ゲージ理論と素粒子の標準模型の問題

4 次元時空のゲージ群 $SU(3)$ のゲージ理論に、基本表現の質量のないディラック・フェルミオンが $N_f$ 個（$N_f$ は非負の整数）あるとする。ゲージ結合定数 $g$ のベータ関数を、2 ループまでで
$$\mu \frac{dg}{d\mu }=\beta (g)=-\frac{b_0}{16{\pi }^2}{g}^3-\frac{b_1}{(16{\pi }^2{)}^2}{g}^5$$
と書く。この理論では
$$b_0=11-\frac{2}{3}{N}_f,b_1=102-\frac{38}{3}{N}_f$$
である。$N_f=16$ のとき、$\beta (g)=0$ を満たす $g\ne 0$ の固定点（バンクス・ザックス固定点）での $g_{\ast }^2$ の値を求めよ。

ゲージ群 $\mathrm{SU}(2)$ のゲージ理論に、基本表現（2 次元表現）に属する質量ゼロのディラック・フェルミオンが $N_f$ 個（$N_f$ は 0 以上の整数）結合しており、スカラー場はないとする。結合定数 $g$ の 1 ループのベータ関数を
$$\mu \frac{dg}{d\mu }=-\frac{b_0}{16{\pi }^2}{g}^3,b_0=\frac{11}{3}{C}_2(G)-\frac{4}{3}\sum _{\text{Dirac}}T(R)$$
と書く。ここで随伴表現の 2 次カシミールは $C_2(G)=2$、基本表現のディンキン指数は $T(2)=\frac{1}{2}$ である。

この理論が漸近的自由（$b_0>0$）となるような $N_f$ の最大値を求めよ。

自然単位系 $\hslash =c=1$ を用いる。3 世代のニュートリノが真空中を伝わるとし、フレーバー固有状態 ${\nu }_{\alpha }$（$\alpha =e,\mu ,\tau$）と質量固有状態 ${\nu }_i$（質量 $m_i$, $i=1,2,3$）が混合行列 $U$ により $|{\nu }_{\alpha }⟩={\sum }_i{U}_{\alpha i}^{\ast }|{\nu }_i⟩$ で結ばれているとする。エネルギー $E$ のニュートリノは $E\gg m_i$ を満たし、距離 $L$ 伝わったときの振動確率は
$$P({\nu }_{\alpha }\to {\nu }_{\beta })={\left|\sum _{i=1}^3{U}_{\alpha i}^{\ast }{U}_{\beta i}{e}^{-i{m}_i^{2}L/2E}\right|}^2$$
で与えられるものとする。

混合行列の電子フレーバーの行の成分の絶対値の 2 乗が
$$|U_{e1}{|}^2=\frac{1}{2},|U_{e2}{|}^2=\frac{1}{4},|U_{e3}{|}^2=\frac{1}{4}$$
であり、$\Delta m_{ij}^2=m_i^2-m_j^2$ として、ある距離 $L$ とエネルギー $E$ で
$$\frac{\Delta m_{21}^{2}L}{4E}=\frac{\pi }{6},\frac{\Delta m_{31}^{2}L}{4E}=\frac{\pi }{2}$$
が成り立つとする。このときの電子ニュートリノの生存確率 $P({\nu }_e\to {\nu }_e)$ を既約分数で求めよ。

ゲージ群 $SU(3{)}_C\times SU(2{)}_L\times U(1{)}_Y$ のゲージ理論で、フェルミオンをすべて左巻きワイル・フェルミオンで書く。電荷は $Q=T_3+Y$ とする。1 世代のフェルミオンが次の 5 つの多重項からなるとする（表記は $(SU(3{)}_C\text{ の表現},SU(2{)}_L\text{ の表現},Y)$）。
$$Q:\left(3,2,\frac{1}{6}\right),u^c:\left(\bar{3},1,-\frac{2}{3}\right),d^c:\left(\bar{3},1,y\right),L:\left(1,2,-\frac{1}{2}\right),e^c:\left(1,1,1\right)$$
$SU(3{)}_C^{2}U(1{)}_Y$ 型のゲージアノマリーが消えるように、$d^c$ の超電荷 $y$ を求めよ。ただし、$SU(3)$ の基本表現 $3$ と反基本表現 $\bar{3}$ のディンキン指数はともに $T(3)=T(\bar{3})=\frac{1}{2}$ とする。

計量の符号を $(+,-,-,-)$、自然単位系 $\hslash =c=1$ とする。$U(1)$ ゲージ場 $A_{\mu }$ と、電荷 $2e$（$e>0$ は結合定数）をもつ複素スカラー場 $\varphi$ からなる理論
$$\mathcal{L}=-\frac{1}{4}{F}_{\mu \nu }{F}^{\mu \nu }+(D_{\mu }\varphi {)}^{\ast }(D^{\mu }\varphi )-V(\varphi ),D_{\mu }={\partial }_{\mu }-2ie{A}_{\mu }$$
を考える。ポテンシャル $V(\varphi )$ によって $U(1)$ 対称性が自発的に破れ、スカラー場が一定の真空期待値 $⟨\varphi ⟩=\frac{v}{\sqrt{2}}$（$v>0$ は実数の定数）をとるとする。

このとき運動項 $(D_{\mu }\varphi {)}^{\ast }(D^{\mu }\varphi )$ に $\varphi =⟨\varphi ⟩$ を代入して得られる $A_{\mu }$ の 2 次の項を、ゲージボソンの質量項 $\frac{1}{2}{M}_A^2{A}_{\mu }{A}^{\mu }$ と見なす。ゲージボソンの質量 $M_A$（$M_A>0$）を $e$, $v$ を用いて表せ。