運動方向に垂直な速度成分の変換

系の相対運動に垂直な速度成分の変換 $u_{y} = \frac{u _{y}^{'}}{γ ( 1 + u _{x}^{'} v / c ^{2} )}$ を使って、斜めに運動する物体の別の慣性系での速度の成分と速さ・向きを求められる

前提

相対論的な速度の合成（平行な成分）（大学物理特殊相対論）

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算数中学高校大学大学院

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ローレンツ変換（大学物理特殊相対論）
相対論的な速度の合成（平行な成分）（大学物理特殊相対論）

説明

慣性系 $S^{'}$ が慣性系 $S$ に対して $x$ 軸の正の向きに速さ $v$ で動いているとき、 $S^{'}$ で斜めに動く物体の速度を $S$ から見るとどうなるかを求める技能です。平行な成分 $u_{x}$ には速度の合成則を使い、垂直な成分 $u_{y}$ には $u_{y} = \frac{u _{y}^{'}}{γ ( 1 + u _{x}^{'} v / c ^{2} )}$ を使います。2 つの成分がわかれば、 $S$ での速さや運動の向きも求められます。運動する光源から斜めに出た光や、粒子の崩壊で斜めに飛び出す粒子を別の系で見る場面で使います。

なぜそうしてよいのか

ローレンツ変換（ $S^{'}$ から $S$ への逆変換）は、 $γ = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}}$ として
$x = γ (x^{'} + v t^{'}), y = y^{'}, t = γ (t^{'} + \frac{v x ^{'}}{c ^{2}})$
です。物体が $S^{'}$ で時間 $Δ t^{'}$ の間に $Δ x^{'} = u_{x}^{'} Δ t^{'}$ , $Δ y^{'} = u_{y}^{'} Δ t^{'}$ だけ動いたとすると、 $S$ での変位と経過時間は
$Δ y = Δ y^{'} = u_{y}^{'} Δ t^{'}, Δ t = γ (Δ t^{'} + \frac{v Δ x ^{'}}{c ^{2}}) = γ Δ t^{'} (1 + \frac{u _{x}^{'} v}{c ^{2}})$
となります。

したがって
$u_{y} = \frac{Δ y}{Δ t} = \frac{u _{y}^{'}}{γ ( 1 + u _{x}^{'} v / c ^{2} )}$
です。運動方向に垂直な長さ（ $y = y^{'}$ ）は変わらないのに速度の $y$ 成分が変わるのは、同じ動きにかかる時間が系によって違う（ $Δ t \neq = Δ t^{'}$ ）からです。分母の $γ$ は時間の遅れ、 $(1 + u_{x}^{'} v / c^{2})$ は $x^{'}$ 方向にも動いていることによる時刻のずれから来ています。平行な成分は同じ $Δ t$ で $Δ x = γ (Δ x^{'} + v Δ t^{'})$ を割って、おなじみの $u_{x} = \frac{u _{x}^{'} + v}{1 + u _{x}^{'} v / c ^{2}}$ になります。

逆向き（ $S$ での速度から $S^{'}$ での速度を求める）では $v$ を $- v$ に置きかえて $u_{y}^{'} = \frac{u _{y}}{γ ( 1 - u _{x} v / c ^{2} )}$ となります。

手順

2 つの慣性系を決め、相対速度 $v$ （ $S^{'}$ が $S$ に対して $x$ 軸の正の向きに動く速さ）と、わかっている系での速度成分 $u_{x}^{'}, u_{y}^{'}$ を書き出す
系の相対速度 $v$ から $γ = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}}$ を計算する（物体の速さではなく $v$ を使う）
共通の分母 $1 + \frac{u _{x}^{'} v}{c ^{2}}$ を計算する
平行な成分を $u_{x} = \frac{u _{x}^{'} + v}{1 + u _{x}^{'} v / c ^{2}}$ で求める
垂直な成分を $u_{y} = \frac{u _{y}^{'}}{γ ( 1 + u _{x}^{'} v / c ^{2} )}$ で求める
必要なら速さ $u = u_{x}^{2} + u_{y}^{2}$ や、 $x$ 軸となす角 $θ$ （ $tan θ = u_{y} / u_{x}$ ）を求め、 $u < c$ を確かめる

例題

慣性系 $S^{'}$ は慣性系 $S$ に対して $x$ 軸の正の向きに速さ $0.6 c$ で動いている（ $x$ 軸と $x^{'}$ 軸、 $y$ 軸と $y^{'}$ 軸はそれぞれ平行）。 $S^{'}$ で見ると、ある粒子は速度成分 $u_{x}^{'} = 0.5 c$ , $u_{y}^{'} = 0.5 c$ で一定の速度で運動している。 $S$ で見たこの粒子の速度の $y$ 成分 $u_{y}$ は $c$ の何倍か。分数で求めよ。ただし $c$ は真空中の光の速さとする。

例題の解答

手順1: $v = 0.6 c$ , $u_{x}^{'} = 0.5 c$ , $u_{y}^{'} = 0.5 c$ である。

手順2: $γ = \frac{1}{1 - 0. 6 ^{2}} = \frac{1}{0.64} = \frac{1}{0.8} = \frac{5}{4}$ 。

手順3: $1 + \frac{u _{x}^{'} v}{c ^{2}} = 1 + 0.5 \times 0.6 = 1.3 = \frac{13}{10}$ 。

手順4（参考）: $u_{x} = \frac{0.5 c + 0.6 c}{1.3} = \frac{11}{13} c$ 。

手順5: $u_{y} = \frac{0.5 c}{\frac{5}{4} \cdot \frac{13}{10}} = \frac{\frac{1}{2} c}{\frac{13}{8}} = \frac{4}{13} c$

手順6（確認）: 速さは $u = (\frac{11}{13})^{2} + (\frac{4}{13})^{2} c = \frac{137}{13} c \approx 0.90 c < c$ で、光の速さを超えていない。

よって $u_{y}$ は $c$ の $\frac{4}{13}$ 倍である。

答え: $\frac{4}{13}$

よくある誤り

$y = y^{'}$ だから $u_{y} = u_{y}^{'}$ としてしまう誤り。正しくは時間の進み方が系によって違うので $u_{y} = \frac{u _{y}^{'}}{γ ( 1 + u _{x}^{'} v / c ^{2} )}$ となり、例題では $0.5 c$ ではなく $\frac{4}{13} c$ になる。
分母の $γ$ を落として $u_{y} = \frac{u _{y}^{'}}{1 + u _{x}^{'} v / c ^{2}}$ としてしまう誤り。正しくは $γ$ も掛けて $γ (1 + u_{x}^{'} v / c^{2})$ で割る。 $u_{x}^{'} = 0$ のときも $u_{y} = u_{y}^{'} / γ$ であって $u_{y}^{'}$ のままではない。
$γ$ を物体の速さ $u^{'}$ から $\frac{1}{1 - u ^{'2} / c ^{2}}$ として計算してしまう誤り。正しくは系の相対速度 $v$ を使って $γ = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}}$ とする。
逆向きの変換で符号を変え忘れる誤り。 $S$ での速度から $S^{'}$ での成分を求めるときは $u_{y}^{'} = \frac{u _{y}}{γ ( 1 - u _{x} v / c ^{2} )}$ のように $v$ を $- v$ に置きかえ、分母の $u_{x}^{'}$ も $u_{x}$ にする。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
慣性系 $S$ に対して、慣性系 $S^{'}$ が $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $v = \frac{3}{5} c$ で動いている（ $x^{'}$ 軸は $x$ 軸と重なって同じ向き、 $y^{'}$ 軸は $y$ 軸と平行で同じ向き）。 $S^{'}$ で見て、ある粒子が速度の成分 $u_{x}^{'} = \frac{1}{2} c$ , $u_{y}^{'} = \frac{1}{2} c$ で等速直線運動をしている。 $c$ は真空中の光速である。
$S$ で見たこの粒子の速度の $y$ 成分 $u_{y}$ は $c$ の何倍か。正確な値（分数）で求めよ。

運動方向に垂直な速度成分の変換

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

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