場の量子論の問題

自然単位系 $\hslash =c=1$、計量の符号 $(+,-,-,-)$ を用いる。質量ゼロの自由な実スカラー場 $\varphi (x)$ を
$$\varphi (x)=\int \frac{d^{3}p}{(2\pi {)}^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\mathbf{p}}}}\left(a_{\mathbf{p}}{e}^{-ip\cdot x}+a_{\mathbf{p}}^{†}{e}^{ip\cdot x}\right),E_{\mathbf{p}}=|\mathbf{p}|,[a_{\mathbf{p}},a_{\mathbf{q}}^{†}]=(2\pi {)}^3{\delta }^3(\mathbf{p}-\mathbf{q})$$
とモード展開し、$|0⟩$ を $a_{\mathbf{p}}|0⟩=0$ を満たす真空とする。正準運動量は $\pi ={\partial }_0\varphi$ である。

同時刻 $t=0$ での真空相関関数
$$⟨0|\pi (0,\mathbf{x})\pi (0,0)|0⟩$$
を、$r=|\mathbf{x}|>0$ の式で求めよ。ただし、運動量積分には収束因子 $e^{-\epsilon |\mathbf{p}|}$ $(\epsilon >0)$ を掛けて計算し、最後に $\epsilon \to +0$ の極限をとるものとする。

自然単位系 $\hslash =c=1$、計量の符号 $(+,-,\dots ,-)$ を用い、時空の次元を $d=4-ϵ$ とする次元正則化を考える。質量 $m>0$ の粒子 2 本からなる 1 ループ積分
$$B(p^2)=\int \frac{d^d\ell }{(2\pi {)}^d}\frac{1}{({\ell }^2-m^2+i\epsilon )\left((\ell +p{)}^2-m^2+i\epsilon \right)}$$
を、$ϵ\to 0$ で
$$B(p^2)=\frac{C}{ϵ}+(ϵ\text{ について有限な項})$$
と展開する。公式
$$\int \frac{d^d\ell }{(2\pi {)}^d}\frac{1}{({\ell }^2-\Delta {)}^n}=\frac{(-1{)}^{n}i}{(4\pi {)}^{d/2}}\frac{\Gamma (n-d/2)}{\Gamma (n)}{\Delta }^{d/2-n}$$
を用いてよい（$\Delta >0$ とする）。極の係数 $C$ を求めよ。ただし $i$ は虚数単位で、$p$ は $m^2-x(1-x)p^2>0$（$0\le x\le 1$）を満たす外部運動量とする。

自然単位系 $\hslash =c=1$、計量の符号 $(+,-,-,-)$ を用いる。質量 $m>0$ の実スカラー場 $\varphi (x)$ のラグランジアン密度を
$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi -\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }^2$$
とする。正準運動量を $\pi ={\partial }_0\varphi$ とし、同時刻交換関係 $[\varphi (t,\mathbf{x}),\pi (t,\mathbf{y})]=i{\delta }^3(\mathbf{x}-\mathbf{y})$ を課して、モード展開
$$\varphi (x)=\int \frac{d^{3}p}{(2\pi {)}^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\mathbf{p}}}}\left(a_{\mathbf{p}}{e}^{-ip\cdot x}+a_{\mathbf{p}}^{†}{e}^{ip\cdot x}\right),E_{\mathbf{p}}=\sqrt{|\mathbf{p}{|}^2+m^2}$$
で量子化する（$[a_{\mathbf{p}},a_{\mathbf{q}}^{†}]=(2\pi {)}^3{\delta }^3(\mathbf{p}-\mathbf{q})$）。ハミルトニアンは正規順序をとって真空 $|0⟩$ のエネルギーを $0$ とする。

$\mathbf{k}=\left(\frac{3}{4}m,0,0\right)$ として、状態
$$|\Psi ⟩=a_{\mathbf{k}}^{†}{a}_{-\mathbf{k}}^{†}{a}_0^{†}|0⟩$$
はハミルトニアン $H$ の固有状態である。その固有値（全エネルギー）を $m$ を用いて表せ。

自然単位系 $\hslash =c=1$、計量の符号 $(+,-,-,-)$ を用い、時空の次元を $d=4-ϵ$ とする次元正則化と最小引き算（$\frac{1}{ϵ}$ 極だけを相殺項で取り除く）を使う。実スカラー場の理論
$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi -\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }^2-\frac{\lambda }{4!}{\varphi }^4$$
を考え、頂点因子は $-i\lambda$、伝播関数は $\frac{i}{k^2-m^2+i\epsilon }$ とする。結合定数の相殺項 ${\delta }_{\lambda }$ は頂点因子 $-i{\delta }_{\lambda }$ を与える。

2→2 散乱の 1 ループ図は $s$, $t$, $u$ の 3 つのチャネルのバブル図（いずれも対称因子 $\frac{1}{2}$）で、各チャネルの運動量積分の極部分は
$$\int \frac{d^d\ell }{(2\pi {)}^d}\frac{1}{({\ell }^2-m^2)\left((\ell +q{)}^2-m^2\right)}=\frac{i}{8{\pi }^2ϵ}+(\text{有限})$$
である（$q$ はそのチャネルの運動量）。

裸の結合定数 ${\lambda }_0={\mu }^{ϵ}(\lambda +{\delta }_{\lambda })$ が繰り込みスケール $\mu$ によらないことから、$ϵ\to 0$ でのベータ関数を
$$\beta (\lambda )=\mu \frac{d\lambda }{d\mu }=b{\lambda }^2+O({\lambda }^3)$$
と書くとき、係数 $b$ を求めよ。

0 次元の場の理論（ただ 1 つの実変数 $\varphi$ の積分）として
$$Z(g)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }d\varphi \exp \left(-\frac{1}{2}{\varphi }^2-\frac{g}{3!}{\varphi }^3\right)$$
を考える。$g$ は実数の結合定数で、$Z(g)$ は $g$ の形式的なべき級数として展開するものとする（伝播関数は $⟨\varphi \varphi {⟩}_0=1$、頂点因子は $-\frac{g}{3!}$）。

$g^2$ の次数のファインマン図（2 頂点の真空図）を列挙して対称因子を求め、連結図の和として
$$\log Z(g)=c{g}^2+O(g^4)$$
と書いたときの係数 $c$ を求めよ。