ゲージ理論と素粒子の標準模型の問題

フレーバー $\mathrm{SU}(3)$（$u,d,s$ クォーク）のクォーク模型で、スピン $\frac{3}{2}$ のバリオン十重項を考える。この十重項は、アイソスピン $I$ とハイパーチャージ $Y=B+S$（$B$ はバリオン数、$S$ はストレンジネス）について、次の 4 つのアイソスピン多重項に分かれる。
$$(I,Y)=\left(\frac{3}{2},1\right),(1,0),\left(\frac{1}{2},-1\right),(0,-2)$$
各アイソスピン多重項は $I_3=-I,-I+1,\dots ,I$ の $2I+1$ 個の状態からなる。ゲルマン・西島の公式 $Q=I_3+\frac{Y}{2}$ を用いて、十重項の 10 個の状態すべてにわたる電荷の 2 乗の和 $\sum Q^2$ を求めよ（電荷は電気素量を単位とする）。

$u,d,s,c$ の 4 種類のクォークからなるフレーバー $SU(4)$ のクォーク模型を考える。各クォークの量子数は次のとおりとする。

• $u,d$：アイソスピン $I=\frac{1}{2}$、その第 3 成分は $I_3(u)=+\frac{1}{2},I_3(d)=-\frac{1}{2}$。ストレンジネス・チャームはともに $0$
• $s$：$I=0$、ストレンジネス $S=-1$、チャーム $C=0$
• $c$：$I=0$、$S=0$、チャーム $C=+1$
• すべてのクォークのバリオン数は $B=\frac{1}{3}$

ハイパーチャージを $Y=B+S+C$ と定義し、電荷（電気素量 $e$ を単位とする）は一般化されたゲルマン・西島の公式
$$Q=I_3+\frac{Y}{2}$$
で与えられるとする。

軌道角運動量 $0$ でスピン $J=\frac{3}{2}$ の基底状態バリオン（クォーク 3 個からなり、フレーバーについて完全対称な状態）は、フレーバー $SU(4)$ の 20 次元表現をなす。この 20 個のフレーバー状態すべてについての和
$$\sum _{\text{20 状態}}QY$$
を求めよ。答えは整数で答えよ。

自然単位系 $\hslash =c=1$ を用いる。3 世代のニュートリノを考え、フレーバー固有状態と質量固有状態の関係を
$$|{\nu }_{\alpha }⟩=\sum _{i=1}^3{U}_{\alpha i}^{\ast }|{\nu }_i⟩(\alpha =e,\mu ,\tau )$$
とする。混合行列 $U$ の第 1 行は標準的なパラメータ表示で
$$U_{e1}=c_{12}{c}_{13},U_{e2}=s_{12}{c}_{13},U_{e3}=s_{13}{e}^{-i\delta }$$
（$s_{ij}=\sin {\theta }_{ij},c_{ij}=\cos {\theta }_{ij}$）と書ける。いま仮想的なパラメータとして
$${\sin }^2{\theta }_{13}=\frac{1}{6},{\sin }^2{\theta }_{12}=\frac{2}{5}$$
をとる。質量の 2 乗差を $\Delta m_{ij}^2=m_i^2-m_j^2$ と書き、ある正の定数 $\Delta$ を用いて $\Delta m_{21}^2=\Delta ,\Delta m_{31}^2=3\Delta$ であるとする。

エネルギー $E$ の電子ニュートリノ ${\nu }_e$ が真空中を距離 $L=\frac{2\pi E}{3\Delta }$ だけ伝播したのち、再び ${\nu }_e$ として検出される確率 $P({\nu }_e\to {\nu }_e)$ を求めよ。ただし、ニュートリノは超相対論的 ($m_i\ll E$) で、平面波近似（各質量固有状態は共通の運動量 $p\simeq E$ をもち、$t\simeq L$）を用いてよい。物質効果は無視する。答えは既約分数で答えよ。

ゲージ群 $SU(N)$ のゲージ理論を考える。物質場は次の 2 種類のディラック・フェルミオンだけとし、スカラー場は含まないものとする。

• 3 階反対称テンソル表現 ${\Lambda }^3$（次元 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{3}\right)$）に属するディラック・フェルミオン 1 個
• 基本表現に属するディラック・フェルミオン $n_f$ 個

表現 $R$ の生成子 $T_R^a$ について $\mathrm{tr}(T_R^a{T}_R^b)=T(R){\delta }^{ab}$ で指数 $T(R)$ を定め、基本表現では $T(\text{fund})=\frac{1}{2}$ と規格化する。また随伴表現の 2 次カシミール演算子の値を $C_2(G)$ とする。結合定数 $g$ のベータ関数の 1 ループの結果は
$$\beta (g)=\mu \frac{dg}{d\mu }=-\frac{b_0}{16{\pi }^2}{g}^3,b_0=\frac{11}{3}{C}_2(G)-\frac{4}{3}\sum _{\text{Dirac}}T(R)$$
で与えられる。理論が（1 ループで）漸近的自由であるとは $b_0>0$ が成り立つことと定める。

$N$ は $N\ge 6$ を満たす整数、$n_f$ は $0$ 以上の整数とする。理論が漸近的自由となるような整数の組 $(N,n_f)$ の個数を求めよ。

ゲージ群 $SU(3)$ のヤン・ミルズ理論に、質量のない $n_f$ 個（$n_f$ は正の整数）のディラック・フェルミオンを結合させる。各フェルミオンは $SU(3)$ の既約表現 $R$ に属する。$R$ はディンキン標識（最高ウェイトの成分）が $(p,q)=(2,0)$ の既約表現（2 階対称テンソル表現）とする。

リー代数の生成子は、基本表現 $3$ で $\mathrm{tr}(T^a{T}^b)=\frac{1}{2}{\delta }^{ab}$ となるように規格化する。表現 $R$ の 2 次カシミール演算子を ${\sum }_a{T}_R^a{T}_R^a=C_2(R)1$、ディンキン指数を $\mathrm{tr}(T_R^a{T}_R^b)=T(R){\delta }^{ab}$ で定め、$C_A=C_2(\text{随伴表現})$ とおく。

結合定数 $g$ のベータ関数を
$$\beta (g)=\mu \frac{dg}{d\mu }=-\frac{b_0}{16{\pi }^2}{g}^3-\frac{b_1}{(16{\pi }^2{)}^2}{g}^5+O(g^7)$$
と書くと、係数は
$$b_0=\frac{11}{3}{C}_A-\frac{4}{3}T(R)n_f,b_1=\frac{34}{3}{C}_A^2-\frac{20}{3}{C}_{A}T(R)n_f-4C_2(R)T(R)n_f$$
で与えられる。これらは質量に依存しない繰り込みスキームでの値であり、スキームの選び方によらない。

漸近的自由性をもち（$b_0>0$）、かつ 2 ループの近似で非自明な赤外固定点（バンクス・ザックス固定点）が現れる（$b_1<0$）ような $n_f$ をすべて求めよ。