ラピディティと速度の合成の繰り返し

ラピディティ $ϕ$ （ $tanh ϕ = v / c$ ）が同じ向きの速度の合成で足し算になることを使って、段階的に加速したあとの速さ $v_{n} = c tanh (n ϕ_{1})$ を、 $\frac{( 1 + β ) ^{n} - ( 1 - β ) ^{n}}{( 1 + β ) ^{n} + ( 1 - β ) ^{n}}$ の形などで求められる

前提

相対論的な速度の合成（平行な成分）（大学物理特殊相対論）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）

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算数中学高校大学大学院

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相対論的な速度の合成（平行な成分）（大学物理特殊相対論）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）

説明

同じ向きの速度の相対論的な合成を何回も繰り返したときの速さを、1 回ずつ合成則を使わずに一気に求める技能です。速さ $v$ の代わりに「ラピディティ」 $ϕ$ という量を使うと、同じ向きの速度の合成は $ϕ$ の単純な足し算になります。ロケットが「直前に静止していた系に対して毎回同じだけ加速する」ことを $n$ 回繰り返したあとの速さ $v_{n} = c tanh (n ϕ_{1})$ を、 $β = v_{1} / c$ を使った $\frac{( 1 + β ) ^{n} - ( 1 - β ) ^{n}}{( 1 + β ) ^{n} + ( 1 - β ) ^{n}}$ の形で求められるようになります。

なぜそうしてよいのか

$β_{1} = u / c$ と $β_{2} = v / c$ を同じ向きに合成した結果を $β = \frac{β _{1} + β _{2}}{1 + β _{1} β _{2}}$ とします（合成則 $\frac{u + v}{1 + uv / c ^{2}}$ を $c$ で割ったもの）。ここで $1 + β$ と $1 - β$ を計算すると
$1 + β = \frac{( 1 + β _{1} ) ( 1 + β _{2} )}{1 + β _{1} β _{2}}, 1 - β = \frac{( 1 - β _{1} ) ( 1 - β _{2} )}{1 + β _{1} β _{2}}$
となるので、 $k = \frac{1 + β}{1 - β}$ という量について $k = k_{1} k_{2}$ が成り立ちます。つまり合成は $k$ の「掛け算」です。 $- 1 < β < 1$ なら $k > 0$ なので対数がとれ、掛け算は対数をとると足し算になります。

そこでラピディティを $ϕ = \frac{1}{2} lo g \frac{1 + β}{1 - β}$ と定義すると $ϕ = ϕ_{1} + ϕ_{2}$ です。逆に $ϕ$ から $β$ を戻すと、 $e^{2 ϕ} = \frac{1 + β}{1 - β}$ を $β$ について解いて
$β = \frac{e ^{2 ϕ} - 1}{e ^{2 ϕ} + 1} = \frac{e ^{ϕ} - e ^{- ϕ}}{e ^{ϕ} + e ^{- ϕ}}$
となります。この右辺を $tanh ϕ$ （双曲線正接）と書きます。これが $tanh ϕ = v / c$ の意味です。 $tanh ϕ$ はどんな実数 $ϕ$ に対しても $- 1$ と $1$ の間にあるので、何回足しても速さは $c$ を超えません。

同じ $ϕ_{1}$ の加速を $n$ 回繰り返すとラピディティは $n ϕ_{1}$ になり、 $k_{n} = k_{1}^{n} = (\frac{1 + β}{1 - β})^{n}$ です。これを $β_{n} = \frac{k _{n} - 1}{k _{n} + 1}$ に入れ、分子分母に $(1 - β)^{n}$ を掛けると
$\frac{v _{n}}{c} = tanh (n ϕ_{1}) = \frac{( 1 + β ) ^{n} - ( 1 - β ) ^{n}}{( 1 + β ) ^{n} + ( 1 - β ) ^{n}}$
が得られます。

手順

1 回の加速（合成）での速さを $β = v_{1} / c$ と無次元にする。すべての合成が同じ向きであることを確かめる
$k_{1} = \frac{1 + β}{1 - β}$ （ラピディティでは $ϕ_{1} = \frac{1}{2} lo g k_{1}$ ）を計算する
$n$ 回の合成でラピディティが足し算になることから $n ϕ_{1}$ 、すなわち $k_{n} = k_{1}^{n}$ を求める
$\frac{v _{n}}{c} = \frac{k _{n} - 1}{k _{n} + 1} = \frac{( 1 + β ) ^{n} - ( 1 - β ) ^{n}}{( 1 + β ) ^{n} + ( 1 - β ) ^{n}}$ で速さに戻す
結果が $0 < v_{n} / c < 1$ になっていることを確かめる

例題

宇宙船が次の操作を 3 回繰り返す。「直前に宇宙船が静止していた慣性系に対して、 $x$ 軸の正の向きに速さ $\frac{c}{2}$ になるまで加速する」。最初の宇宙船が静止していた慣性系から見た、3 回目の加速を終えたあとの宇宙船の速さは $c$ の何倍か。分数で求めよ。ただし $c$ は真空中の光の速さとし、加速はすべて同じ向きとする。

例題の解答

手順1: 1 回の加速は $β = \frac{1}{2}$ で、すべて $x$ 軸の正の向きである。

手順2: $k_{1} = \frac{1 + \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{3/2}{1/2} = 3$ （ $ϕ_{1} = \frac{1}{2} lo g 3$ ）。

手順3: 3 回の合成でラピディティは $3 ϕ_{1}$ になり、 $k_{3} = 3^{3} = 27$ 。

手順4: $\frac{v _{3}}{c} = \frac{27 - 1}{27 + 1} = \frac{26}{28} = \frac{13}{14}$
（ $\frac{( 3/2 ) ^{3} - ( 1/2 ) ^{3}}{( 3/2 ) ^{3} + ( 1/2 ) ^{3}} = \frac{27 - 1}{27 + 1}$ と計算しても同じ。）

手順5: $0 < \frac{13}{14} < 1$ で、光の速さを超えていない。

（確認: 合成則を順に使うと 2 回目で $\frac{1/2 + 1/2}{1 + 1/4} = \frac{4}{5}$ 、3 回目で $\frac{4/5 + 1/2}{1 + 2/5} = \frac{13/10}{7/5} = \frac{13}{14}$ となり一致する。）

よって $\frac{13}{14}$ 倍である。

答え: $\frac{13}{14}$

よくある誤り

速さそのものを足して $v_{n} = n v_{1}$ としてしまう誤り。足し算になるのはラピディティで、 $v_{n} = c tanh (n ϕ_{1})$ である。例題では $3 \times \frac{c}{2} = 1.5 c$ ではなく $\frac{13}{14} c$ になる。
$k_{1} = \frac{1 + β}{1 - β}$ を $n$ 倍して $k_{n} = n k_{1}$ としてしまう誤り。合成で掛け算になるのは $k$ なので $k_{n} = k_{1}^{n}$ （ラピディティでは $ϕ_{n} = n ϕ_{1}$ ）である。
ラピディティを $ϕ = lo g \frac{1 + β}{1 - β}$ と係数 $\frac{1}{2}$ を落として定義し、 $β = tanh ϕ$ に入れてしまう誤り。 $tanh ϕ = β$ となるのは $ϕ = \frac{1}{2} lo g \frac{1 + β}{1 - β}$ のときである（ $k$ だけで計算するなら $β_{n} = \frac{k _{n} - 1}{k _{n} + 1}$ を使えば係数の心配はない）。
向きが逆の合成にも同じ符号で足してしまう誤り。逆向きの速度はラピディティが負（ $β \to - β$ で $ϕ \to - ϕ$ ）なので、 $ϕ_{1} - ϕ_{2}$ のように引き算になる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
地球に固定した慣性系 $S_{0}$ で静止していた探査機が、次のように 3 段階で加速する。1 段目の加速で、探査機は $S_{0}$ に対して一直線上を速さ $\frac{1}{2} c$ で進むようになる。その後の各段階では、直前の段階を終えた（加速前の）探査機の静止系から見て、同じ向きに速さ $\frac{1}{2} c$ だけ速くなる（つまり、直前の静止系に対して速さ $\frac{1}{2} c$ で進むようになる）。各段階の加速は一瞬で終わり、各段階の間は等速直線運動をするものとする。 $c$ は真空中の光速である。
ラピディティ $ϕ$ を $tanh ϕ = \frac{v}{c}$ （ただし $tanh ϕ = \frac{e ^{ϕ} - e ^{- ϕ}}{e ^{ϕ} + e ^{- ϕ}}$ ）で定めると、同じ向きの速度の合成ではラピディティが足し算になる。このことを用いて、3 段階の加速を終えたあとの探査機の $S_{0}$ に対する速さは $c$ の何倍か、正確な値（分数）で求めよ。

ラピディティと速度の合成の繰り返し

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題