ゲージ理論と素粒子の標準模型の問題

$u,d,s$ クォークのフレーバー $\mathrm{SU}(3)$ 対称性を考える。スピン $1/2$ のバリオン八重項 2 個からなる 2 バリオン系（バリオン数 $B=2$）のフレーバー状態は $8\otimes 8=27\oplus 10\oplus \overline{10}\oplus 8\oplus 8\oplus 1$ と分解される。このうち $27$ 重項は、ハイパーチャージ $Y$ とアイソスピン $I$ の組 $(Y,I)$ が
$$(2,1),\left(1,\frac{3}{2}\right),\left(1,\frac{1}{2}\right),(0,2),(0,1),(0,0),\left(-1,\frac{3}{2}\right),\left(-1,\frac{1}{2}\right),(-2,1)$$
のアイソスピン多重項をそれぞれ 1 つずつ含む（各多重項は $I_3=-I,-I+1,\dots ,I$ の $2I+1$ 個の状態からなる）。ここでハイパーチャージは $Y=B+S$（$S$ はストレンジネス）であり、電荷 $Q$（電気素量 $e$ を単位とする）はゲルマン・西島の公式 $Q=I_3+\frac{Y}{2}$ で与えられる。

$27$ 重項に属する 27 個の状態すべてについての電荷の 2 乗の和 $\sum _{\text{27 states}}{Q}^2$ を求めよ。答えは整数で答えよ。

$u,d,s,c$ の 4 種類のクォークからなるフレーバー $SU(4)$ のクォーク模型を考える。各クォークの量子数は次のとおりとする。

• $u,d$：アイソスピン $I=\frac{1}{2}$、その第 3 成分は $I_3(u)=+\frac{1}{2},I_3(d)=-\frac{1}{2}$。ストレンジネス・チャームはともに $0$
• $s$：$I=0$、ストレンジネス $S=-1$、チャーム $C=0$
• $c$：$I=0$、$S=0$、チャーム $C=+1$
• すべてのクォークのバリオン数は $B=\frac{1}{3}$

ハイパーチャージを $Y=B+S+C$ と定義し、電荷（電気素量 $e$ を単位とする）は一般化されたゲルマン・西島の公式
$$Q=I_3+\frac{Y}{2}$$
で与えられるとする。

軌道角運動量 $0$ でスピン $J=\frac{3}{2}$ の基底状態バリオン（クォーク 3 個からなり、フレーバーについて完全対称な状態）は、フレーバー $SU(4)$ の 20 次元表現をなす。この 20 個のフレーバー状態すべてについての和
$$\sum _{\text{20 状態}}QY$$
を求めよ。答えは整数で答えよ。

ゲージ群 $SU(3{)}_C\times SU(2{)}_L\times U(1{)}_Y$ のゲージ理論で、フェルミオンをすべて左巻きワイル・フェルミオンで書く。電荷は $Q=T_3+Y$ とする。1 世代のフェルミオンが次の 5 つの多重項からなるとする（表記は $(SU(3{)}_C\text{ の表現},SU(2{)}_L\text{ の表現},Y)$）。
$$Q:\left(3,2,\frac{1}{6}\right),u^c:\left(\bar{3},1,-\frac{2}{3}\right),d^c:\left(\bar{3},1,y\right),L:\left(1,2,-\frac{1}{2}\right),e^c:\left(1,1,1\right)$$
$SU(3{)}_C^{2}U(1{)}_Y$ 型のゲージアノマリーが消えるように、$d^c$ の超電荷 $y$ を求めよ。ただし、$SU(3)$ の基本表現 $3$ と反基本表現 $\bar{3}$ のディンキン指数はともに $T(3)=T(\bar{3})=\frac{1}{2}$ とする。

$\mathrm{SU}(3)$ の既約表現をディンキン標識 $(p,q)$（$p,q$ は 0 以上の整数）で表す。この表現の次元と 2 次カシミール演算子の値はそれぞれ
$$\dim (p,q)=\frac{1}{2}(p+1)(q+1)(p+q+2),C_2(p,q)=\frac{1}{3}\left(p^2+q^2+pq+3p+3q\right)$$
で与えられる。ここで生成子は、基本表現 $(1,0)$ で $\mathrm{tr}(T^a{T}^b)=\frac{1}{2}{\delta }^{ab}$ となるように規格化されている（このとき $C_2(1,0)=\frac{4}{3}$）。

表現 $R$ のディンキン指数 $T(R)$ を ${\mathrm{tr}}_R(T^a{T}^b)=T(R){\delta }^{ab}$ で定義する。対称テンソル表現 $R=(2,0)$ のディンキン指数 $T(R)$ を求めよ。

計量の符号を $(+,-,-,-)$、自然単位系 $\hslash =c=1$ とする。$U(1)$ ゲージ場 $A_{\mu }$ と、電荷 $2e$（$e>0$ は結合定数）をもつ複素スカラー場 $\varphi$ からなる理論
$$\mathcal{L}=-\frac{1}{4}{F}_{\mu \nu }{F}^{\mu \nu }+(D_{\mu }\varphi {)}^{\ast }(D^{\mu }\varphi )-V(\varphi ),D_{\mu }={\partial }_{\mu }-2ie{A}_{\mu }$$
を考える。ポテンシャル $V(\varphi )$ によって $U(1)$ 対称性が自発的に破れ、スカラー場が一定の真空期待値 $⟨\varphi ⟩=\frac{v}{\sqrt{2}}$（$v>0$ は実数の定数）をとるとする。

このとき運動項 $(D_{\mu }\varphi {)}^{\ast }(D^{\mu }\varphi )$ に $\varphi =⟨\varphi ⟩$ を代入して得られる $A_{\mu }$ の 2 次の項を、ゲージボソンの質量項 $\frac{1}{2}{M}_A^2{A}_{\mu }{A}^{\mu }$ と見なす。ゲージボソンの質量 $M_A$（$M_A>0$）を $e$, $v$ を用いて表せ。