電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導）の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導）

真空中に一様な磁束密度 $B_{0}$ （ $B_{0} > 0$ ）の静磁場がある。この中に、半径 $a$ （ $a > 0$ ）の無限に長い円柱を、中心軸が磁場の向きに垂直になるように置く。円柱は比透磁率 $μ_{r}$ （ $μ_{r} > 0$ の定数）の一様・等方的な線形磁性体でできていて、伝導電流は流れていない。円柱を置いても、円柱から十分に遠い所の磁場は一様な磁束密度 $B_{0}$ のままであるとする。真空の透磁率を $μ_{0}$ として、円柱の内部の磁束密度の大きさを、 $B_{0}, μ_{r}$ を用いて表せ。ただし、円柱の内部の磁場は一様になることを用いてよい。

a

μ_{r}

B_{0}

中心軸に垂直な断面（遠方の磁場の向き）

この問題で使うもの

磁性体と磁場の強さ（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（67 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

伝導電流がないので $H = - \nabla ϕ_{m}$ と書け、各領域で $ϕ_{m}$ は 2 次元のラプラス方程式を満たす。円柱の外と内で $cos θ$ に比例する解をおこう。

ヒント 2

外: $ϕ = - H_{0} r cos θ + \frac{A cos θ}{r}$ 、内: $ϕ = - K r cos θ$ 。境界 $r = a$ では $H$ の接線成分と $B$ の法線成分が連続。

ヒント 3

境界条件は $- H_{0} a + \frac{A}{a} = - K a$ と $H_{0} + \frac{A}{a ^{2}} = μ_{r} K$ 。これを $K$ について解き、 $B = μ_{r} μ_{0} K$ を求める。

答えと解説

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\frac{2 μ _{r} B _{0}}{μ _{r} + 1}

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伝導電流がないので $\nabla \times H = 0$ であり、磁位 $ϕ_{m}$ を用いて $H = - \nabla ϕ_{m}$ と書ける。各領域で物質は一様・線形なので $B = μ H$ （ $μ$ は一定）で、 $\nabla \cdot B = 0$ から $\nabla^{2} ϕ_{m} = 0$ （ラプラス方程式）が成り立つ。

円柱の中心軸を $z$ 軸、遠方の磁場の向きを $x$ 軸とし、 $x y$ 平面内の極座標 $(r, θ)$ （ $θ$ は $x$ 軸から測る）を用いる。遠方での磁場の強さを $H_{0} = \frac{B _{0}}{μ _{0}}$ とする。問題は $z$ によらない 2 次元の問題である。

2 次元のラプラス方程式の解のうち、 $cos θ$ に比例するものは $r cos θ$ と $\frac{cos θ}{r}$ である。境界条件（遠方で $ϕ_{m} \to - H_{0} r cos θ$ 、中心で有限）を満たすように
$ϕ_{外} = - H_{0} r cos θ + \frac{A cos θ}{r} (r > a), ϕ_{内} = - K r cos θ (r < a)$
とおく（内部は一様な磁場 $H_{内} = K x^$ ）。

$r = a$ での境界条件は次の 2 つである。
- 表面に伝導電流がないので $H$ の接線成分が連続 $⟺$ $ϕ_{m}$ が連続:
$- H_{0} a + \frac{A}{a} = - K a (1)$
- $\nabla \cdot B = 0$ より $B$ の法線成分が連続: $- μ_{0} \frac{\partial ϕ _{外}}{\partial r} = - μ_{r} μ_{0} \frac{\partial ϕ _{内}}{\partial r}$ より
$H_{0} + \frac{A}{a ^{2}} = μ_{r} K (2)$

$(1)$ から $\frac{A}{a ^{2}} = H_{0} - K$ 。これを $(2)$ に代入すると $2 H_{0} - K = μ_{r} K$ なので
$K = \frac{2 H _{0}}{μ _{r} + 1}$

円柱の内部の磁束密度は
$B_{内} = μ_{r} μ_{0} K = \frac{2 μ _{r} μ _{0} H _{0}}{μ _{r} + 1} = \frac{2 μ _{r} B _{0}}{μ _{r} + 1}$
（確認: $μ_{r} = 1$ のとき $B_{0}$ に戻る。 $μ_{r} \to \infty$ では $2 B_{0}$ に近づき、常磁性体（ $μ_{r} > 1$ ）では内部の磁束密度が強められる。）

別解

円柱の中心軸を $z$ 軸、遠方の磁場の向きを $x$ 軸とする。伝導電流がないので $\nabla \times H = 0$ であり、 $H = - \nabla ϕ$ とおける。磁荷に相当する量は $\nabla \cdot B = 0$ から $\nabla^{2} ϕ = 0$ （2 次元ラプラス方程式）。

円柱の外側の解は、遠方で一様磁場 $H_{0} = B_{0} / μ_{0}$ になる条件と、内部が一様磁場になる条件から
$ϕ_{外} = - H_{0} r cos θ + \frac{C cos θ}{r}$ 、 $ϕ_{内} = - H_{i} r cos θ$
とおける（ $H_{i}$ は内部の磁場の強さ、 $C$ は定数）。

境界 $r = a$ での条件:
(1) $H$ の接線成分の連続（ $ϕ$ の連続）: $- H_{i} a = - H_{0} a + C / a$ より $C = a^{2} (H_{0} - H_{i})$ 。
(2) $B$ の法線成分の連続: 内部 $B_{r} = μ_{0} μ_{r} H_{i} cos θ$ 、外部 $B_{r} = μ_{0} (H_{0} cos θ + \frac{C cos θ}{a ^{2}})$ より
$μ_{r} H_{i} = H_{0} + C / a^{2} = 2 H_{0} - H_{i}$ 。

よって $H_{i} = \frac{2 H _{0}}{μ _{r} + 1}$ 、内部の磁束密度は
$B_{i} = μ_{0} μ_{r} H_{i} = \frac{2 μ _{r}}{μ _{r} + 1} μ_{0} H_{0} = \frac{2 μ _{r}}{μ _{r} + 1} B_{0}$ 。

検算: $μ_{r} = 1$ のとき $B_{i} = B_{0}$ で円柱がないときと一致する。 $μ_{r} \to \infty$ のとき $B_{i} \to 2 B_{0}$ となり、2 次元円柱の反磁場係数 $1/2$ から $H_{i} = H_{0} - M /2$ 、 $B_{i} = μ_{0} μ_{r} H_{0} / (1 + (μ_{r} - 1) /2)$ と求めた結果とも一致する。

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