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ゲージ理論と素粒子の標準模型の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院物理ゲージ理論と素粒子の標準模型

ゲージ群 $S U (2)_{L} \times U (1)_{Y}$ の電弱理論を考える。ゲージ結合定数を $g$ , $g^{'}$ とし、共変微分を $D_{μ} = \partial_{μ} - i g T^{a} W_{μ}^{a} - i g^{'} Y B_{μ}$ 、電荷を $Q = T_{3} + Y$ 、ワインバーグ角を $cos θ_{W} = \frac{g}{g ^{2} + g ^{'2}}$ と定める。計量は $(+, -, -, -)$ とする。

スカラー場として次の 2 つの多重項だけがあるとする。

複素二重項 $Φ$ （ $T = \frac{1}{2}$ , $Y = \frac{1}{2}$ ）。運動項は $(D_{μ} Φ)^{†} (D^{μ} Φ)$ で、中性成分の真空期待値は $⟨ ϕ^{0} ⟩ = \frac{v}{2}$
実三重項 $ξ$ （ $T = 1$ , $Y = 0$ ）。運動項は $\frac{1}{2} (D_{μ} ξ)^{a} (D^{μ} ξ)^{a}$ で、中性成分（ $T_{3} = 0$ の成分）の真空期待値は $⟨ ξ^{0} ⟩ = u$

ここで $v > 0$ , $u > 0$ は実数の定数である。木のレベルで、パラメータ
$ρ = \frac{M _{W}^{2}}{M _{Z}^{2} cos ^{2} θ _{W}}$
を $v$ と $u$ で表せ。

この問題で使うもの

複数のスカラー多重項と ρ パラメータ（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（154 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

技能「複数のスカラー多重項と ρ パラメータ」を使う。各多重項の真空期待値が $M_{W}^{2}$ と $M_{Z}^{2}$ にどれだけ寄与するかを、 $T (T + 1) - Y^{2}$ と $2 Y^{2}$ を使って別々に求め、足し合わせる。

ヒント 2

$M_{W}^{2} = g^{2} \sum_{i} [T_{i} (T_{i} + 1) - Y_{i}^{2}] c_{i} ∣ ⟨ ϕ_{i}^{0} ⟩ ∣^{2}$ 、 $M_{Z}^{2} cos^{2} θ_{W} = g^{2} \sum_{i} 2 Y_{i}^{2} c_{i} ∣ ⟨ ϕ_{i}^{0} ⟩ ∣^{2}$ で、複素多重項は $c_{i} = 1$ 、実多重項は $c_{i} = \frac{1}{2}$ 。

ヒント 3

二重項は $M_{W}^{2}$ に $\frac{g ^{2} v ^{2}}{4}$ 、 $M_{Z}^{2} cos^{2} θ_{W}$ に $\frac{g ^{2} v ^{2}}{4}$ を与える。実三重項は $Y = 0$ なので $M_{Z}^{2}$ には寄与せず、 $M_{W}^{2}$ にだけ $g^{2} \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} u^{2}$ を与える。

答えと解説

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1 + \frac{4 u ^{2}}{v ^{2}}

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解説を読む

使う公式 中性成分が真空期待値 $⟨ ϕ_{i}^{0} ⟩$ をもつ多重項（アイソスピン $T_{i}$ , 超電荷 $Y_{i}$ ）があるとき、運動項に真空期待値を代入すると、木のレベルで
$M_{W}^{2} = g^{2} i \sum [T_{i} (T_{i} + 1) - Y_{i}^{2}] c_{i} ∣ ⟨ ϕ_{i}^{0} ⟩ ∣^{2}, M_{Z}^{2} = \frac{g ^{2}}{cos ^{2} θ _{W}} i \sum 2 Y_{i}^{2} c_{i} ∣ ⟨ ϕ_{i}^{0} ⟩ ∣^{2}$
となる。因子 $c_{i}$ は、運動項が $(D ϕ)^{†} (D ϕ)$ の複素多重項では $c_{i} = 1$ 、 $\frac{1}{2} (D ϕ)^{2}$ の実多重項では $c_{i} = \frac{1}{2}$ である（中性成分では $T_{3} = - Y$ なので $T (T + 1) - T_{3}^{2} = T (T + 1) - Y^{2}$ が $W^{\pm}$ の質量に効く）。

複素二重項の寄与 $T = \frac{1}{2}$ , $Y = \frac{1}{2}$ , $c = 1$ , $∣ ⟨ ϕ^{0} ⟩ ∣^{2} = \frac{v ^{2}}{2}$ より
$T (T + 1) - Y^{2} = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}, 2 Y^{2} = \frac{1}{2}$
なので
$M_{W}^{2} \supset g^{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{v ^{2}}{2} = \frac{g ^{2} v ^{2}}{4}, M_{Z}^{2} \supset \frac{g ^{2}}{cos ^{2} θ _{W}} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{v ^{2}}{2} = \frac{g ^{2} v ^{2}}{4 cos ^{2} θ _{W}} .$
これは標準模型の $M_{W} = \frac{g v}{2}$ 、 $M_{Z} = \frac{g v}{2 c o s θ _{W}}$ と一致する。

実三重項の寄与 $T = 1$ , $Y = 0$ , $c = \frac{1}{2}$ , $∣ ⟨ ξ^{0} ⟩ ∣^{2} = u^{2}$ より
$T (T + 1) - Y^{2} = 2, 2 Y^{2} = 0$
なので
$M_{W}^{2} \supset g^{2} \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot u^{2} = g^{2} u^{2}, M_{Z}^{2} \supset 0.$
（確認: 随伴表現では $(D_{μ} ξ)^{a} \supset g ε^{ab c} W_{μ}^{b} ξ^{c}$ で、 $ξ^{3} = u$ を入れると $\frac{1}{2} g^{2} u^{2} [(W^{1})^{2} + (W^{2})^{2}] = g^{2} u^{2} W^{+} W^{-}$ となり、 $W^{\pm}$ の質量 2 乗に $g^{2} u^{2}$ を加える。 $Y = 0$ , $T_{3} = 0$ なので $Z$ には効かない。）

和をとる
$M_{W}^{2} = \frac{g ^{2}}{4} (v^{2} + 4 u^{2}), M_{Z}^{2} = \frac{g ^{2} v ^{2}}{4 cos ^{2} θ _{W}} .$
よって
$ρ = \frac{M _{W}^{2}}{M _{Z}^{2} cos ^{2} θ _{W}} = \frac{\frac{g ^{2}}{4} ( v ^{2} + 4 u ^{2} )}{\frac{g ^{2} v ^{2}}{4}} = 1 + \frac{4 u ^{2}}{v ^{2}} .$

実三重項は $W^{\pm}$ だけを重くするので $ρ > 1$ となる。

別解

二重項からの寄与は標準的で $M_{W}^{2} = \frac{g ^{2} v ^{2}}{4}$ 、 $M_{Z}^{2} = \frac{( g ^{2} + g ^{'2} ) v ^{2}}{4}$ 。
実三重項は随伴表現なので $(D_{μ} ξ)^{a} = \partial_{μ} ξ^{a} + g ϵ^{ab c} W_{μ}^{b} ξ^{c}$ （ $Y = 0$ なので $B_{μ}$ は結合しない）。 $ξ = (0, 0, u)$ を代入すると $(D ξ)^{1} = g W^{2} u$ 、 $(D ξ)^{2} = - g W^{1} u$ 、 $(D ξ)^{3} = 0$ 。
運動項は $\frac{1}{2} g^{2} u^{2} [(W^{1})^{2} + (W^{2})^{2}]$ 。 $W^{\pm} = (W^{1} \mp i W^{2}) / 2$ より $(W^{1})^{2} + (W^{2})^{2} = 2 W^{+} W^{-}$ なので、項は $g^{2} u^{2} W_{μ}^{+} W^{- μ}$ 。 $W$ の質量項は $M_{W}^{2} W^{+} W^{-}$ の形なので、三重項の寄与は $g^{2} u^{2}$ 。
$W^{3}$ と $B$ は中性成分 $ξ^{3}$ に結合しないので $M_{Z}^{2}$ に寄与しない。
したがって $M_{W}^{2} = \frac{g ^{2}}{4} (v^{2} + 4 u^{2})$ 、 $M_{Z}^{2} = \frac{( g ^{2} + g ^{'2} ) v ^{2}}{4}$ 。 $cos^{2} θ_{W} = \frac{g ^{2}}{g ^{2} + g ^{'2}}$ より
$ρ = \frac{g ^{2} ( v ^{2} + 4 u ^{2} ) /4}{\frac{( g ^{2} + g ^{'2} ) v ^{2}}{4} \cdot \frac{g ^{2}}{g ^{2} + g ^{'2}}} = \frac{v ^{2} + 4 u ^{2}}{v ^{2}} = 1 + \frac{4 u ^{2}}{v ^{2}}$ 。
検算: $u = 0$ で $ρ = 1$ （二重項のみ）、また実三重項は $ρ > 1$ を与える既知の結果と一致。

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