場の量子論の問題

自然単位系 $\hslash =c=1$、計量の符号 $(+,-,-,-)$ を用いる。質量 $M$ の実スカラー場 $\varphi$ と質量 $m$ のディラック場 $\psi$ が、スカラー結合と擬スカラー結合の両方をもつ湯川相互作用で結合している系を考える。ラグランジアン密度は
$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi -\frac{1}{2}{M}^2{\varphi }^2+\bar{\psi }\left(i{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m\right)\psi -\varphi \bar{\psi }\left(g+ih{\gamma }^5\right)\psi$$
である。ここで $g,h$ は実数の結合定数、${\gamma }^5=i{\gamma }^0{\gamma }^1{\gamma }^2{\gamma }^3$（$({\gamma }^5{)}^2=1$、$\{{\gamma }^5,{\gamma }^{\mu }\}=0$）であり、$M>2m>0$ とする。

静止した $\varphi$ 粒子の崩壊 $\varphi \to \psi \bar{\psi }$ の全崩壊幅 $\Gamma$ を、結合定数について最低次（樹木図レベル）で求め、$M,m,g,h$ を用いて表せ。終状態のフェルミオンのスピンはすべて和をとるものとする。

自然単位系 $\hslash =c=1$、計量の符号 $(+,-,-,-)$ を用いる。$3+1$ 次元時空の質量ゼロの実スカラー場 $\varphi (x)$ を考える。ラグランジアン密度は
$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi$$
である。正準運動量は $\pi (x)={\partial }_0\varphi (x)$ であり、同時刻交換関係 $[\varphi (t,\mathbf{x}),\pi (t,\mathbf{y})]=i{\delta }^3(\mathbf{x}-\mathbf{y})$ を課して量子化する。このとき場は
$$\varphi (x)=\int \frac{d^{3}p}{(2\pi {)}^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\mathbf{p}}}}\left(a_{\mathbf{p}}{e}^{-ip\cdot x}+a_{\mathbf{p}}^{†}{e}^{ip\cdot x}\right),E_{\mathbf{p}}=|\mathbf{p}|,[a_{\mathbf{p}},a_{\mathbf{q}}^{†}]=(2\pi {)}^3{\delta }^3(\mathbf{p}-\mathbf{q})$$
と展開される（$p^0=E_{\mathbf{p}}$、ほかの交換子は $0$）。真空 $|0⟩$ は、すべての $\mathbf{p}$ について $a_{\mathbf{p}}|0⟩=0$ を満たす規格化された状態とする。

演算子 $O(x)$ を
$$O(x)=\pi (x)+\frac{\partial \varphi }{\partial z}(x)$$
で定める（$z$ は空間座標の第 3 成分）。$a>0$ を定数とし、2 点 $x=(t,0,0,a)$、$y=(t,0,0,0)$ をとる（同時刻）。真空期待値
$$⟨0|O(x)O(y)|0⟩$$
を $a$ の式で求めよ。ただし、運動量積分は被積分関数に収束因子 $e^{-\epsilon |\mathbf{p}|}$ を掛けて計算し、$\epsilon \to +0$ の極限をとったものと解釈する（$a>0$ なので極限は有限）。

自然単位系 $\hslash =c=1$、計量の符号 $(+,-,-,-)$ を用いる。$3+1$ 次元時空の質量のない実スカラー場 $\varphi (x)$ を考える。ラグランジアン密度は
$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi$$
とする。共役運動量は $\pi ={\partial }_0\varphi$ であり、正準交換関係 $[\varphi (t,\mathbf{x}),\pi (t,\mathbf{y})]=i{\delta }^3(\mathbf{x}-\mathbf{y})$ を課す。場のモード展開は
$$\varphi (x)=\int \frac{d^{3}k}{(2\pi {)}^3}\frac{1}{\sqrt{2{\omega }_k}}\left(a_{\mathbf{k}}{e}^{-ik\cdot x}+a_{\mathbf{k}}^{†}{e}^{ik\cdot x}\right),{\omega }_k=|\mathbf{k}|,k^0={\omega }_k$$
で、$[a_{\mathbf{k}},a_{\mathbf{q}}^{†}]=(2\pi {)}^3{\delta }^3(\mathbf{k}-\mathbf{q})$、$[a_{\mathbf{k}},a_{\mathbf{q}}]=0$、真空 $|0⟩$ は $a_{\mathbf{k}}|0⟩=0$ を満たす。

同時刻 $t=0$ における、2 点 $\mathbf{x}$ と $0$（$r=|\mathbf{x}|>0$）の共役運動量の真空相関関数
$$G(r)=⟨0|\pi (0,\mathbf{x})\pi (0,0)|0⟩$$
を $r$ の式で求めよ。ただし、運動量積分が収束しない部分は、被積分関数に収束因子 $e^{-ϵ|\mathbf{k}|}$ $(ϵ>0)$ を掛けて計算したのち $ϵ\to +0$ の極限をとって定めるものとする。

自然単位系 $\hslash =c=1$、計量の符号 $(+,-,-,-)$ を用いる。質量 $m$ の実スカラー場 $\varphi$ のラグランジアン密度を
$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi -\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }^2-\frac{g}{3!}{\varphi }^3$$
とする（$g$ は実数の結合定数）。この理論のファインマン則は、頂点因子 $-ig$、運動量 $q$ の内線の伝播関数 $\frac{i}{q^2-m^2+i\epsilon }$ である。

2 粒子散乱 $\varphi (p_1)+\varphi (p_2)\to \varphi (p_3)+\varphi (p_4)$ の不変振幅 $\mathcal{M}$ を、$i\mathcal{M}$ が連結で切断された（amputated）ファインマン図の和に等しいと定める。マンデルスタム変数
$$s=(p_1+p_2{)}^2,t=(p_1-p_3{)}^2,u=(p_1-p_4{)}^2$$
を用いて、$g$ の最低次（樹木図レベル）の $\mathcal{M}$ を $g,m,s,t,u$ の式で求めよ。ただし $s,t,u$ はいずれも $m^2$ と異なるとし、$i\epsilon$ は省略してよい。

$d$ 次元ユークリッド空間上の $N$ 成分実スカラー場 ${\varphi }_a(x)$ $(a=1,\dots ,N)$ を考える。作用は
$$S=\int d^{d}x\left[\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }{\varphi }_a{\partial }_{\mu }{\varphi }_a+\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }_a{\varphi }_a+\frac{\lambda }{8}({\varphi }_a{\varphi }_a{)}^2\right]$$
であり、繰り返す添字については和をとる。$S_0$ を $\lambda =0$ の自由部分、$S_I=\frac{\lambda }{8}\int d^{d}x({\varphi }_a{\varphi }_a{)}^2$ を相互作用部分とし、分配関数を $Z=\int \mathcal{D}\varphi e^{-S}$、$Z_0=\int \mathcal{D}\varphi e^{-S_0}$ とする。自由場の伝播関数を
$$⟨{\varphi }_a(x){\varphi }_b(y){⟩}_0={\delta }_{ab}G(x-y)$$
とし、$G(0)$ は適当な正則化のもとで有限な定数として形式的に扱う（その値は求めなくてよい）。

ウィックの定理を用いて $\log (Z/Z_0)$ を $\lambda$ で展開したとき、その ${\lambda }^2$ の項は
$${\lambda }^2\left[c_1\int d^{d}x{d}^{d}yG(x-y{)}^4+c_{2}G(0{)}^2\int d^{d}x{d}^{d}yG(x-y{)}^2\right]$$
の形に書ける。係数 $c_1,c_2$ を $N$ の式で求め、組 $(c_1,c_2)$ の形で答えよ。