

手順 3: 相殺項 $- i δ_{λ}$ を加えて極を消すには $δ_{λ} = \frac{3 λ ^{2}}{16 π ^{2} ϵ}$ 、すなわち $a = \frac{3}{16 π ^{2}}$ 。

手順 4: $μ \frac{d λ _{0}}{d μ} = 0$ より $ϵ (λ + δ_{λ}) + β (1 + δ_{λ}^{'}) = 0$ 。 $β = - ϵ λ + β_{1}$ とおいて $λ^{2}$ の項を比べると
$\frac{3 λ ^{2}}{16 π ^{2}} + β_{1} - ϵ λ \cdot \frac{6 λ}{16 π ^{2} ϵ} = 0 \Rightarrow β_{1} = \frac{3 λ ^{2}}{16 π ^{2}} .$
$ϵ \to 0$ で $β (λ) = \frac{3 λ ^{2}}{16 π ^{2}}$ 。正なので $λ$ は高エネルギーで大きくなる。

答え: $\frac{3 λ ^{2}}{16 π ^{2}}$

よくある誤り

バブル図の対称因子 $\frac{1}{2}$ を落として $δ_{λ} = \frac{6 λ ^{2}}{16 π ^{2} ϵ}$ 、 $β = \frac{6 λ ^{2}}{16 π ^{2}}$ としてしまう誤り。2 本の内線の入れ替えで図が変わらないので、正しくは各チャネル $\frac{1}{2}$ が付いて $β = \frac{3 λ ^{2}}{16 π ^{2}}$ 。
$s$ チャネルだけを数えて $β = \frac{λ ^{2}}{16 π ^{2}}$ としてしまう誤り。 $ϕ^{4}$ の 4 本の外線の振り分け方が 3 通りあるので、正しくは 3 倍の $\frac{3 λ ^{2}}{16 π ^{2}}$ 。
$λ_{0} = μ^{ϵ} (λ + δ_{λ})$ の微分で $β$ の $- ϵ λ$ の部分が $δ_{λ}$ の微分に掛かる項を落とし、 $ϵ δ_{λ} + β_{1} = 0$ から $β = - \frac{3 λ ^{2}}{16 π ^{2}}$ と符号を逆にしてしまう誤り。正しくは $- ϵ λ \cdot \frac{d δ _{λ}}{d λ} = - \frac{6 λ ^{2}}{16 π ^{2}}$ の項も入り、 $β = + \frac{3 λ ^{2}}{16 π ^{2}}$ 。
$Γ (\frac{ϵ}{2}) = \frac{1}{ϵ} + \dots$ としてバブル積分の極を $\frac{i}{16 π ^{2} ϵ}$ と半分にしてしまう誤り。 $d = 4 - ϵ$ では $Γ (\frac{ϵ}{2}) = \frac{2}{ϵ} + \dots$ なので正しくは $\frac{i}{8 π ^{2} ϵ}$ 。なお、最小引き算の $δ_{λ}$ は $ϵ$ の流儀で変わるが、 $β$ の 1 ループ係数 $\frac{3}{16 π ^{2}}$ は流儀によらない。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
自然単位系 $ℏ = c = 1$ 、計量の符号 $(+, -, -, -)$ を用い、時空の次元を $d = 4 - ϵ$ とする次元正則化と最小引き算（ $\frac{1}{ϵ}$ 極だけを相殺項で取り除く）を使う。実スカラー場の理論
$L = \frac{1}{2} \partial_{μ} ϕ \partial^{μ} ϕ - \frac{1}{2} m^{2} ϕ^{2} - \frac{λ}{4 !} ϕ^{4}$
を考え、頂点因子は $- iλ$ 、伝播関数は $\frac{i}{k ^{2} - m ^{2} + i ε}$ とする。結合定数の相殺項 $δ_{λ}$ は頂点因子 $- i δ_{λ}$ を与える。
2→2 散乱の 1 ループ図は $s$ , $t$ , $u$ の 3 つのチャネルのバブル図（いずれも対称因子 $\frac{1}{2}$ ）で、各チャネルの運動量積分の極部分は
$\int \frac{d ^{d} ℓ}{( 2 π ) ^{d}} \frac{1}{( ℓ ^{2} - m ^{2} ) ( ( ℓ + q ) ^{2} - m ^{2} )} = \frac{i}{8 π ^{2} ϵ} + (有限)$
である（ $q$ はそのチャネルの運動量）。
裸の結合定数 $λ_{0} = μ^{ϵ} (λ + δ_{λ})$ が繰り込みスケール $μ$ によらないことから、 $ϵ \to 0$ でのベータ関数を
$β (λ) = μ \frac{d λ}{d μ} = b λ^{2} + O (λ^{3})$
と書くとき、係数 $b$ を求めよ。

この技能の次に学べること

フェルミオンループを含む 1 ループのベータ関数（大学院物理場の量子論）