CKM・PMNS 行列のパラメータの数

$N \times N$ ユニタリー行列の実パラメータ $N^{2}$ から場の位相の付け替えで除ける $2 N - 1$ 個を引き、混合角 $\frac{N ( N - 1 )}{2}$ と物理的な位相 $\frac{( N - 1 ) ( N - 2 )}{2}$ を数え、マヨラナ・ニュートリノでは追加の位相 $N - 1$ があることを含めて位相の個数を求められる

前提

古典群の次元（大学院数学リー群・リー環）

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算数中学高校大学大学院

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説明

クォークの世代間の混合を表す CKM 行列や、レプトン（ニュートリノ）の混合を表す PMNS 行列は $N \times N$ のユニタリー行列（ $N$ は世代数）ですが、その成分のうち物理的に意味のある（観測にかかる）パラメータは一部だけです。この技能では、ユニタリー行列の実パラメータの数から、場の位相の付け替えで消せる分を引いて、物理的な混合角と複素位相（CP 対称性を破る位相）の数を求めます。 $N = 3$ でちょうど 1 個の CP 位相が残ることや、ニュートリノがマヨラナ粒子なら位相が $N - 1$ 個増えることが、この数え方からわかります。

なぜそうしてよいのか

$N \times N$ ユニタリー行列全体 $U (N)$ の実次元は $N^{2}$ です。このうち、実の直交行列で表せる部分（ $O (N)$ の次元 $\frac{N ( N - 1 )}{2}$ ）が回転角、すなわち混合角にあたり、残り $N^{2} - \frac{N ( N - 1 )}{2} = \frac{N ( N + 1 )}{2}$ 個が複素位相にあたります。

混合行列 $V$ は、荷電カレントで「上側」の粒子 $u_{i}$ （ $i = 1, \dots, N$ ）と「下側」の粒子 $d_{j}$ を $u ˉ_{i} V_{ij} d_{j}$ の形で結びつけます。各粒子の場は質量の固有状態として決めますが、それぞれの場に定数位相を掛ける $u_{i} \to e^{i α_{i}} u_{i}$ , $d_{j} \to e^{i β_{j}} d_{j}$ の自由が残っています。この付け替えで質量項 $m ψ ˉ ψ$ や運動項は変わらず、混合行列だけが $V_{ij} \to e^{- i α_{i}} V_{ij} e^{i β_{j}}$ と変わります。つまり $2 N$ 個の位相を使って $V$ の位相を消せます。ただし、すべての $α_{i}$ と $β_{j}$ を同じ値 $θ$ にずらすと $V$ は全く変わらないので、 $V$ に効く独立な位相は $2 N - 1$ 個です。したがって物理的な位相は
$\frac{N ( N + 1 )}{2} - (2 N - 1) = \frac{N ^{2} - 3 N + 2}{2} = \frac{( N - 1 ) ( N - 2 )}{2}$
個、混合角は $\frac{N ( N - 1 )}{2}$ 個のままで、合計 $N^{2} - (2 N - 1) = (N - 1)^{2}$ 個です。 $N = 2$ なら角 1・位相 0、 $N = 3$ なら角 3・位相 1 となります。

ニュートリノがマヨラナ粒子（粒子と反粒子が同じ）のときは、マヨラナ質量項が場の 2 乗 $ν ν$ の形をしているため $ν \to e^{i β} ν$ で $e^{2 i β}$ がかかって変わってしまい、ニュートリノ側の位相は付け替えられません。消せるのは荷電レプトン側の $N$ 個だけ（今度は全体共通の位相のずらしも $V$ を変えるので差し引きはなし）で、位相は $\frac{N ( N + 1 )}{2} - N = \frac{N ( N - 1 )}{2} = \frac{( N - 1 ) ( N - 2 )}{2} + (N - 1)$ 個になります。ふえた $N - 1$ 個をマヨラナ位相と呼びます。なお、この数え方は質量がすべて異なり（縮退がなく）、0 でないことを前提にしています。縮退や質量 0 の粒子があると、さらに多くの付け替えが許されてパラメータが減ります。

手順

世代数 $N$ を確認し、 $U (N)$ の実パラメータ $N^{2}$ を、混合角 $\frac{N ( N - 1 )}{2}$ と位相 $\frac{N ( N + 1 )}{2}$ に分ける
場の位相の付け替えで消せる位相の数を数える。ディラック粒子どうしの混合なら $2 N$ 個から全体共通の 1 個を除いた $2 N - 1$ 個
物理的な位相を求める: $\frac{N ( N + 1 )}{2} - (2 N - 1) = \frac{( N - 1 ) ( N - 2 )}{2}$ 。混合角は $\frac{N ( N - 1 )}{2}$ 個のまま
ニュートリノがマヨラナ粒子なら、消せる位相は荷電レプトン側の $N$ 個だけなので、位相は $\frac{N ( N - 1 )}{2}$ 個（ディラックの場合より $N - 1$ 個のマヨラナ位相が多い）
合計が $N^{2} - (消せる位相の数)$ に一致するか確かめる

例題

クォークが 4 世代あるとする。上側のクォーク 4 種と下側のクォーク 4 種はすべてディラック粒子で、質量はすべて異なり 0 でないとする。4 世代の CKM 行列（ $4 \times 4$ ユニタリー行列）に含まれる物理的な混合角の数と物理的な複素位相の数を、この順に求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $N = 4$ 。 $U (4)$ の実パラメータは $4^{2} = 16$ 個で、混合角が $\frac{4 \cdot 3}{2} = 6$ 個、位相が $\frac{4 \cdot 5}{2} = 10$ 個。

【手順 2】上側 4 個・下側 4 個のクォーク場の位相の付け替えは $8$ 個で、全体共通の位相のずらしは行列を変えないので、消せるのは $2 \cdot 4 - 1 = 7$ 個。

【手順 3】物理的な位相は $10 - 7 = 3$ 個（ $\frac{( 4 - 1 ) ( 4 - 2 )}{2} = 3$ と一致）。混合角は 6 個のまま。

【手順 4】ディラック粒子なのでマヨラナ位相はない。

【手順 5】合計 $6 + 3 = 9 = 16 - 7 = (4 - 1)^{2}$ で一致する。答えは混合角 6 個、位相 3 個。

答え: $(6, 3)$

よくある誤り

消せる位相を $2 N$ 個としてしまう誤り。 $N = 3$ で位相を $6 - 6 = 0$ 個とするが、全体共通の位相のずらしは $V_{ij} \to e^{- i α_{i}} V_{ij} e^{i β_{j}}$ で打ち消し合って $V$ を変えないので、消せるのは $2 N - 1 = 5$ 個で、位相は $6 - 5 = 1$ 個
パラメータの総数を $S U (N)$ の次元 $N^{2} - 1$ から始めてしまう誤り。混合行列の行列式は 1 とは限らないので、出発点は $U (N)$ の $N^{2}$ 。 $N^{2} - 1$ から $2 N - 1$ を引くと $N = 3$ で 4 個（角 3・位相 1 の合計）より 1 少ない 3 個になってしまう
マヨラナ・ニュートリノの場合にもディラックの場合と同じ $\frac{( N - 1 ) ( N - 2 )}{2}$ 個としてしまう誤り。マヨラナ質量項は $ν \to e^{i β} ν$ で不変でないのでニュートリノ側の位相は消せず、 $N = 3$ では位相は $\frac{3 \cdot 2}{2} = 3$ 個（ディラック型 1 個＋マヨラナ位相 2 個）
位相の数を総パラメータから混合角を引かずに数えてしまう誤り。 $N = 3$ で $N^{2} - (2 N - 1) = 4$ をすべて位相とするが、そのうち $\frac{N ( N - 1 )}{2} = 3$ 個は混合角で、位相は $4 - 3 = 1$ 個

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
標準模型を拡張して、クォークが $N = 4$ 世代（アップ型 4 種類・ダウン型 4 種類）ある模型を考える。クォークの質量はすべて異なり、0 でないとする。荷電カレントの弱い相互作用に現れるクォーク混合行列（CKM 行列） $V$ は $4 \times 4$ のユニタリー行列であり、各クォーク場の位相の付け替え $q \to e^{i α_{q}} q$ で $V$ の一部の位相を取り除くことができる。
この模型の CKM 行列に含まれる、取り除くことのできない物理的な複素位相（CP を破る位相）の個数を求めよ。

この技能を使う問題

難易度 2（大学院の講義の演習問題レベル）
$N$ 世代（ $N \geq 2$ の整数）のフェルミオンを持つ標準模型を考える。ゲージ群は $S U (3)_{C} \times S U (2)_{L} \times U (1)_{Y}$ 、ヒッグス二重項は 1 つとする。右巻きニュートリノは導入せず、左巻きニュートリノは次元 5 の有効演算子（ワインバーグ演算子）によってマヨラナ質量を得るものとする。クォーク・荷電レプトン・ニュートリノの質量はすべて $0$ でなく、同じ種類の粒子どうしで縮退していないとする。
クォークの混合行列（CKM 行列）とレプトンの混合行列（PMNS 行列）は、それぞれ $N \times N$ のユニタリー行列である。フェルミオン場の位相の付け替え（ラグランジアンの他の項を変えない再定義）では取り除けない複素位相を「物理的な位相」と呼ぶ。CKM 行列と PMNS 行列に含まれる物理的な位相の個数の合計を、 $N$ の式で求めよ。ただし、QCD の $θ$ 項は数えない。

この技能の次に学べること

真空中のニュートリノ振動の確率（大学院物理ゲージ理論と素粒子の標準模型）