スタビライザー符号

パウリ演算子の可換性を判定し、スタビライザー生成元から $[[n, k, d]]$ （ $k = n -$ 独立な生成元の数、 $d$ は論理演算子の最小重み）を求め、シンドロームを計算できる

前提

スピン 1/2 とパウリ行列（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
検査行列と最小距離（大学数学情報理論・符号理論）

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算数中学高校大学大学院

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余りによる整数の分類（数学A 整数の性質）
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線形符号と生成行列（大学数学情報理論・符号理論）
検査行列と最小距離（大学数学情報理論・符号理論）

説明

スタビライザー符号は、互いに可換なパウリ演算子の組（スタビライザー生成元）を決め、そのすべての固有値が $+ 1$ になる状態の部分空間に量子情報をしまう量子誤り訂正符号です。この技能では、パウリ演算子の積（パウリ列）どうしが可換か反可換かを数えて判定し、生成元から符号のパラメータ $[[n, k, d]]$ （物理量子ビット数 $n$ 、論理量子ビット数 $k$ 、符号距離 $d$ ）を求め、誤りが起きたときに生成元を測定して得られるシンドロームを計算します。古典の線形符号の検査行列と同じ考え方を、量子のビット反転（ $X$ ）と位相反転（ $Z$ ）の両方に広げたものです。

なぜそうしてよいのか

$n$ 量子ビットのパウリ列とは $X_{1} Z_{3} = X \otimes I \otimes Z \otimes \dots$ のように各量子ビットに $I, X, Y, Z$ のどれかを掛けたテンソル積で、恒等でない位置の数を重みといいます。1 量子ビットでは異なる 2 つのパウリ行列は反可換（ $X Z = - Z X$ など）で、同じものや $I$ とは可換です。テンソル積では位置ごとの符号の積になるので、2 つのパウリ列は「両方が恒等でなく、しかも異なる行列になっている位置」の数が偶数なら可換、奇数なら反可換です。

スタビライザー群 $S$ は互いに可換なパウリ列で生成され、 $- I$ を含まない群です。符号空間 $C$ はすべての $g \in S$ について $g ∣ ψ ⟩ = ∣ ψ ⟩$ となる状態の集まりです。独立な生成元が $r$ 個のとき（どの生成元も他の生成元の積で書けない）、 $C$ への射影は $P = \prod_{i = 1}^{r} \frac{I + g _{i}}{2} = \frac{1}{2 ^{r}} \sum_{g \in S} g$ で、恒等でないパウリ列のトレースは 0、 $Tr I = 2^{n}$ なので $dim C = Tr P = 2^{n - r}$ 。よって $k = n - r$ です。パウリ列を 2 元のベクトル $(x ∣ z) \in F_{2}^{2 n}$ （ $X$ の位置に $x_{j} = 1$ 、 $Z$ の位置に $z_{j} = 1$ 、 $Y$ は両方 1）で表すと、生成元の独立性は検査行列 $(H_{X} ∣ H_{Z})$ の $F_{2}$ での階数で判定でき、可換性は $x \cdot z^{'} + z \cdot x^{'} \equiv 0 (mod 2)$ で判定できます。

誤り $E$ （パウリ列）が起きた状態 $E ∣ ψ ⟩$ で生成元 $g_{i}$ を測ると、 $g_{i} E = \pm E g_{i}$ より固有値は $+ 1$ （可換）か $- 1$ （反可換）です。可換なら $s_{i} = 0$ 、反可換なら $s_{i} = 1$ とした列 $(s_{1}, \dots, s_{r})$ がシンドロームで、符号化された情報を壊さずに得られます。すべての生成元と可換なのに $S$ に入らない（ $\pm, \pm i$ 倍を除いて）パウリ列は、シンドロームに現れないまま符号空間の中身を変える論理演算子です。その最小の重みが符号距離 $d$ で、重み $d - 1$ 以下の誤りは必ず検出されるか、 $S$ の元として無害です。

手順

生成元が互いに可換か確かめる：2 つずつ、両方が恒等でなく異なる行列になっている位置を数え、偶数なら可換
生成元を $(x ∣ z)$ の行ベクトルにして $F_{2}$ で階数 $r$ を求め（独立な生成元の数）、 $k = n - r$ とする
すべての生成元と可換で、 $S$ の元（生成元の積）ではないパウリ列（論理演算子）を、重みの小さいものから探す。重み $w$ の候補がすべて「どれかの生成元と反可換」か「 $S$ に入る」なら、 $d > w$
最初に見つかった論理演算子の重みを $d$ とし、 $[[n, k, d]]$ を書く
誤り $E$ のシンドロームは、各生成元 $g_{i}$ と $E$ が反可換なら $s_{i} = 1$ 、可換なら $s_{i} = 0$ として $(s_{1}, \dots, s_{r})$ を並べる

例題

4 量子ビットのスタビライザー符号が、生成元 $g_{1} = X_{1} X_{2} X_{3} X_{4}$ 、 $g_{2} = Z_{1} Z_{2} Z_{3} Z_{4}$ で定められている（ $X_{j}, Z_{j}$ は $j$ 番目の量子ビットに作用するパウリ行列）。この符号のパラメータ $[[n, k, d]]$ を組 $(n, k, d)$ として求めよ。

例題の解答

（手順 1） $g_{1}$ と $g_{2}$ は 4 か所すべてで $X$ と $Z$ が向き合い、その数 4 は偶数なので可換。

（手順 2） $g_{1} = (1111 ∣ 0000)$ 、 $g_{2} = (0000 ∣ 1111)$ は一次独立なので $r = 2$ 。 $n = 4$ より $k = 4 - 2 = 2$ 。

（手順 3）重み 1 の演算子を調べる。量子ビット $j$ の $X_{j}$ は $g_{2}$ と位置 $j$ で反可換、 $Z_{j}$ は $g_{1}$ と反可換、 $Y_{j}$ は両方と反可換。よって重み 1 の論理演算子はなく、 $d \geq 2$ 。
重み 2 の $X_{1} X_{2}$ を調べると、 $g_{1}$ とは異なる行列の位置がなく可換、 $g_{2}$ とは位置 1, 2 の 2 か所（偶数）で異なるので可換。また $S = {I, g_{1}, g_{2}, g_{1} g_{2}}$ の元はどれも重み 4 なので、 $X_{1} X_{2} \in / S$ 。よって $X_{1} X_{2}$ は論理演算子である。

（手順 4） $d = 2$ 。この符号は $[[4, 2, 2]]$ で、任意の 1 量子ビットの誤りを検出できる（訂正はできない）。たとえば $E = X_{1}$ のシンドロームは手順 5 により $(s_{1}, s_{2}) = (0, 1)$ 。

答え: $(4, 2, 2)$

よくある誤り

パウリ列の可換性を「異なる位置が 1 つでもあれば反可換」と判定してしまう誤り。反可換になる位置ごとに符号 $- 1$ が掛かるので、その個数の偶奇で決まる。たとえば $X_{1} X_{2}$ と $Z_{1} Z_{2}$ は 2 か所で反可換なので、全体では可換。
生成元の個数をそのまま $r$ として $k = n - (生成元の数)$ としてしまう誤り。 $g_{3} = g_{1} g_{2}$ のように他の積で書ける生成元は数えない。 $r$ は $(x ∣ z)$ の行ベクトルの $F_{2}$ での階数で、 $k = n - r$ 。
符号距離を、スタビライザーの元の最小の重みやシンドロームが 0 になる誤りの最小の重みとしてしまう誤り。 $S$ の元は符号状態を変えないので距離に数えず、 $d$ は「すべての生成元と可換で $S$ に入らない」パウリ列の最小の重み。3 量子ビットのビット反転符号（ $Z_{1} Z_{2}, Z_{2} Z_{3}$ ）では $Z_{1}$ がこれに当たり、 $d = 1$ である。
シンドロームの成分を、誤りと生成元が可換なときに 1 としてしまう誤り。 $g_{i} E ∣ ψ ⟩ = \pm E g_{i} ∣ ψ ⟩ = \pm E ∣ ψ ⟩$ で、反可換なら測定値が $- 1$ になるので $s_{i} = 1$ 、可換なら $s_{i} = 0$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
4 量子ビットのスタビライザー符号を、スタビライザー生成元
$g_{1} = Z_{1} Z_{2}, g_{2} = Z_{2} Z_{3}, g_{3} = Z_{3} Z_{4}$
で定める。ここで $X_{j}$ , $Z_{j}$ は $j$ 番目の量子ビットにはたらくパウリ演算子 $X$ , $Z$ を表し、書かれていない量子ビットには恒等演算子がはたらくとする。
符号状態（ $g_{1}$ , $g_{2}$ , $g_{3}$ のすべてについて固有値 $+ 1$ をもつ状態）に、3 番目の量子ビットのビット反転誤り $X_{3}$ が起きた。この誤りの後の状態で $g_{1}$ , $g_{2}$ , $g_{3}$ を測定したときに得られる固有値（シンドローム）を、この順に組 $(s_{1}, s_{2}, s_{3})$ として求めよ。各 $s_{i}$ は $+ 1$ または $- 1$ で答えよ。

この技能を使う問題

難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）
$F_{2} = {0, 1}$ 上の 2 つのパリティ検査行列
$H_{1} = 001010011100101110111 (3 \times 7), H_{2} = 101110011 (3 \times 3)$
を考える（ $H_{1}$ は長さ 7 のハミング符号、 $H_{2}$ は長さ 3 の巡回的な繰り返し符号の検査行列である）。これらから、ハイパーグラフ積と呼ばれる CSS 符号を次のように作る。 $\otimes$ をクロネッカー積、 $I_{m}$ を $m$ 次単位行列とし、演算はすべて mod 2 で行う。
$H_{X} = (H_{1} \otimes I_{3} I_{3} \otimes H_{2}^{T}), H_{Z} = (I_{7} \otimes H_{2} H_{1}^{T} \otimes I_{3})$
$H_{X}$ の各行を $X$ 型スタビライザー生成元、 $H_{Z}$ の各行を $Z$ 型スタビライザー生成元（行ベクトルの成分 1 の位置の量子ビットに $X$ または $Z$ を作用させるパウリ演算子）とする。列の数が物理量子ビット数 $n$ である。
この符号の物理量子ビット数 $n$ 、論理量子ビット数 $k$ 、符号距離 $d$ （スタビライザー群の元ではないが全スタビライザーと可換なパウリ演算子の重みの最小値）を求め、組 $(n, k, d)$ の形で答えよ。

この技能の次に学べること

CSS 符号とハイパーグラフ積（大学院物理量子情報・量子計算）