ゲージ理論と素粒子の標準模型の問題

$N$ 世代（$N\ge 2$ の整数）のフェルミオンを持つ標準模型を考える。ゲージ群は $SU(3{)}_C\times SU(2{)}_L\times U(1{)}_Y$、ヒッグス二重項は 1 つとする。右巻きニュートリノは導入せず、左巻きニュートリノは次元 5 の有効演算子（ワインバーグ演算子）によってマヨラナ質量を得るものとする。クォーク・荷電レプトン・ニュートリノの質量はすべて $0$ でなく、同じ種類の粒子どうしで縮退していないとする。

クォークの混合行列（CKM 行列）とレプトンの混合行列（PMNS 行列）は、それぞれ $N\times N$ のユニタリー行列である。フェルミオン場の位相の付け替え（ラグランジアンの他の項を変えない再定義）では取り除けない複素位相を「物理的な位相」と呼ぶ。CKM 行列と PMNS 行列に含まれる物理的な位相の個数の合計を、$N$ の式で求めよ。ただし、QCD の $\theta$ 項は数えない。

自然単位系 $\hslash =c=1$ を用いる。電弱理論で、ミューオンの崩壊 ${\mu }^{-}\to e^{-}{\bar{\nu }}_e{\nu }_{\mu }$ は $W$ ボソンの交換で起こり、運動量移行が $M_W$ に比べて十分小さいとき、フェルミ結合定数
$$\frac{G_F}{\sqrt{2}}=\frac{g^2}{8M_W^2}$$
の 4 点相互作用で近似できる。このとき、崩壊幅は木のレベルで、終状態の粒子の質量を無視すると
$$\Gamma =\frac{G_F^2{m}_{\mu }^5}{192{\pi }^3}$$
で与えられる。

いま、$SU(2{)}_L$ のゲージ結合定数 $g$ は変えずに、$W$ ボソンの質量だけが $M_W$ の $2$ 倍であり、さらにミューオンと同じ相互作用をする（質量のほかは同じ性質の）荷電レプトンの質量が $m_{\mu }$ の $3$ 倍であるような仮想的な世界を考える。この仮想的なレプトンの崩壊 $\to e^{-}{\bar{\nu }}_e\nu$ の崩壊幅 ${\Gamma }^{\prime }$ と、現実のミューオンの崩壊幅 $\Gamma$ の比 $\frac{{\Gamma }^{\prime }}{\Gamma }$ を求めよ。ただし、どちらの崩壊でも上の 4 点相互作用の近似と崩壊幅の式が成り立ち、終状態の粒子の質量は無視できるものとする。

フレーバー $\mathrm{SU}(3)$（$u,d,s$ クォーク）のクォーク模型で、スピン $\frac{3}{2}$ のバリオン十重項を考える。この十重項は、アイソスピン $I$ とハイパーチャージ $Y=B+S$（$B$ はバリオン数、$S$ はストレンジネス）について、次の 4 つのアイソスピン多重項に分かれる。
$$(I,Y)=\left(\frac{3}{2},1\right),(1,0),\left(\frac{1}{2},-1\right),(0,-2)$$
各アイソスピン多重項は $I_3=-I,-I+1,\dots ,I$ の $2I+1$ 個の状態からなる。ゲルマン・西島の公式 $Q=I_3+\frac{Y}{2}$ を用いて、十重項の 10 個の状態すべてにわたる電荷の 2 乗の和 $\sum Q^2$ を求めよ（電荷は電気素量を単位とする）。

自然単位系 $\hslash =c=1$ を用いる。3 世代のニュートリノが真空中を伝わるとし、フレーバー固有状態 ${\nu }_{\alpha }$（$\alpha =e,\mu ,\tau$）と質量固有状態 ${\nu }_i$（質量 $m_i$, $i=1,2,3$）が混合行列 $U$ により $|{\nu }_{\alpha }⟩={\sum }_i{U}_{\alpha i}^{\ast }|{\nu }_i⟩$ で結ばれているとする。エネルギー $E$ のニュートリノは $E\gg m_i$ を満たし、距離 $L$ 伝わったときの振動確率は
$$P({\nu }_{\alpha }\to {\nu }_{\beta })={\left|\sum _{i=1}^3{U}_{\alpha i}^{\ast }{U}_{\beta i}{e}^{-i{m}_i^{2}L/2E}\right|}^2$$
で与えられるものとする。

混合行列の電子フレーバーの行の成分の絶対値の 2 乗が
$$|U_{e1}{|}^2=\frac{1}{2},|U_{e2}{|}^2=\frac{1}{4},|U_{e3}{|}^2=\frac{1}{4}$$
であり、$\Delta m_{ij}^2=m_i^2-m_j^2$ として、ある距離 $L$ とエネルギー $E$ で
$$\frac{\Delta m_{21}^{2}L}{4E}=\frac{\pi }{6},\frac{\Delta m_{31}^{2}L}{4E}=\frac{\pi }{2}$$
が成り立つとする。このときの電子ニュートリノの生存確率 $P({\nu }_e\to {\nu }_e)$ を既約分数で求めよ。

4 次元時空のゲージ群 $SU(3)$ のゲージ理論に、基本表現の質量のないディラック・フェルミオンが $N_f$ 個（$N_f$ は非負の整数）あるとする。ゲージ結合定数 $g$ のベータ関数を、2 ループまでで
$$\mu \frac{dg}{d\mu }=\beta (g)=-\frac{b_0}{16{\pi }^2}{g}^3-\frac{b_1}{(16{\pi }^2{)}^2}{g}^5$$
と書く。この理論では
$$b_0=11-\frac{2}{3}{N}_f,b_1=102-\frac{38}{3}{N}_f$$
である。$N_f=16$ のとき、$\beta (g)=0$ を満たす $g\ne 0$ の固定点（バンクス・ザックス固定点）での $g_{\ast }^2$ の値を求めよ。