場の量子論の問題

自然単位系 $\hslash =c=1$、計量の符号 $(+,-,-,-)$ を用いる。質量ゼロの自由な実スカラー場 $\varphi (x)$ を
$$\varphi (x)=\int \frac{d^{3}p}{(2\pi {)}^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\mathbf{p}}}}\left(a_{\mathbf{p}}{e}^{-ip\cdot x}+a_{\mathbf{p}}^{†}{e}^{ip\cdot x}\right),E_{\mathbf{p}}=|\mathbf{p}|,[a_{\mathbf{p}},a_{\mathbf{q}}^{†}]=(2\pi {)}^3{\delta }^3(\mathbf{p}-\mathbf{q})$$
とモード展開し、$|0⟩$ を $a_{\mathbf{p}}|0⟩=0$ を満たす真空とする。正準運動量は $\pi ={\partial }_0\varphi$ である。

同時刻 $t=0$ での真空相関関数
$$⟨0|\pi (0,\mathbf{x})\pi (0,0)|0⟩$$
を、$r=|\mathbf{x}|>0$ の式で求めよ。ただし、運動量積分には収束因子 $e^{-\epsilon |\mathbf{p}|}$ $(\epsilon >0)$ を掛けて計算し、最後に $\epsilon \to +0$ の極限をとるものとする。

自然単位系 $\hslash =c=1$ を用い、質量次元を $[\cdot ]$ で表す（$[{\partial }_{\mu }]=1$, $[d^{d}x]=-d$）。$d=5$ 次元時空で、実スカラー場 $\varphi$ とディラック場 $\psi$ の作用
$$S=\int d^{5}x\left[\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi -\frac{1}{2}{M}^2{\varphi }^2+\bar{\psi }(i{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m)\psi -g\varphi \bar{\psi }\psi \right]$$
を考える。作用 $S$ が無次元であることから、湯川結合定数 $g$ の質量次元 $[g]$ を求めよ。

自然単位系 $\hslash =c=1$、計量の符号 $(+,-,-,-)$ を用いる。質量 $m>0$ の実スカラー場 $\varphi (x)$ のラグランジアン密度を
$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi -\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }^2$$
とする。正準運動量を $\pi ={\partial }_0\varphi$ とし、同時刻交換関係 $[\varphi (t,\mathbf{x}),\pi (t,\mathbf{y})]=i{\delta }^3(\mathbf{x}-\mathbf{y})$ を課して、モード展開
$$\varphi (x)=\int \frac{d^{3}p}{(2\pi {)}^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\mathbf{p}}}}\left(a_{\mathbf{p}}{e}^{-ip\cdot x}+a_{\mathbf{p}}^{†}{e}^{ip\cdot x}\right),E_{\mathbf{p}}=\sqrt{|\mathbf{p}{|}^2+m^2}$$
で量子化する（$[a_{\mathbf{p}},a_{\mathbf{q}}^{†}]=(2\pi {)}^3{\delta }^3(\mathbf{p}-\mathbf{q})$）。ハミルトニアンは正規順序をとって真空 $|0⟩$ のエネルギーを $0$ とする。

$\mathbf{k}=\left(\frac{3}{4}m,0,0\right)$ として、状態
$$|\Psi ⟩=a_{\mathbf{k}}^{†}{a}_{-\mathbf{k}}^{†}{a}_0^{†}|0⟩$$
はハミルトニアン $H$ の固有状態である。その固有値（全エネルギー）を $m$ を用いて表せ。

自然単位系 $\hslash =c=1$、計量の符号 $(+,-,-,-)$ を用いる。質量 $m$ の実スカラー場 $\varphi$ のラグランジアン密度を
$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi -\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }^2-\frac{g}{3!}{\varphi }^3$$
とする（$g$ は実数の結合定数）。この理論のファインマン則は、頂点因子 $-ig$、運動量 $q$ の内線の伝播関数 $\frac{i}{q^2-m^2+i\epsilon }$ である。

2 粒子散乱 $\varphi (p_1)+\varphi (p_2)\to \varphi (p_3)+\varphi (p_4)$ の不変振幅 $\mathcal{M}$ を、$i\mathcal{M}$ が連結で切断された（amputated）ファインマン図の和に等しいと定める。マンデルスタム変数
$$s=(p_1+p_2{)}^2,t=(p_1-p_3{)}^2,u=(p_1-p_4{)}^2$$
を用いて、$g$ の最低次（樹木図レベル）の $\mathcal{M}$ を $g,m,s,t,u$ の式で求めよ。ただし $s,t,u$ はいずれも $m^2$ と異なるとし、$i\epsilon$ は省略してよい。

自然単位系 $\hslash =c=1$、計量の符号 $(+,-,-,-)$ を用いる。質量 $m$ の自由な実スカラー場のファインマン伝播関数
$$D_F(x-y)=\int \frac{d^{4}p}{(2\pi {)}^4}\frac{i}{p^2-m^2+i\epsilon }{e}^{-ip\cdot (x-y)}$$
で、空間運動量 $\mathbf{p}$ を固定したときの $p^0$ 積分
$$I(t)=\underset{\epsilon \to +0}{\lim }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{d{p}^0}{2\pi }\frac{i{e}^{-i{p}^{0}t}}{(p^0{)}^2-E^2+i\epsilon }$$
を考える。ここで $E=\sqrt{|\mathbf{p}{|}^2+m^2}>0$ である。

$t>0$ のとき、$I(t)$ を $E$ と $t$ の式で求めよ。