電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導）の問題

真空中に、中心 O、半径 $a$（$a>0$）の導体球があり、接地されている（導体球の電位は無限遠と同じ $0$ に保たれている）。O からの距離が $2a$ の点 P に点電荷 $q$（$q>0$）を固定した。直線 OP 上で、O に関して P と反対側にあり $\mathrm{OR}=2a$ となる点を R とする。真空の誘電率を ${ϵ}_0$ とし、電位の基準は無限遠にとる。

導体球の表面に誘導された電荷の影響も含めて、点 R の電位 $V$ を $q$, $a$, ${ϵ}_0$ を用いて表せ。

真空中に、接地された無限に広い平面導体がある。導体の表面から距離 $h$（$h>0$）の点 P に点電荷 $q$（$q>0$）を固定した。P から導体の表面に下ろした垂線の足を O とし、導体の表面上で O から距離 $h$ の点を A とする。点 A で導体の表面に誘導される電荷の面密度の大きさを、$q$, $h$ を用いて表せ。ただし、導体の表面より上側（点電荷のある側）は真空で、系は静電的なつり合いの状態にあるとする。

真空中に、中心 $\mathrm{O}$、半径 $a$（$a>0$）の導体球があり、接地されている（導体球の電位は無限遠と同じ $0$ に保たれている）。$\mathrm{O}$ からの距離が $3a$ の点 $\mathrm{P}$ に点電荷 $q$（$q>0$）を固定した。導体球の表面のうち $\mathrm{P}$ に最も近い点を $\mathrm{A}$ とする（$\mathrm{A}$ は線分 $\mathrm{OP}$ 上にある）。静電平衡の状態で、点 $\mathrm{A}$ における導体球の表面電荷密度を、$q$, $a$ を用いて表せ。真空の誘電率を ${\epsilon }_0$ とする。

真空中に、中心 O、半径 $R$（$R>0$）の薄い導体球殻があり、電荷 $Q$ が球殻の表面に一様に分布している。ほかに電荷はない。真空の誘電率を ${ϵ}_0$ とし、電場のエネルギー密度は $u=\frac{{ϵ}_0}{2}|\mathbf{E}{|}^2$ で与えられるものとする。

中心 O からの距離 $r$ が $R<r<2R$ を満たす領域（球殻の外側で、半径 $2R$ の球面の内側）の電場がもつエネルギー $W$ を、$Q$, $R$, ${ϵ}_0$ を用いて表せ。

真空中に、半径 $a$（$a>0$）の無限に長い円柱があり、その内部にだけ電荷が分布している。中心軸からの距離を $s$ とすると、電荷密度は
$$\rho (s)={\rho }_0\frac{s}{a}(0\leqq s\leqq a)$$
である（${\rho }_0>0$ は定数）。円柱の外部に電荷はない。真空の誘電率を ${ϵ}_0$ とする。

円柱の内部で中心軸からの距離が $r$（$0<r<a$）の点 P における電場の大きさ $E$ を、${\rho }_0$, $a$, $r$, ${ϵ}_0$ を用いて表せ。