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ゲージ理論と素粒子の標準模型の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院物理ゲージ理論と素粒子の標準模型

ゲージ群 $S U (2)_{L} \times U (1)_{Y}$ の電弱理論を考える。計量は $(+, -, -, -)$ 、自然単位系 $ℏ = c = 1$ を用いる。ゲージ結合定数を $g, g^{'}$ とし、共変微分を
$D_{μ} = \partial_{μ} - i g T^{a} W_{μ}^{a} - i g^{'} Y B_{μ}$
とする。電荷は $Q = T^{3} + Y$ である。荷電ゲージボソンを $W_{μ}^{\pm} = (W_{μ}^{1} \mp i W_{μ}^{2}) / 2$ 、中性ゲージボソンを $Z_{μ} = cos θ_{W} W_{μ}^{3} - sin θ_{W} B_{μ}$ と定める。ここで $cos θ_{W} = g / g^{2} + g^{'2}$ である。質量項はそれぞれ $M_{W}^{2} W_{μ}^{+} W^{- μ}$ 、 $\frac{1}{2} M_{Z}^{2} Z_{μ} Z^{μ}$ の形で定義する。

スカラー場として、次の 3 つを導入する。

$S U (2)$ 2 重項 $Φ$ 。超電荷は $Y = \frac{1}{2}$ 、運動項は $(D_{μ} Φ)^{†} (D^{μ} Φ)$ 、真空期待値は $⟨ Φ ⟩ = (0, v / 2)^{T}$ とする。
複素 3 重項 $Δ$ 。超電荷は $Y = 1$ で、 $T^{3} = diag (1, 0, - 1)$ とするスピン 1 表現の基底で成分を $(Δ^{++}, Δ^{+}, Δ^{0})^{T}$ と書く。運動項は $(D_{μ} Δ)^{†} (D^{μ} Δ)$ 、真空期待値は $⟨ Δ ⟩ = (0, 0, u / 2)^{T}$ とする。
実 3 重項 $ξ = (ξ^{1}, ξ^{2}, ξ^{3})^{T}$ 。超電荷は $Y = 0$ 、生成子は随伴表現 $(T^{a})_{b c} = - i ϵ_{ab c}$ 、運動項は $\frac{1}{2} (D_{μ} ξ)^{T} (D^{μ} ξ)$ 、真空期待値は $⟨ ξ ⟩ = (0, 0, w)^{T}$ とする。

ここで $v, u, w$ は正の実数である。木のレベルでのパラメータ
$ρ \equiv \frac{M _{W}^{2}}{M _{Z}^{2} cos ^{2} θ _{W}}$
を $v, u, w$ で表せ。

この問題で使うもの

複数のスカラー多重項と ρ パラメータ（説明と入口の問題）
ヒッグス機構とゲージボソンの質量（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（154 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

各スカラー場の運動項に真空期待値を代入し、 $W^{\pm}$ と $Z$ の 2 次の項を読み取る。真空期待値を持つ成分は $Q = 0$ 、つまり $Y = - T^{3}$ を満たすので、中性部分には $Z$ だけが現れる。

ヒント 2

$T^{1} W^{1} + T^{2} W^{2} = \frac{1}{2} (T^{+} W^{+} + T^{-} W^{-})$ と昇降演算子の行列要素 $T^{+} ∣ T, T^{3} ⟩ = T (T + 1) - T^{3} (T^{3} + 1) ∣ T, T^{3} + 1 ⟩$ を使う。実 3 重項では $(D ξ)_{b} = \partial ξ_{b} - g ϵ_{ab c} W^{a} ξ_{c}$ を直接計算する。

ヒント 3

各場の寄与は、2 重項が $M_{W}^{2} ∋ g^{2} v^{2} /4$ 、 $M_{Z}^{2} ∋ (g^{2} + g^{'2}) v^{2} /4$ 、複素 3 重項が $M_{W}^{2} ∋ g^{2} u^{2} /2$ 、 $M_{Z}^{2} ∋ (g^{2} + g^{'2}) u^{2}$ 、実 3 重項が $M_{W}^{2} ∋ g^{2} w^{2}$ （ $Z$ への寄与なし）となる。

答えと解説

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\frac{v ^{2} + 2 u ^{2} + 4 w ^{2}}{v ^{2} + 4 u ^{2}}

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方針

運動項に真空期待値を代入し、ゲージ場の 2 次の項を読み取る。

$T^{1} W^{1} + T^{2} W^{2} = \frac{1}{2} (T^{+} W^{+} + T^{-} W^{-})$ （ただし $T^{\pm} = T^{1} \pm i T^{2}$ ）を使うと、
$D_{μ} ⟨ ϕ ⟩ \supset - i [\frac{g}{2} (T^{+} W_{μ}^{+} + T^{-} W_{μ}^{-}) + g T^{3} W_{μ}^{3} + g^{'} Y B_{μ}] ⟨ ϕ ⟩$
となる。真空期待値を持つ成分はいずれも $Q = T^{3} + Y = 0$ を満たすので、光子は質量を持たない。また中性部分では $Y = - T^{3}$ となるから、
$g T^{3} W^{3} - g^{'} T^{3} B = T^{3} g^{2} + g^{'2} Z$
が成り立ち、 $Z$ だけが現れる。

(1) 2 重項 $Φ$

真空期待値を持つのは $T^{3} = - \frac{1}{2}$ の成分である。 $T^{-}$ はこの成分を消し、 $T^{+}$ は係数 $1$ で $T^{3} = + \frac{1}{2}$ の成分に移す。

荷電部分は $- i \frac{g}{2} W^{+} \frac{v}{2}$ となり、その絶対値の 2 乗は $\frac{g ^{2} v ^{2}}{4} W^{+} W^{-}$ である。

中性部分は $- i (- \frac{1}{2}) g^{2} + g^{'2} Z \frac{v}{2}$ となり、その絶対値の 2 乗は $\frac{( g ^{2} + g ^{'2} ) v ^{2}}{8} Z^{2}$ である。

よって寄与は $M_{W}^{2} ∋ \frac{g ^{2} v ^{2}}{4}$ 、 $M_{Z}^{2} ∋ \frac{( g ^{2} + g ^{'2} ) v ^{2}}{4}$ である。

(2) 複素 3 重項 $Δ$

真空期待値を持つのは $T^{3} = - 1$ の成分である。 $T^{-}$ はこれを消し、 $T^{+} ∣1, - 1 ⟩ = 2 ∣1, 0 ⟩$ である。

荷電部分は $- i \frac{g}{2} W^{+} \cdot 2 \cdot \frac{u}{2} = - i g \frac{u}{2} W^{+}$ となり、その絶対値の 2 乗は $\frac{g ^{2} u ^{2}}{2} W^{+} W^{-}$ である。

中性部分は $- i (- 1) g^{2} + g^{'2} Z \frac{u}{2}$ となり、その絶対値の 2 乗は $\frac{( g ^{2} + g ^{'2} ) u ^{2}}{2} Z^{2}$ である。

これを $\frac{1}{2} M_{Z}^{2} Z^{2}$ と比べて、寄与は $M_{W}^{2} ∋ \frac{g ^{2} u ^{2}}{2}$ 、 $M_{Z}^{2} ∋ (g^{2} + g^{'2}) u^{2}$ である。

(3) 実 3 重項 $ξ$

共変微分は
$(D_{μ} ξ)_{b} = \partial_{μ} ξ_{b} - i g (- i ϵ_{ab c}) W_{μ}^{a} ξ_{c} = \partial_{μ} ξ_{b} - g ϵ_{ab c} W_{μ}^{a} ξ_{c}$
である。 $⟨ ξ ⟩ = (0, 0, w)$ を代入すると、
$(D ξ)_{1} = - g ϵ_{213} W^{2} w = g w W^{2}, (D ξ)_{2} = - g ϵ_{123} W^{1} w = - g w W^{1}, (D ξ)_{3} = 0$
となる。したがって
$\frac{1}{2} (D ξ)^{T} (D ξ) = \frac{g ^{2} w ^{2}}{2} [(W^{1})^{2} + (W^{2})^{2}] = g^{2} w^{2} W^{+} W^{-}$
である。 $Y = 0$ かつ $T^{3} ⟨ ξ ⟩ = 0$ なので、 $Z$ への寄与はない。よって寄与は $M_{W}^{2} ∋ g^{2} w^{2}$ のみである。

(4) 合計

$M_{W}^{2} = \frac{g ^{2}}{4} (v^{2} + 2 u^{2} + 4 w^{2}), M_{Z}^{2} = \frac{g ^{2} + g ^{'2}}{4} (v^{2} + 4 u^{2})$

$cos^{2} θ_{W} = \frac{g ^{2}}{g ^{2} + g ^{'2}}$ より、
$ρ = \frac{M _{W}^{2}}{M _{Z}^{2} cos ^{2} θ _{W}} = \frac{v ^{2} + 2 u ^{2} + 4 w ^{2}}{v ^{2} + 4 u ^{2}}$
となる。

補足

$u = w = 0$ （2 重項のみ）のとき $ρ = 1$ となる。また $w = u / 2$ （カストディアル対称性を保つ Georgi–Machacek 型の配置）のときも $ρ = 1$ となる。

別解

質量項 $M_{W}^{2} W^{+} W^{-}$ は、複素場については $∣ D ϕ ∣^{2}$ から $g^{2} [T (T + 1) - T_{3}^{2}] ∣ ⟨ ϕ ⟩ ∣^{2}$ で与えられる。これは $T_{1} W^{1} + T_{2} W^{2} = (T_{+} W^{+} + T_{-} W^{-}) / 2$ と $T_{+} T_{-} + T_{-} T_{+} = 2 (T^{2} - T_{3}^{2})$ から導ける。

実 3 重項 $ξ$ は $\frac{1}{2} (D ξ)^{T} (D ξ)$ なので、 $∣ ϕ ∣^{2} \to w^{2} /2$ と読み替えればよい。

W の質量
- 2 重項: $T = 1/2$ , $T_{3} = - 1/2$ なので $T (T + 1) - T_{3}^{2} = 1/2$ 、 $∣ ⟨ Φ ⟩ ∣^{2} = v^{2} /2$ から $g^{2} v^{2} /4$ 。
- 複素 3 重項: $T = 1$ , $T_{3} = - 1$ なので $T (T + 1) - T_{3}^{2} = 1$ 、 $∣ ⟨ Δ ⟩ ∣^{2} = u^{2} /2$ から $g^{2} u^{2} /2$ 。
- 実 3 重項: $T = 1$ , $T_{3} = 0$ なので $T (T + 1) - T_{3}^{2} = 2$ 、 $∣ ⟨ ξ ⟩ ∣^{2} \to w^{2} /2$ から $g^{2} w^{2}$ 。

よって $M_{W}^{2} = \frac{g ^{2}}{4} (v^{2} + 2 u^{2} + 4 w^{2})$ 。

Z の質量
真空期待値を持つ成分は $Q = 0$ 、すなわち $T_{3} = - Y$ である。Z の結合は $g c T_{3} - g^{'} s Y = (g / cos θ_{W}) (T_{3} - sin^{2} θ_{W} Q) = (g / cos θ_{W}) T_{3}$ となる。したがって $\frac{1}{2} M_{Z}^{2} = (g^{2} / cos^{2} θ_{W}) \sum T_{3}^{2} ∣ ⟨ ϕ ⟩ ∣^{2}$ である。
- 2 重項: $T_{3}^{2} = 1/4$ なので $g^{2} v^{2} / (4 cos^{2} θ_{W})$ への寄与。
- 複素 3 重項: $T_{3}^{2} = 1$ なので $g^{2} u^{2} / cos^{2} θ_{W}$ への寄与。
- 実 3 重項: $T_{3} = 0$ なので寄与なし。

よって $M_{Z}^{2} cos^{2} θ_{W} = g^{2} (v^{2} /4 + u^{2}) = \frac{g ^{2}}{4} (v^{2} + 4 u^{2})$ 。

$ρ$
$ρ = \frac{M _{W}^{2}}{M _{Z}^{2} cos ^{2} θ _{W}} = \frac{v ^{2} + 2 u ^{2} + 4 w ^{2}}{v ^{2} + 4 u ^{2}}$

検算: $u = w = 0$ で $ρ = 1$ 。実 3 重項のみ（ $u = 0$ ）では $ρ = 1 + 4 w^{2} / v^{2}$ 。複素 3 重項のみ（ $w = 0$ ）では $ρ = (v^{2} + 2 u^{2}) / (v^{2} + 4 u^{2}) < 1$ 。これは既知の結果と一致する。

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