特殊相対論の問題

ある不安定粒子は、静止しているとき（粒子とともに動く時計で測ったとき）、生成されてから $\tau =2.0\times 10^{-8}\mathrm{s}$ 後に崩壊する。この粒子が、実験室に固定した慣性系に対して一定の速さ $v=\frac{12}{13}c$ で一直線上を運動している。光速を $c=3.0\times 10^{8}m/s$ とし、与えられた数値は正確な値として扱う。

粒子が生成されてから崩壊するまでに、実験室系で進む距離を $\mathrm{m}$ 単位の正確な値で求めよ。

地上に固定した慣性系 $S$ の $x$ 軸上で、位置 $x_A=0\mathrm{m}$ の事象 A と、位置 $x_B=600\mathrm{m}$ の事象 B が、$S$ で同時刻に起こった。$S$ に対して $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $v=\frac{4}{5}c$ で動く宇宙船に固定した慣性系 $S^{\prime }$（$x^{\prime }$ 軸は $x$ 軸と重なり、同じ向き）で見たときの、事象 A, B の時刻をそれぞれ $t_A^{\prime }$, $t_B^{\prime }$ とする。光速を $c=3.0\times 10^{8}m/s$ とする。

時刻の差 $t_B^{\prime }-t_A^{\prime }$ を、$\mu \mathrm{s}$（$1\mu \mathrm{s}=10^{-6}\mathrm{s}$）単位の正確な値（分数）で求めよ。

地球に固定した慣性系 $S$ に対して、宇宙船が $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $v=\frac{1}{2}c$ で進んでいる。宇宙船に固定した慣性系 $S^{\prime }$（$x^{\prime }$ 軸は $x$ 軸と同じ向き）で見て、宇宙船から探査機が $x^{\prime }$ 軸の正の向きに速さ $u^{\prime }=\frac{3}{5}c$ で発射され、その後一定の速度で進む。$c$ は真空中の光速である。

地球の系 $S$ から見た探査機の速さ $u$ は $c$ の何倍か。正確な値（分数）で求めよ。

実験室系（慣性系とする）で、2 個の光子が $x$ 軸上を互いに逆向きに進んでいる。光子 A はエネルギー $E_A=8.0\mathrm{MeV}$ で $x$ 軸の正の向きに、光子 B はエネルギー $E_B=2.0\mathrm{MeV}$ で $x$ 軸の負の向きに進む。光子では $E=pc$ が成り立つ。$c$ は真空中の光速で、与えられた数値は正確な値として扱う。

この 2 光子からなる系の不変質量 $M$ について、$M{c}^2$ を $\mathrm{MeV}$ 単位で求めよ。ただし $M^2{c}^4=E_{\text{tot}}^2-|{\mathbf{p}}_{\text{tot}}{|}^2{c}^2$ である。

実験室系（慣性系とする）で、静止エネルギー $m{c}^2=300\mathrm{MeV}$ の粒子 A が、全エネルギー $E_A=500\mathrm{MeV}$（運動量の大きさ $p_{A}c=400\mathrm{MeV}$）で $x$ 軸の正の向きに進み、静止している静止エネルギー $M{c}^2=700\mathrm{MeV}$ の粒子 B に衝突して弾性散乱する（衝突の前後で粒子の種類と静止エネルギーは変わらず、全エネルギーと全運動量が保存される）。$c$ は真空中の光速で、与えられた数値は正確な値として扱う。

散乱の向きによって、粒子 B が受け取る運動エネルギーは変わる。粒子 B が受け取る運動エネルギーの最大値を $\mathrm{MeV}$ 単位で求めよ。