真空 2 点関数と運動量積分

モード展開を使って $⟨ 0∣ ϕ (x) ϕ (y) ∣0 ⟩ = \int \frac{d ^{3} p}{( 2 π ) ^{3}} \frac{1}{2 E _{p}} e^{- i p \cdot (x - y)}$ や $π$ ・空間微分を含む真空相関関数を書き、角度積分と収束因子 $e^{- ε ∣ p ∣}$ を使って質量ゼロの場の同時刻相関（例: $⟨ ϕ (x) ϕ (0)⟩ = \frac{1}{4 π ^{2} r ^{2}}$ ）を $r$ の式で求められる

前提

自由スカラー場の正準量子化とモード展開（大学院物理場の量子論）

この技能までの道筋（141 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

音の伝わり方と大きさ・高さ（中学理科物理分野の用語と知識）
音の振動数と波形（中学理科光と音）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
光子のエネルギーと運動量（高校物理原子）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
分母の有理化（中学数学数と式）
乗法公式・分配法則を使う根号の式の展開（中学数学数と式）
根号を含む式の計算と分母の有理化（数学I 数と式）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））
慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））
力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
静止摩擦力・最大摩擦力・動摩擦力（高校物理力と運動（知識））
静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）
仕事（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
運動エネルギーと仕事の関係（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
物質波（ド・ブロイ波）（高校物理原子）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
広義積分（大学数学微分積分）
波動関数の規格化と確率解釈（大学物理量子力学（1 次元の問題））
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
演算子と期待値（大学物理量子力学（1 次元の問題））
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
掃き出し法と連立 1 次方程式（大学数学線形代数）
行列の階数と解の存在（大学数学線形代数）
ベクトル空間・一次独立・基底・次元（大学数学線形代数）
内積となす角（数学C ベクトル）
内積空間とグラム・シュミットの直交化（大学数学線形代数）
調和振動子と昇降演算子（大学物理量子力学（1 次元の問題））
力のモーメントと偶力（高校物理力と運動（知識））
力のモーメント（高校物理力と運動）
重積分と累次積分（大学数学微分積分）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）
多変数の連鎖律（大学数学微分積分）
重積分の変数変換とヤコビアン（大学数学微分積分）
慣性モーメントの計算（大学物理力学（質点・剛体））
位置ベクトルと内分点・外分点（数学C ベクトル）
交点の位置ベクトル（数学C ベクトル）
空間ベクトルと直線・平面（数学C ベクトル）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
行列式（大学数学線形代数）
空間ベクトルの外積（大学数学ベクトル解析）
運動の法則（運動方程式）（高校物理力と運動（知識））
運動方程式（高校物理力と運動）
正弦定理・余弦定理と三角形の面積（数学I 図形と計量）
極座標（数学C 平面上の曲線）
極座標での運動方程式（大学物理力学（質点・剛体））
角運動量とトルク（大学物理力学（質点・剛体））
弾性力とフックの法則（高校物理力と運動（知識））
重力と弾性力の位置エネルギー（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
糸でつながれた物体の運動（高校物理力と運動）
力学的エネルギー保存則（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
固定軸のまわりの回転と転がり運動（大学物理力学（質点・剛体））
ラグランジアンとオイラー・ラグランジュ方程式（大学物理解析力学）
速さと平均の速さ（中学理科運動とエネルギー）
記録タイマーの打点と速さ（中学理科運動とエネルギー）
斜面の運動と等速直線運動（中学理科運動とエネルギー）
変位・速度・加速度（直線運動）（高校物理運動の表し方）
速度の合成と分解（高校物理運動の表し方）
拘束のある系と一般化座標（大学物理解析力学）
一般化運動量と循環座標（大学物理解析力学）
ルジャンドル変換とハミルトニアン（大学物理解析力学）
三角関数の積分（数学III 積分法）
無限等比級数と無限級数（数学III 極限）
フーリエ級数（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）
2 次不等式（数学I 2次関数）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）
平均値の定理（数学III 微分法）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
べき級数と収束半径（大学数学微分積分）
オイラーの公式（大学数学微分積分）
フーリエ変換（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）
自由スカラー場の正準量子化とモード展開（大学院物理場の量子論）

説明

自由場の真空 $∣0 ⟩$ で、2 点の場の値がどれだけ相関しているかを表す真空 2 点関数 $⟨ 0∣ ϕ (x) ϕ (y) ∣0 ⟩$ を、モード展開から運動量積分の形に書き、それを実際に計算して距離 $r$ の関数として求めます。 $ϕ$ だけでなく正準運動量 $π = ϕ ˙$ や空間微分 $\nabla ϕ$ を含む相関も、積分の中に $E_{p}$ や $p$ の因子が付くだけで同じ方法で扱えます。質量ゼロの場では角度積分のあと $\int_{0}^{\infty} sin (p r) p^{n} d p$ という収束しない形が現れるので、収束因子 $e^{- εp}$ を付けて計算し最後に $ε \to + 0$ とします。プロパゲーターや真空のゆらぎ、エンタングルメントの評価の基礎になる計算です。

なぜそうしてよいのか

以下、自然単位系 $ℏ = c = 1$ 、計量 $(+, -, -, -)$ 、 $p \cdot x = E_{p} t - p \cdot x$ 、 $E_{p} = p^{2} + m^{2}$ とします。モード展開 $ϕ (x) = \int \frac{d ^{3} p}{( 2 π ) ^{3}} \frac{1}{2 E _{p}} (a_{p} e^{- i p \cdot x} + a_{p}^{†} e^{i p \cdot x})$ を 2 つ並べて真空で挟むと、 $a_{p} ∣0 ⟩ = 0$ 、 $⟨ 0∣ a_{p}^{†} = 0$ なので、左の $ϕ$ からは $a_{p}$ の項、右の $ϕ$ からは $a_{q}^{†}$ の項だけが残ります。 $⟨ 0∣ a_{p} a_{q}^{†} ∣0 ⟩ = ⟨ 0∣ [a_{p}, a_{q}^{†}] ∣0 ⟩ = (2 π)^{3} δ^{3} (p - q)$ により $q$ 積分が消えて
$⟨ 0∣ ϕ (x) ϕ (y) ∣0 ⟩ = \int \frac{d ^{3} p}{( 2 π ) ^{3}} \frac{1}{2 E _{p}} e^{- i p \cdot (x - y)}$
となります。 $π = ϕ ˙$ の展開は各項に $\mp i E_{p}$ が付いたもの、 $\partial_{j} ϕ$ は $\pm i p_{j}$ が付いたものなので、例えば $⟨ 0∣ π (x) π (y) ∣0 ⟩$ は $(- i E_{p}) (+ i E_{p}) = E_{p}^{2}$ がかかって被積分関数が $\frac{E _{p}}{2} e^{- i p \cdot (x - y)}$ になります。つまり「左の演算子の $a_{p}$ の係数 × 右の演算子の $a_{p}^{†}$ の係数」を $\frac{d ^{3} p}{( 2 π ) ^{3}}$ で積分すればよいわけです。

同時刻（ $x^{0} = y^{0}$ ）では指数は $e^{i p \cdot r}$ （ $r = x - y$ ）だけになり、被積分関数の残りが $∣ p ∣ = p$ だけによれば、 $r$ の方向を $z$ 軸にとった極座標で角度積分ができます:
$\int d Ω e^{i p r c o s θ} = 2 π \int_{- 1}^{1} e^{i p r c} d c = \frac{4 π sin ( p r )}{p r} .$
残る動径積分は、質量ゼロ（ $E_{p} = p$ ）だと例えば $⟨ ϕϕ ⟩$ で $\frac{1}{4 π ^{2} r} \int_{0}^{\infty} sin (p r) d p$ となり、通常の意味では収束しません。これは非常に大きな運動量のモードまで足していることによるもので、物理的には 2 点がわずかでも離れていれば高い運動量の寄与は激しく振動して打ち消し合います。この打ち消し合いを正しく扱うため $e^{- εp}$ （ $ε > 0$ ）を掛けて計算し、最後に $ε \to + 0$ とします（虚時間方向に少しずらすことに相当します）。 $\int_{0}^{\infty} p^{n} e^{- (ε - i r) p} d p = \frac{n !}{( ε - i r ) ^{n + 1}}$ の虚部をとれば $\int_{0}^{\infty} p^{n} sin (p r) e^{- εp} d p$ が求まり、 $n = 0$ では $\frac{r}{ε ^{2} + r ^{2}} \to \frac{1}{r}$ なので $⟨ ϕ (x) ϕ (0)⟩ = \frac{1}{4 π ^{2} r ^{2}}$ となります。

手順

相関関数に現れる演算子をモード展開し、左の演算子の $a_{p}$ の係数と右の演算子の $a_{p}^{†}$ の係数を取り出す（ $ϕ$ なら $\frac{1}{2 E _{p}} e^{\mp i p \cdot x}$ 、 $π$ なら $\mp i \frac{E _{p}}{2} e^{\mp i p \cdot x}$ ）。
$⟨ 0∣ a_{p} a_{q}^{†} ∣0 ⟩ = (2 π)^{3} δ^{3} (p - q)$ を使い、2 つの係数の積を $\int \frac{d ^{3} p}{( 2 π ) ^{3}}$ で積分する形に書く。
同時刻なら指数を $e^{i p \cdot r}$ とし、極座標で角度積分 $\int d Ω e^{i p r c o s θ} = \frac{4 π s i n ( p r )}{p r}$ を行う。
動径積分に収束因子 $e^{- εp}$ を付け、 $\int_{0}^{\infty} p^{n} sin (p r) e^{- εp} d p = Im \frac{n !}{( ε - i r ) ^{n + 1}}$ で計算してから $ε \to + 0$ とする。

例題

自然単位系 $ℏ = c = 1$ 、計量 $(+, -, -, -)$ とし、質量ゼロの自由実スカラー場 $L = \frac{1}{2} \partial_{μ} ϕ \partial^{μ} ϕ$ を、モード展開 $ϕ (x) = \int \frac{d ^{3} p}{( 2 π ) ^{3}} \frac{1}{2 E _{p}} (a_{p} e^{- i p \cdot x} + a_{p}^{†} e^{i p \cdot x})$ （ $E_{p} = ∣ p ∣$ ）、 $[a_{p}, a_{q}^{†}] = (2 π)^{3} δ^{3} (p - q)$ で量子化する。正準運動量を $π = ϕ ˙$ とし、同時刻 $t = 0$ 、距離 $r = ∣ x ∣ > 0$ における真空相関関数 $⟨ 0∣ π (0, x) π (0, 0) ∣0 ⟩$ を、運動量積分に収束因子 $e^{- ε ∣ p ∣}$ を付けて $ε \to + 0$ とする処方で、 $r$ の式で求めよ。

例題の解答

手順 1: $π = \int \frac{d ^{3} p}{( 2 π ) ^{3}} (- i) \frac{E _{p}}{2} (a_{p} e^{- i p \cdot x} - a_{p}^{†} e^{i p \cdot x})$ 。左の $π$ の $a_{p}$ の係数は $- i \frac{E _{p}}{2} e^{- i p \cdot x}$ 、右の $π$ の $a_{p}^{†}$ の係数は $+ i \frac{E _{p}}{2} e^{i p \cdot y}$ 。

手順 2: 積は $(- i) (i) \frac{E _{p}}{2} e^{- i p \cdot (x - y)} = \frac{E _{p}}{2} e^{- i p \cdot (x - y)}$ なので
$⟨ 0∣ π (x) π (y) ∣0 ⟩ = \int \frac{d ^{3} p}{( 2 π ) ^{3}} \frac{p}{2} e^{- i p \cdot (x - y)} (p = ∣ p ∣) .$

手順 3: 同時刻では指数は $e^{i p \cdot x}$ 。角度積分をすると
$\frac{1}{( 2 π ) ^{3}} \int_{0}^{\infty} p^{2} d p \frac{p}{2} \cdot \frac{4 π sin ( p r )}{p r} = \frac{1}{4 π ^{2} r} \int_{0}^{\infty} p^{2} sin (p r) d p .$

手順 4: 収束因子を付けると
$\int_{0}^{\infty} p^{2} sin (p r) e^{- εp} d p = Im \frac{2}{( ε - i r ) ^{3}} ε \to + 0 Im \frac{2}{( - i r ) ^{3}} = Im \frac{2}{i r ^{3}} = Im (- \frac{2 i}{r ^{3}}) = - \frac{2}{r ^{3}} .$
よって
$⟨ 0∣ π (0, x) π (0, 0) ∣0 ⟩ = \frac{1}{4 π ^{2} r} \cdot (- \frac{2}{r ^{3}}) = - \frac{1}{2 π ^{2} r ^{4}} .$

答え: $- \frac{1}{2 π ^{2} r ^{4}}$

よくある誤り

$π$ の相関で被積分関数を $\frac{1}{2 E _{p}}$ のままにしたり、 $(- i) (- i) = - 1$ として $- \frac{E _{p}}{2}$ にしたりする誤り。右の演算子からは $a_{p}^{†}$ の項（係数 $+ i E_{p} /2$ ）が効くので、正しくは $(- i) (+ i) \frac{E _{p}}{2} = + \frac{E _{p}}{2}$ 。
角度積分を $\int d Ω e^{i p r c o s θ} = 4 π$ としたり、 $\frac{2 π s i n ( p r )}{p r}$ と係数を落としたりする誤り。 $\int_{- 1}^{1} e^{i p r c} d c = \frac{2 s i n ( p r )}{p r}$ に $φ$ 積分の $2 π$ がかかって、正しくは $\frac{4 π s i n ( p r )}{p r}$ 。
収束しない積分 $\int_{0}^{\infty} sin (p r) d p$ や $\int_{0}^{\infty} p^{2} sin (p r) d p$ を「振動して値が決まらない」として捨てたり 0 としたりする誤り。収束因子を付けると $\int_{0}^{\infty} sin (p r) e^{- εp} d p = \frac{r}{ε ^{2} + r ^{2}} \to \frac{1}{r}$ 、 $\int_{0}^{\infty} p^{2} sin (p r) e^{- εp} d p \to - \frac{2}{r ^{3}}$ と有限の値が決まる（後者が負になることにも注意）。
$⟨ 0∣ ϕ (x) ϕ (y) ∣0 ⟩$ の $(2 π)^{3}$ の位置を誤り、 $\int d^{3} p \frac{1}{2 E _{p}} e^{- i p \cdot (x - y)}$ としてしまう誤り。 $⟨ 0∣ a_{p} a_{q}^{†} ∣0 ⟩ = (2 π)^{3} δ^{3} (p - q)$ が $\frac{d ^{3} q}{( 2 π ) ^{3}}$ を 1 つ消すだけなので、 $\frac{d ^{3} p}{( 2 π ) ^{3}}$ は残る。これを落とすと質量ゼロの $⟨ ϕϕ ⟩$ が $\frac{1}{4 π ^{2} r ^{2}}$ の $(2 π)^{3}$ 倍になる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
自然単位系 $ℏ = c = 1$ 、計量の符号 $(+, -, -, -)$ を用いる。質量ゼロの自由な実スカラー場 $ϕ (x)$ を
$ϕ (x) = \int \frac{d ^{3} p}{( 2 π ) ^{3}} \frac{1}{2 E _{p}} (a_{p} e^{- i p \cdot x} + a_{p}^{†} e^{i p \cdot x}), E_{p} = ∣ p ∣, [a_{p}, a_{q}^{†}] = (2 π)^{3} δ^{3} (p - q)$
とモード展開し、 $∣0 ⟩$ を $a_{p} ∣0 ⟩ = 0$ を満たす真空とする。正準運動量は $π = \partial_{0} ϕ$ である。
同時刻 $t = 0$ での真空相関関数
$⟨ 0∣ π (0, x) π (0, 0) ∣0 ⟩$
を、 $r = ∣ x ∣ > 0$ の式で求めよ。ただし、運動量積分には収束因子 $e^{- ε ∣ p ∣}$ $(ε > 0)$ を掛けて計算し、最後に $ε \to + 0$ の極限をとるものとする。

真空 2 点関数と運動量積分

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題