電磁場の不変量と特別な慣性系

不変量 $B^{2} - E^{2} / c^{2}$ と $E \cdot B$ を使って、電場と磁場が平行になる系や一方が消える系の存在を判定し、その系での場の大きさやブーストの速さを求められる

前提

電磁場テンソルと場のローレンツ変換（大学院物理発展的な電磁気学（放射・相対論的電磁気学））

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電磁場テンソルと場のローレンツ変換（大学院物理発展的な電磁気学（放射・相対論的電磁気学））

説明

電場と磁場は慣性系を変えると混ざり合いますが、 $B^{2} - E^{2} / c^{2}$ と $E \cdot B$ の 2 つの量はどの慣性系でも同じ値をとります（ローレンツ不変量）。この 2 つの値を見るだけで、「電場が消える系」「磁場が消える系」「電場と磁場が平行になる系」が存在するかを判定でき、さらにその系での場の大きさを、具体的にローレンツ変換をしなくても求められます。荷電粒子が一様な電場・磁場の中でどう運動するかを、場が単純になる系に移って調べるときなどに使います。

なぜそうしてよいのか

ブースト（速度 $v$ 、 $γ = 1/ 1 - v^{2} / c^{2}$ ）では、 $v$ に平行な成分は $E_{∥}^{'} = E_{∥}, B_{∥}^{'} = B_{∥}$ 、垂直な成分は $E_{⊥}^{'} = γ (E + v \times B)_{⊥}, B_{⊥}^{'} = γ (B - v \times E / c^{2})_{⊥}$ です。 $v = v z^$ として垂直成分を $E_{⊥} = (E_{x}, E_{y})$ などと書けば、 $E_{x}^{'} = γ (E_{x} - v B_{y})$ 、 $c B_{y}^{'} = γ (c B_{y} - \frac{v}{c} E_{x})$ のように、 $(E_{x}, c B_{y})$ と $(E_{y}, - c B_{x})$ の組がそれぞれ $(c t, z)$ と同じ形で変換されます。 $(c t)^{2} - z^{2}$ が不変なのと同じ理由で $c^{2} B_{y}^{2} - E_{x}^{2}$ と $c^{2} B_{x}^{2} - E_{y}^{2}$ が不変、平行成分はそのまま、よって $c^{2} B^{2} - E^{2}$ が不変です。同様に $E \cdot B$ も直接代入すると $γ^{2} (1 - v^{2} / c^{2}) = 1$ により不変であることが確かめられます。これらは電磁場テンソルから作れるスカラー $F_{μν} F^{μν}$ とその双対版に比例する量です。

不変量の値から、到達できる系が決まります。 $E \cdot B = 0$ のとき、 $B^{2} - E^{2} / c^{2} > 0$ なら電場が消える系があり（そこで $B^{'} = B^{2} - E^{2} / c^{2}$ 、ブーストは $v = E \times B / B^{2}$ 、 $v = E / B < c$ ）、 $< 0$ なら磁場が消える系があります（ $E^{'} = E^{2} - c^{2} B^{2}$ 、 $v = c^{2} E \times B / E^{2}$ 、 $v = c^{2} B / E < c$ ）。両方 0 なら、平面電磁波のように $E = c B$ かつ直交したままで、どちらかを消すことはできません。 $E \cdot B \neq = 0$ ならどの系でも両方の場が残り、一方を消すことはできませんが、両者が平行（または反平行）になる系があります。

平行になる系では $E^{'} \cdot B^{'} = \pm E^{'} B^{'}$ なので、場の大きさは 2 本の式 $B^{'2} - E^{'2} / c^{2} = B^{2} - E^{2} / c^{2}$ 、 $E^{'} B^{'} = ∣ E \cdot B ∣$ を連立させて決まります。ブーストは $E \times B$ の向きにとればよく（ $E, B$ がともに垂直成分になる）、 $E^{'} \times B^{'} = 0$ を変換則から計算すると、速さは $\frac{v}{1 + v ^{2} / c ^{2}} = \frac{∣ E \times B ∣}{B ^{2} + E ^{2} / c ^{2}}$ を満たす $v < c$ の解です。

手順

元の系で 2 つの不変量 $I_{1} = B^{2} - E^{2} / c^{2}$ と $I_{2} = E \cdot B$ を計算する
$I_{2}$ の値で場合分けする。 $I_{2} = 0$ なら $I_{1} > 0$ で電場が消える系、 $I_{1} < 0$ で磁場が消える系があり、 $I_{1} = 0$ ならどちらも消せない。 $I_{2} \neq = 0$ ならどちらも消せず、平行（ $I_{2} > 0$ ）または反平行（ $I_{2} < 0$ ）になる系がある
一方が消える系では、残る場の大きさを $B^{'} = I_{1}$ または $E^{'} = c - I_{1}$ で求める
平行になる系では $B^{'2} - E^{'2} / c^{2} = I_{1}$ と $E^{'} B^{'} = ∣ I_{2} ∣$ を連立する。 $E^{'2}$ について 2 次方程式 $E^{'4} / c^{2} + I_{1} E^{'2} - I_{2}^{2} = 0$ を解いて正の根をとり、 $B^{'} = ∣ I_{2} ∣/ E^{'}$ とする
ブーストの速さが要るときは $E \times B$ の向きに、一方が消える系なら $v = E / B$ または $v = c^{2} B / E$ 、平行になる系なら $\frac{v}{1 + v ^{2} / c ^{2}} = \frac{∣ E \times B ∣}{B ^{2} + E ^{2} / c ^{2}}$ の $v < c$ の解をとる

例題

ある慣性系で、一様な電場と磁場が $E = E_{0} (1, 1, 0)$ 、 $B = \frac{E _{0}}{c} (2, 0, 1)$ である（ $E_{0} > 0$ 、 $c$ は真空中の光速、SI 単位系）。電場と磁場が平行になる慣性系での電場の大きさ $E^{'}$ と磁場の大きさ $B^{'}$ を、この順に求めよ。

例題の解答

（手順 1）不変量を計算する。
$I_{1} = B^{2} - \frac{E ^{2}}{c ^{2}} = \frac{E _{0}^{2}}{c ^{2}} (4 + 0 + 1) - \frac{E _{0}^{2}}{c ^{2}} (1 + 1) = \frac{3 E _{0}^{2}}{c ^{2}}, I_{2} = E \cdot B = \frac{E _{0}^{2}}{c} (2 + 0 + 0) = \frac{2 E _{0}^{2}}{c} .$

（手順 2） $I_{2} > 0$ なので、電場も磁場も消せないが、両者が平行になる系がある。

（手順 4）その系では $B^{'2} - \frac{E ^{'2}}{c ^{2}} = \frac{3 E _{0}^{2}}{c ^{2}}$ 、 $E^{'} B^{'} = \frac{2 E _{0}^{2}}{c}$ 。 $X = \frac{E ^{'}}{E _{0}}$ 、 $Y = \frac{c B ^{'}}{E _{0}}$ とおくと $Y^{2} - X^{2} = 3$ 、 $X Y = 2$ 。 $Y^{2} = X^{2} + 3$ を $X^{2} Y^{2} = 4$ に入れて
$X^{4} + 3 X^{2} - 4 = 0 ⟺ (X^{2} + 4) (X^{2} - 1) = 0.$
$X^{2} > 0$ より $X^{2} = 1$ 、 $X = 1$ 、 $Y = 2$ 。よって $E^{'} = E_{0}$ 、 $B^{'} = \frac{2 E _{0}}{c}$ 。

（確認） $B^{'2} - E^{'2} / c^{2} = \frac{4 E _{0}^{2} - E _{0}^{2}}{c ^{2}} = \frac{3 E _{0}^{2}}{c ^{2}} = I_{1}$ 、 $E^{'} B^{'} = \frac{2 E _{0}^{2}}{c} = I_{2}$ で、どちらの不変量も一致する。

答え: $(E_{0}, \frac{2 E _{0}}{c})$

よくある誤り

不変量を $B^{2} - E^{2}$ や $E^{2} + c^{2} B^{2}$ としてしまう誤り。SI 単位系では次元をそろえて $B^{2} - E^{2} / c^{2}$ （または $c^{2} B^{2} - E^{2}$ ）で、符号は差。和 $E^{2} + c^{2} B^{2}$ はエネルギー密度に比例し、系によって変わる。
$E \cdot B \neq = 0$ なのに、 $B > E / c$ だから電場が消える系があるとしてしまう誤り。 $E^{'} = 0$ なら $E^{'} \cdot B^{'} = 0$ となり不変量 $E \cdot B$ と矛盾する。一方が消える系があるのは $E \cdot B = 0$ のときだけ。
平行になる系の場の大きさを $E^{'} = E^{2}$ のように元の大きさのままとしたり、 $E^{'} B^{'} = E \cdot B$ だけから決めようとしたりする誤り。未知数は $E^{'}, B^{'}$ の 2 つなので、 $B^{'2} - E^{'2} / c^{2} = I_{1}$ と $E^{'} B^{'} = ∣ I_{2} ∣$ の 2 本を連立させる必要がある。
$E \cdot B = 0$ 、 $B < E / c$ の場合にも $v = E / B$ のブーストで電場を消そうとする誤り。このとき $E / B > c$ で光速を超えるので不可能で、代わりに $v = c^{2} B / E < c$ のブーストで磁場が消え、 $E^{'} = E^{2} - c^{2} B^{2}$ となる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
真空中の慣性系 $S$ において、空間的に一様で時間変化しない電場と磁場
$E = (0, \frac{3}{5} c B_{0}, 0), B = (0, 0, B_{0})$
がある（ $B_{0} > 0$ は定数、 $c$ は真空中の光速、SI 単位系）。
この電磁場について、電場が $0$ になる慣性系 $S^{'}$ が存在する。電磁場の不変量 $B^{2} - \frac{E ^{2}}{c ^{2}}$ と $E \cdot B$ を用いて、系 $S^{'}$ における磁場の大きさ $∣ B^{'} ∣$ を $B_{0}$ で表せ。

電磁場の不変量と特別な慣性系

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

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