場の量子論の問題

自然単位系 $\hslash =c=1$、計量の符号 $(+,-,-,-)$ を用いる。$3+1$ 次元時空の質量ゼロの実スカラー場 $\varphi (x)$ を考える。ラグランジアン密度は
$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi$$
である。正準運動量は $\pi (x)={\partial }_0\varphi (x)$ であり、同時刻交換関係 $[\varphi (t,\mathbf{x}),\pi (t,\mathbf{y})]=i{\delta }^3(\mathbf{x}-\mathbf{y})$ を課して量子化する。このとき場は
$$\varphi (x)=\int \frac{d^{3}p}{(2\pi {)}^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\mathbf{p}}}}\left(a_{\mathbf{p}}{e}^{-ip\cdot x}+a_{\mathbf{p}}^{†}{e}^{ip\cdot x}\right),E_{\mathbf{p}}=|\mathbf{p}|,[a_{\mathbf{p}},a_{\mathbf{q}}^{†}]=(2\pi {)}^3{\delta }^3(\mathbf{p}-\mathbf{q})$$
と展開される（$p^0=E_{\mathbf{p}}$、ほかの交換子は $0$）。真空 $|0⟩$ は、すべての $\mathbf{p}$ について $a_{\mathbf{p}}|0⟩=0$ を満たす規格化された状態とする。

演算子 $O(x)$ を
$$O(x)=\pi (x)+\frac{\partial \varphi }{\partial z}(x)$$
で定める（$z$ は空間座標の第 3 成分）。$a>0$ を定数とし、2 点 $x=(t,0,0,a)$、$y=(t,0,0,0)$ をとる（同時刻）。真空期待値
$$⟨0|O(x)O(y)|0⟩$$
を $a$ の式で求めよ。ただし、運動量積分は被積分関数に収束因子 $e^{-\epsilon |\mathbf{p}|}$ を掛けて計算し、$\epsilon \to +0$ の極限をとったものと解釈する（$a>0$ なので極限は有限）。

自然単位系 $\hslash =c=1$、計量の符号 $(+,-,-,-)$ を用いる。質量 $m>0$ の実スカラー場 $\varphi (x)$ のラグランジアン密度を
$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi -\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }^2$$
とする。正準運動量を $\pi ={\partial }_0\varphi$ とし、同時刻交換関係 $[\varphi (t,\mathbf{x}),\pi (t,\mathbf{y})]=i{\delta }^3(\mathbf{x}-\mathbf{y})$ を課して、モード展開
$$\varphi (x)=\int \frac{d^{3}p}{(2\pi {)}^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\mathbf{p}}}}\left(a_{\mathbf{p}}{e}^{-ip\cdot x}+a_{\mathbf{p}}^{†}{e}^{ip\cdot x}\right),E_{\mathbf{p}}=\sqrt{|\mathbf{p}{|}^2+m^2}$$
で量子化する（$[a_{\mathbf{p}},a_{\mathbf{q}}^{†}]=(2\pi {)}^3{\delta }^3(\mathbf{p}-\mathbf{q})$）。ハミルトニアンは正規順序をとって真空 $|0⟩$ のエネルギーを $0$ とする。

$\mathbf{k}=\left(\frac{3}{4}m,0,0\right)$ として、状態
$$|\Psi ⟩=a_{\mathbf{k}}^{†}{a}_{-\mathbf{k}}^{†}{a}_0^{†}|0⟩$$
はハミルトニアン $H$ の固有状態である。その固有値（全エネルギー）を $m$ を用いて表せ。

自然単位系 $\hslash =c=1$、計量の符号 $(+,-,-,-)$ を用いる。$3+1$ 次元時空の質量のない実スカラー場 $\varphi (x)$ を考える。ラグランジアン密度は
$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi$$
とする。共役運動量は $\pi ={\partial }_0\varphi$ であり、正準交換関係 $[\varphi (t,\mathbf{x}),\pi (t,\mathbf{y})]=i{\delta }^3(\mathbf{x}-\mathbf{y})$ を課す。場のモード展開は
$$\varphi (x)=\int \frac{d^{3}k}{(2\pi {)}^3}\frac{1}{\sqrt{2{\omega }_k}}\left(a_{\mathbf{k}}{e}^{-ik\cdot x}+a_{\mathbf{k}}^{†}{e}^{ik\cdot x}\right),{\omega }_k=|\mathbf{k}|,k^0={\omega }_k$$
で、$[a_{\mathbf{k}},a_{\mathbf{q}}^{†}]=(2\pi {)}^3{\delta }^3(\mathbf{k}-\mathbf{q})$、$[a_{\mathbf{k}},a_{\mathbf{q}}]=0$、真空 $|0⟩$ は $a_{\mathbf{k}}|0⟩=0$ を満たす。

同時刻 $t=0$ における、2 点 $\mathbf{x}$ と $0$（$r=|\mathbf{x}|>0$）の共役運動量の真空相関関数
$$G(r)=⟨0|\pi (0,\mathbf{x})\pi (0,0)|0⟩$$
を $r$ の式で求めよ。ただし、運動量積分が収束しない部分は、被積分関数に収束因子 $e^{-ϵ|\mathbf{k}|}$ $(ϵ>0)$ を掛けて計算したのち $ϵ\to +0$ の極限をとって定めるものとする。

自然単位系 $\hslash =c=1$、計量の符号 $(+,-,-,-)$ を用いる。質量 $m$ の自由な実スカラー場のファインマン伝播関数
$$D_F(x-y)=\int \frac{d^{4}p}{(2\pi {)}^4}\frac{i}{p^2-m^2+i\epsilon }{e}^{-ip\cdot (x-y)}$$
で、空間運動量 $\mathbf{p}$ を固定したときの $p^0$ 積分
$$I(t)=\underset{\epsilon \to +0}{\lim }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{d{p}^0}{2\pi }\frac{i{e}^{-i{p}^{0}t}}{(p^0{)}^2-E^2+i\epsilon }$$
を考える。ここで $E=\sqrt{|\mathbf{p}{|}^2+m^2}>0$ である。

$t>0$ のとき、$I(t)$ を $E$ と $t$ の式で求めよ。

自然単位系 $\hslash =c=1$、計量の符号 $(+,-,-,-)$ を用いる。質量 $m$ の実スカラー場 $\chi$ と質量ゼロの実スカラー場 $\varphi$ が
$${\mathcal{L}}_{\text{int}}=-\frac{\lambda }{4}{\chi }^2{\varphi }^2(\lambda >0)$$
で相互作用している。過程 $\chi \chi \to \varphi \varphi$ の最低次の不変振幅は角度によらず $\mathcal{M}=-\lambda$ である。

重心系のエネルギーの 2 乗を $s$（$s>4m^2$）とし、重心系の公式
$$\frac{d\sigma }{d\Omega }=\frac{1}{64{\pi }^{2}s}\frac{|{\mathbf{p}}_f|}{|{\mathbf{p}}_i|}|\mathcal{M}{|}^2$$
を用いて、この過程の最低次の全断面積 $\sigma$ を $\lambda ,m,s$ の式で求めよ。ただし終状態の 2 個の $\varphi$ は同種粒子であることに注意せよ。