ゲージ理論と素粒子の標準模型の問題

ゲージ群 $SU(2{)}_L\times U(1{)}_Y$ の電弱理論を考える。ゲージ結合定数を $g$, $g^{\prime }$ とし、共変微分を $D_{\mu }={\partial }_{\mu }-ig{T}^a{W}_{\mu }^a-i{g}^{\prime }Y{B}_{\mu }$、電荷を $Q=T_3+Y$、ワインバーグ角を $\cos {\theta }_W=\frac{g}{\sqrt{g^2+g^{\prime 2}}}$ と定める。計量は $(+,-,-,-)$ とする。

スカラー場として次の 2 つの多重項だけがあるとする。

• 複素二重項 $\Phi$（$T=\frac{1}{2}$, $Y=\frac{1}{2}$）。運動項は $(D_{\mu }\Phi {)}^{†}(D^{\mu }\Phi )$ で、中性成分の真空期待値は $⟨{\varphi }^0⟩=\frac{v}{\sqrt{2}}$
• 実三重項 $\xi$（$T=1$, $Y=0$）。運動項は $\frac{1}{2}(D_{\mu }\xi {)}^a(D^{\mu }\xi {)}^a$ で、中性成分（$T_3=0$ の成分）の真空期待値は $⟨{\xi }^0⟩=u$

ここで $v>0$, $u>0$ は実数の定数である。木のレベルで、パラメータ
$$\rho =\frac{M_W^2}{M_Z^2{\cos }^2{\theta }_W}$$
を $v$ と $u$ で表せ。

ゲージ群 $\mathrm{SU}(2)$ のゲージ理論に、基本表現（2 次元表現）に属する質量ゼロのディラック・フェルミオンが $N_f$ 個（$N_f$ は 0 以上の整数）結合しており、スカラー場はないとする。結合定数 $g$ の 1 ループのベータ関数を
$$\mu \frac{dg}{d\mu }=-\frac{b_0}{16{\pi }^2}{g}^3,b_0=\frac{11}{3}{C}_2(G)-\frac{4}{3}\sum _{\text{Dirac}}T(R)$$
と書く。ここで随伴表現の 2 次カシミールは $C_2(G)=2$、基本表現のディンキン指数は $T(2)=\frac{1}{2}$ である。

この理論が漸近的自由（$b_0>0$）となるような $N_f$ の最大値を求めよ。

4 次元時空のゲージ群 $SU(3)$ のゲージ理論に、基本表現の質量のないディラック・フェルミオンが $N_f$ 個（$N_f$ は非負の整数）あるとする。ゲージ結合定数 $g$ のベータ関数を、2 ループまでで
$$\mu \frac{dg}{d\mu }=\beta (g)=-\frac{b_0}{16{\pi }^2}{g}^3-\frac{b_1}{(16{\pi }^2{)}^2}{g}^5$$
と書く。この理論では
$$b_0=11-\frac{2}{3}{N}_f,b_1=102-\frac{38}{3}{N}_f$$
である。$N_f=16$ のとき、$\beta (g)=0$ を満たす $g\ne 0$ の固定点（バンクス・ザックス固定点）での $g_{\ast }^2$ の値を求めよ。

フレーバー $\mathrm{SU}(3)$（$u,d,s$ クォーク）のクォーク模型で、スピン $\frac{3}{2}$ のバリオン十重項を考える。この十重項は、アイソスピン $I$ とハイパーチャージ $Y=B+S$（$B$ はバリオン数、$S$ はストレンジネス）について、次の 4 つのアイソスピン多重項に分かれる。
$$(I,Y)=\left(\frac{3}{2},1\right),(1,0),\left(\frac{1}{2},-1\right),(0,-2)$$
各アイソスピン多重項は $I_3=-I,-I+1,\dots ,I$ の $2I+1$ 個の状態からなる。ゲルマン・西島の公式 $Q=I_3+\frac{Y}{2}$ を用いて、十重項の 10 個の状態すべてにわたる電荷の 2 乗の和 $\sum Q^2$ を求めよ（電荷は電気素量を単位とする）。

自然単位系 $\hslash =c=1$ を用いる。電弱理論で、ミューオンの崩壊 ${\mu }^{-}\to e^{-}{\bar{\nu }}_e{\nu }_{\mu }$ は $W$ ボソンの交換で起こり、運動量移行が $M_W$ に比べて十分小さいとき、フェルミ結合定数
$$\frac{G_F}{\sqrt{2}}=\frac{g^2}{8M_W^2}$$
の 4 点相互作用で近似できる。このとき、崩壊幅は木のレベルで、終状態の粒子の質量を無視すると
$$\Gamma =\frac{G_F^2{m}_{\mu }^5}{192{\pi }^3}$$
で与えられる。

いま、$SU(2{)}_L$ のゲージ結合定数 $g$ は変えずに、$W$ ボソンの質量だけが $M_W$ の $2$ 倍であり、さらにミューオンと同じ相互作用をする（質量のほかは同じ性質の）荷電レプトンの質量が $m_{\mu }$ の $3$ 倍であるような仮想的な世界を考える。この仮想的なレプトンの崩壊 $\to e^{-}{\bar{\nu }}_e\nu$ の崩壊幅 ${\Gamma }^{\prime }$ と、現実のミューオンの崩壊幅 $\Gamma$ の比 $\frac{{\Gamma }^{\prime }}{\Gamma }$ を求めよ。ただし、どちらの崩壊でも上の 4 点相互作用の近似と崩壊幅の式が成り立ち、終状態の粒子の質量は無視できるものとする。