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ゲージ理論と素粒子の標準模型の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院物理ゲージ理論と素粒子の標準模型

ゲージ群 $S U (3)_{C} \times S U (2)_{L} \times U (1)_{Y}$ のゲージ理論で、フェルミオンをすべて左巻きワイル・フェルミオンで書く。電荷は $Q = T_{3} + Y$ とする。1 世代のフェルミオンが次の 5 つの多重項からなるとする（表記は $(S U (3)_{C} の表現, S U (2)_{L} の表現, Y)$ ）。
$Q : (3, 2, \frac{1}{6}), u^{c} : (3 ˉ, 1, - \frac{2}{3}), d^{c} : (3 ˉ, 1, y), L : (1, 2, - \frac{1}{2}), e^{c} : (1, 1, 1)$
$S U (3)_{C}^{2} U (1)_{Y}$ 型のゲージアノマリーが消えるように、 $d^{c}$ の超電荷 $y$ を求めよ。ただし、 $S U (3)$ の基本表現 $3$ と反基本表現 $3 ˉ$ のディンキン指数はともに $T (3) = T (3 ˉ) = \frac{1}{2}$ とする。

この問題で使うもの

ゲージアノマリーの相殺条件（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（59 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

技能「ゲージアノマリーの相殺条件」を使う。 $S U (3)_{C}^{2} U (1)_{Y}$ アノマリーは、色をもつ左巻きフェルミオンについての $\sum T (R) Y$ で決まる。

ヒント 2

和には色をもつ多重項 $Q$ , $u^{c}$ , $d^{c}$ だけが入り、 $S U (2)$ 二重項は 2 個分として数える。 $T (3) = T (3 ˉ) = \frac{1}{2}$ を使う。

ヒント 3

$Q$ の寄与は $2 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{6}$ 、 $u^{c}$ の寄与は $\frac{1}{2} \times (- \frac{2}{3})$ 。これと $d^{c}$ の寄与 $\frac{y}{2}$ の和を $0$ とおく。

答えと解説

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\frac{1}{3}

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解説を読む

使う条件 すべてを左巻きワイル・フェルミオンで書いたとき、 $S U (3)_{C}^{2} U (1)_{Y}$ アノマリーは三角形図の係数
$A_{33 Y} \propto 左巻き \sum T (R_{3}) Y$
に比例する。和は色の表現が自明でない（ $3$ または $3 ˉ$ の）多重項についてとり、 $S U (2)_{L}$ の多重度（二重項なら 2 個）をかける。これが $0$ になることが相殺条件である。

各多重項の寄与 色をもつのは $Q$ , $u^{c}$ , $d^{c}$ の 3 つである（ $L$ , $e^{c}$ は色の一重項なので $T = 0$ で寄与しない）。

$Q$ : $S U (2)$ 二重項なので色三重項が 2 個ある。寄与は $2 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$
$u^{c}$ : $S U (2)$ 一重項。寄与は $1 \times \frac{1}{2} \times (- \frac{2}{3}) = - \frac{1}{3}$
$d^{c}$ : $S U (2)$ 一重項。寄与は $1 \times \frac{1}{2} \times y = \frac{y}{2}$

相殺条件を解く
$\frac{1}{6} - \frac{1}{3} + \frac{y}{2} = 0 ⟹ \frac{y}{2} = \frac{1}{6} ⟹ y = \frac{1}{3} .$

これは標準模型の右巻きダウン型クォークの共役 $d^{c}$ の超電荷 $+ \frac{1}{3}$ （ $d_{R}$ の $Y = - \frac{1}{3}$ の符号を変えたもの）と一致する。

別解

$S U (3)_{C}^{2} U (1)_{Y}$ アノマリーの条件は、 $S U (3)$ の非自明な表現に属する左巻きワイル・フェルミオンについて $\sum T (R_{3}) \times (dim S U (2)) \times Y = 0$ 。
$Q$ : $T = \frac{1}{2}$ 、 $S U (2)$ 二重項で 2 成分、 $Y = \frac{1}{6}$ より $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$ 。
$u^{c}$ : $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (- \frac{2}{3}) = - \frac{1}{3}$ 。
$d^{c}$ : $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot y = \frac{y}{2}$ 。
$L, e^{c}$ は $S U (3)$ の一重項なので寄与しない。
$\frac{1}{6} - \frac{1}{3} + \frac{y}{2} = 0$ より $\frac{y}{2} = \frac{1}{6}$ 、 $y = \frac{1}{3}$ 。
検算: $d^{c}$ の電荷は $Q = T_{3} + Y = \frac{1}{3}$ で、 $d$ クォークの電荷 $- \frac{1}{3}$ の反粒子と整合。

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