場の量子論の問題

自然単位系 $\hslash =c=1$、計量の符号 $(+,-,-,-)$ を用いる。$3+1$ 次元時空の質量ゼロの実スカラー場 $\varphi (x)$ を考える。ラグランジアン密度は
$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi$$
である。正準運動量は $\pi (x)={\partial }_0\varphi (x)$ であり、同時刻交換関係 $[\varphi (t,\mathbf{x}),\pi (t,\mathbf{y})]=i{\delta }^3(\mathbf{x}-\mathbf{y})$ を課して量子化する。このとき場は
$$\varphi (x)=\int \frac{d^{3}p}{(2\pi {)}^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\mathbf{p}}}}\left(a_{\mathbf{p}}{e}^{-ip\cdot x}+a_{\mathbf{p}}^{†}{e}^{ip\cdot x}\right),E_{\mathbf{p}}=|\mathbf{p}|,[a_{\mathbf{p}},a_{\mathbf{q}}^{†}]=(2\pi {)}^3{\delta }^3(\mathbf{p}-\mathbf{q})$$
と展開される（$p^0=E_{\mathbf{p}}$、ほかの交換子は $0$）。真空 $|0⟩$ は、すべての $\mathbf{p}$ について $a_{\mathbf{p}}|0⟩=0$ を満たす規格化された状態とする。

演算子 $O(x)$ を
$$O(x)=\pi (x)+\frac{\partial \varphi }{\partial z}(x)$$
で定める（$z$ は空間座標の第 3 成分）。$a>0$ を定数とし、2 点 $x=(t,0,0,a)$、$y=(t,0,0,0)$ をとる（同時刻）。真空期待値
$$⟨0|O(x)O(y)|0⟩$$
を $a$ の式で求めよ。ただし、運動量積分は被積分関数に収束因子 $e^{-\epsilon |\mathbf{p}|}$ を掛けて計算し、$\epsilon \to +0$ の極限をとったものと解釈する（$a>0$ なので極限は有限）。

自然単位系 $\hslash =c=1$、計量の符号 $(+,-,-,-)$ を用いる。質量ゼロの自由な実スカラー場 $\varphi (x)$ を
$$\varphi (x)=\int \frac{d^{3}p}{(2\pi {)}^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\mathbf{p}}}}\left(a_{\mathbf{p}}{e}^{-ip\cdot x}+a_{\mathbf{p}}^{†}{e}^{ip\cdot x}\right),E_{\mathbf{p}}=|\mathbf{p}|,[a_{\mathbf{p}},a_{\mathbf{q}}^{†}]=(2\pi {)}^3{\delta }^3(\mathbf{p}-\mathbf{q})$$
とモード展開し、$|0⟩$ を $a_{\mathbf{p}}|0⟩=0$ を満たす真空とする。正準運動量は $\pi ={\partial }_0\varphi$ である。

同時刻 $t=0$ での真空相関関数
$$⟨0|\pi (0,\mathbf{x})\pi (0,0)|0⟩$$
を、$r=|\mathbf{x}|>0$ の式で求めよ。ただし、運動量積分には収束因子 $e^{-\epsilon |\mathbf{p}|}$ $(\epsilon >0)$ を掛けて計算し、最後に $\epsilon \to +0$ の極限をとるものとする。

自然単位系 $\hslash =c=1$、計量の符号 $(+,-,-,-)$ を用いる。質量 $m>0$ の実スカラー場 $\varphi (x)$ のラグランジアン密度を
$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi -\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }^2$$
とする。正準運動量を $\pi ={\partial }_0\varphi$ とし、同時刻交換関係 $[\varphi (t,\mathbf{x}),\pi (t,\mathbf{y})]=i{\delta }^3(\mathbf{x}-\mathbf{y})$ を課して、モード展開
$$\varphi (x)=\int \frac{d^{3}p}{(2\pi {)}^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\mathbf{p}}}}\left(a_{\mathbf{p}}{e}^{-ip\cdot x}+a_{\mathbf{p}}^{†}{e}^{ip\cdot x}\right),E_{\mathbf{p}}=\sqrt{|\mathbf{p}{|}^2+m^2}$$
で量子化する（$[a_{\mathbf{p}},a_{\mathbf{q}}^{†}]=(2\pi {)}^3{\delta }^3(\mathbf{p}-\mathbf{q})$）。ハミルトニアンは正規順序をとって真空 $|0⟩$ のエネルギーを $0$ とする。

$\mathbf{k}=\left(\frac{3}{4}m,0,0\right)$ として、状態
$$|\Psi ⟩=a_{\mathbf{k}}^{†}{a}_{-\mathbf{k}}^{†}{a}_0^{†}|0⟩$$
はハミルトニアン $H$ の固有状態である。その固有値（全エネルギー）を $m$ を用いて表せ。

自然単位系 $\hslash =c=1$、計量の符号 $(+,-,-,-)$ を用いる。質量 $M$ の実スカラー場 $\varphi$ と質量 $m$ のディラック場 $\psi$ が、スカラー結合と擬スカラー結合の両方をもつ湯川相互作用で結合している系を考える。ラグランジアン密度は
$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi -\frac{1}{2}{M}^2{\varphi }^2+\bar{\psi }\left(i{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m\right)\psi -\varphi \bar{\psi }\left(g+ih{\gamma }^5\right)\psi$$
である。ここで $g,h$ は実数の結合定数、${\gamma }^5=i{\gamma }^0{\gamma }^1{\gamma }^2{\gamma }^3$（$({\gamma }^5{)}^2=1$、$\{{\gamma }^5,{\gamma }^{\mu }\}=0$）であり、$M>2m>0$ とする。

静止した $\varphi$ 粒子の崩壊 $\varphi \to \psi \bar{\psi }$ の全崩壊幅 $\Gamma$ を、結合定数について最低次（樹木図レベル）で求め、$M,m,g,h$ を用いて表せ。終状態のフェルミオンのスピンはすべて和をとるものとする。

自然単位系 $\hslash =c=1$ をとり、計量の符号を $(+,-,-,-)$ とする。実スカラー場 $\varphi$ のラグランジアン密度を
$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi +\frac{1}{2}{\mu }^2{\varphi }^2-\frac{\lambda }{4!}{\varphi }^4$$
とする。ここで $\mu >0$, $\lambda >0$ は定数である。この理論では $\varphi$ が真空期待値 $v>0$ をもつ。$\varphi =v+h$ と書き、場 $h$ が表す粒子（質量 $m_h$）を考える。

$h$ 粒子どうしの弾性散乱 $hh\to hh$ を、結合定数の最低次（樹木図レベル）で考える。重心系での全断面積 $\sigma (s)$ を、終状態の 2 粒子が同種粒子であることによる因子 $\frac{1}{2}$ を含めて全立体角で積分したものと定義する（$s$ は重心系の全エネルギーの 2 乗）。

閾値極限 ${\sigma }_0=\underset{s\to 4m_h^2+0}{\lim }\sigma (s)$ について、無次元量 $\frac{{\mu }^2{\sigma }_0}{{\lambda }^2}$ の値を求めよ（正確な値で答えよ）。