場の量子論の問題

自然単位系 $\hslash =c=1$、計量の符号 $(+,-,-,-)$ を用い、時空の次元を $d=4-ϵ$ とする次元正則化と最小引き算（$\frac{1}{ϵ}$ 極だけを相殺項で取り除く）を使う。実スカラー場の理論
$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi -\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }^2-\frac{\lambda }{4!}{\varphi }^4$$
を考え、頂点因子は $-i\lambda$、伝播関数は $\frac{i}{k^2-m^2+i\epsilon }$ とする。結合定数の相殺項 ${\delta }_{\lambda }$ は頂点因子 $-i{\delta }_{\lambda }$ を与える。

2→2 散乱の 1 ループ図は $s$, $t$, $u$ の 3 つのチャネルのバブル図（いずれも対称因子 $\frac{1}{2}$）で、各チャネルの運動量積分の極部分は
$$\int \frac{d^d\ell }{(2\pi {)}^d}\frac{1}{({\ell }^2-m^2)\left((\ell +q{)}^2-m^2\right)}=\frac{i}{8{\pi }^2ϵ}+(\text{有限})$$
である（$q$ はそのチャネルの運動量）。

裸の結合定数 ${\lambda }_0={\mu }^{ϵ}(\lambda +{\delta }_{\lambda })$ が繰り込みスケール $\mu$ によらないことから、$ϵ\to 0$ でのベータ関数を
$$\beta (\lambda )=\mu \frac{d\lambda }{d\mu }=b{\lambda }^2+O({\lambda }^3)$$
と書くとき、係数 $b$ を求めよ。

自然単位系 $\hslash =c=1$、計量の符号 $(+,-,-,-)$ を用いる。質量 $m$ の自由な実スカラー場のファインマン伝播関数
$$D_F(x-y)=\int \frac{d^{4}p}{(2\pi {)}^4}\frac{i}{p^2-m^2+i\epsilon }{e}^{-ip\cdot (x-y)}$$
で、空間運動量 $\mathbf{p}$ を固定したときの $p^0$ 積分
$$I(t)=\underset{\epsilon \to +0}{\lim }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{d{p}^0}{2\pi }\frac{i{e}^{-i{p}^{0}t}}{(p^0{)}^2-E^2+i\epsilon }$$
を考える。ここで $E=\sqrt{|\mathbf{p}{|}^2+m^2}>0$ である。

$t>0$ のとき、$I(t)$ を $E$ と $t$ の式で求めよ。

自然単位系 $\hslash =c=1$、計量の符号 $(+,-,\dots ,-)$ を用い、時空の次元を $d=4-ϵ$ とする次元正則化を考える。質量 $m>0$ の粒子 2 本からなる 1 ループ積分
$$B(p^2)=\int \frac{d^d\ell }{(2\pi {)}^d}\frac{1}{({\ell }^2-m^2+i\epsilon )\left((\ell +p{)}^2-m^2+i\epsilon \right)}$$
を、$ϵ\to 0$ で
$$B(p^2)=\frac{C}{ϵ}+(ϵ\text{ について有限な項})$$
と展開する。公式
$$\int \frac{d^d\ell }{(2\pi {)}^d}\frac{1}{({\ell }^2-\Delta {)}^n}=\frac{(-1{)}^{n}i}{(4\pi {)}^{d/2}}\frac{\Gamma (n-d/2)}{\Gamma (n)}{\Delta }^{d/2-n}$$
を用いてよい（$\Delta >0$ とする）。極の係数 $C$ を求めよ。ただし $i$ は虚数単位で、$p$ は $m^2-x(1-x)p^2>0$（$0\le x\le 1$）を満たす外部運動量とする。

自然単位系 $\hslash =c=1$、計量の符号 $(+,-,-,-)$ を用いる。質量 $m$ の実スカラー場 $\varphi$ のラグランジアン密度を
$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi -\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }^2-\frac{g}{3!}{\varphi }^3$$
とする（$g$ は実数の結合定数）。この理論のファインマン則は、頂点因子 $-ig$、運動量 $q$ の内線の伝播関数 $\frac{i}{q^2-m^2+i\epsilon }$ である。

2 粒子散乱 $\varphi (p_1)+\varphi (p_2)\to \varphi (p_3)+\varphi (p_4)$ の不変振幅 $\mathcal{M}$ を、$i\mathcal{M}$ が連結で切断された（amputated）ファインマン図の和に等しいと定める。マンデルスタム変数
$$s=(p_1+p_2{)}^2,t=(p_1-p_3{)}^2,u=(p_1-p_4{)}^2$$
を用いて、$g$ の最低次（樹木図レベル）の $\mathcal{M}$ を $g,m,s,t,u$ の式で求めよ。ただし $s,t,u$ はいずれも $m^2$ と異なるとし、$i\epsilon$ は省略してよい。

自然単位系 $\hslash =c=1$ を用いる。$d=6$ 次元時空の実スカラー場の理論
$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi -\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }^2-\frac{g}{3!}{\varphi }^3$$
を考える。伝播関数は大きな運動量 $k$ で $1/k^2$ のようにふるまい、頂点は運動量によらない。

この理論の 1PI ファインマン図で、外線の本数を $N$、内線の本数を $I$、頂点の数を $V$、ループの数を $L=I-V+1$ とすると、表面的発散次数は $D=6L-2I$ で与えられる。$D$ を $N$ だけの式で表せ（$N$ は正の整数）。