ゲージ理論と素粒子の標準模型の問題

自然単位系 $\hslash =c=1$ を用いる。3 世代のニュートリノが真空中を伝わるとし、フレーバー固有状態 ${\nu }_{\alpha }$（$\alpha =e,\mu ,\tau$）と質量固有状態 ${\nu }_i$（質量 $m_i$, $i=1,2,3$）が混合行列 $U$ により $|{\nu }_{\alpha }⟩={\sum }_i{U}_{\alpha i}^{\ast }|{\nu }_i⟩$ で結ばれているとする。エネルギー $E$ のニュートリノは $E\gg m_i$ を満たし、距離 $L$ 伝わったときの振動確率は
$$P({\nu }_{\alpha }\to {\nu }_{\beta })={\left|\sum _{i=1}^3{U}_{\alpha i}^{\ast }{U}_{\beta i}{e}^{-i{m}_i^{2}L/2E}\right|}^2$$
で与えられるものとする。

混合行列の電子フレーバーの行の成分の絶対値の 2 乗が
$$|U_{e1}{|}^2=\frac{1}{2},|U_{e2}{|}^2=\frac{1}{4},|U_{e3}{|}^2=\frac{1}{4}$$
であり、$\Delta m_{ij}^2=m_i^2-m_j^2$ として、ある距離 $L$ とエネルギー $E$ で
$$\frac{\Delta m_{21}^{2}L}{4E}=\frac{\pi }{6},\frac{\Delta m_{31}^{2}L}{4E}=\frac{\pi }{2}$$
が成り立つとする。このときの電子ニュートリノの生存確率 $P({\nu }_e\to {\nu }_e)$ を既約分数で求めよ。

ゲージ群 $SU(N)$ のゲージ理論を考える。物質場は次の 2 種類のディラック・フェルミオンだけとし、スカラー場は含まないものとする。

• 3 階反対称テンソル表現 ${\Lambda }^3$（次元 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{3}\right)$）に属するディラック・フェルミオン 1 個
• 基本表現に属するディラック・フェルミオン $n_f$ 個

表現 $R$ の生成子 $T_R^a$ について $\mathrm{tr}(T_R^a{T}_R^b)=T(R){\delta }^{ab}$ で指数 $T(R)$ を定め、基本表現では $T(\text{fund})=\frac{1}{2}$ と規格化する。また随伴表現の 2 次カシミール演算子の値を $C_2(G)$ とする。結合定数 $g$ のベータ関数の 1 ループの結果は
$$\beta (g)=\mu \frac{dg}{d\mu }=-\frac{b_0}{16{\pi }^2}{g}^3,b_0=\frac{11}{3}{C}_2(G)-\frac{4}{3}\sum _{\text{Dirac}}T(R)$$
で与えられる。理論が（1 ループで）漸近的自由であるとは $b_0>0$ が成り立つことと定める。

$N$ は $N\ge 6$ を満たす整数、$n_f$ は $0$ 以上の整数とする。理論が漸近的自由となるような整数の組 $(N,n_f)$ の個数を求めよ。

$u,d,s,c$ の 4 種類のクォークからなるフレーバー $SU(4)$ のクォーク模型を考える。各クォークの量子数は次のとおりとする。

• $u,d$：アイソスピン $I=\frac{1}{2}$、その第 3 成分は $I_3(u)=+\frac{1}{2},I_3(d)=-\frac{1}{2}$。ストレンジネス・チャームはともに $0$
• $s$：$I=0$、ストレンジネス $S=-1$、チャーム $C=0$
• $c$：$I=0$、$S=0$、チャーム $C=+1$
• すべてのクォークのバリオン数は $B=\frac{1}{3}$

ハイパーチャージを $Y=B+S+C$ と定義し、電荷（電気素量 $e$ を単位とする）は一般化されたゲルマン・西島の公式
$$Q=I_3+\frac{Y}{2}$$
で与えられるとする。

軌道角運動量 $0$ でスピン $J=\frac{3}{2}$ の基底状態バリオン（クォーク 3 個からなり、フレーバーについて完全対称な状態）は、フレーバー $SU(4)$ の 20 次元表現をなす。この 20 個のフレーバー状態すべてについての和
$$\sum _{\text{20 状態}}QY$$
を求めよ。答えは整数で答えよ。

$u,d,s$ クォークのフレーバー $\mathrm{SU}(3)$ 対称性を考える。スピン $1/2$ のバリオン八重項 2 個からなる 2 バリオン系（バリオン数 $B=2$）のフレーバー状態は $8\otimes 8=27\oplus 10\oplus \overline{10}\oplus 8\oplus 8\oplus 1$ と分解される。このうち $27$ 重項は、ハイパーチャージ $Y$ とアイソスピン $I$ の組 $(Y,I)$ が
$$(2,1),\left(1,\frac{3}{2}\right),\left(1,\frac{1}{2}\right),(0,2),(0,1),(0,0),\left(-1,\frac{3}{2}\right),\left(-1,\frac{1}{2}\right),(-2,1)$$
のアイソスピン多重項をそれぞれ 1 つずつ含む（各多重項は $I_3=-I,-I+1,\dots ,I$ の $2I+1$ 個の状態からなる）。ここでハイパーチャージは $Y=B+S$（$S$ はストレンジネス）であり、電荷 $Q$（電気素量 $e$ を単位とする）はゲルマン・西島の公式 $Q=I_3+\frac{Y}{2}$ で与えられる。

$27$ 重項に属する 27 個の状態すべてについての電荷の 2 乗の和 $\sum _{\text{27 states}}{Q}^2$ を求めよ。答えは整数で答えよ。

自然単位系 $\hslash =c=1$ を用いる。電弱理論で、ミューオンの崩壊 ${\mu }^{-}\to e^{-}{\bar{\nu }}_e{\nu }_{\mu }$ は $W$ ボソンの交換で起こり、運動量移行が $M_W$ に比べて十分小さいとき、フェルミ結合定数
$$\frac{G_F}{\sqrt{2}}=\frac{g^2}{8M_W^2}$$
の 4 点相互作用で近似できる。このとき、崩壊幅は木のレベルで、終状態の粒子の質量を無視すると
$$\Gamma =\frac{G_F^2{m}_{\mu }^5}{192{\pi }^3}$$
で与えられる。

いま、$SU(2{)}_L$ のゲージ結合定数 $g$ は変えずに、$W$ ボソンの質量だけが $M_W$ の $2$ 倍であり、さらにミューオンと同じ相互作用をする（質量のほかは同じ性質の）荷電レプトンの質量が $m_{\mu }$ の $3$ 倍であるような仮想的な世界を考える。この仮想的なレプトンの崩壊 $\to e^{-}{\bar{\nu }}_e\nu$ の崩壊幅 ${\Gamma }^{\prime }$ と、現実のミューオンの崩壊幅 $\Gamma$ の比 $\frac{{\Gamma }^{\prime }}{\Gamma }$ を求めよ。ただし、どちらの崩壊でも上の 4 点相互作用の近似と崩壊幅の式が成り立ち、終状態の粒子の質量は無視できるものとする。