量子情報・量子計算の問題

記号　古典符号 1 は $n_1=7,m_1=3$、符号 2 は $n_2=3,m_2=3$。

可換性の確認　$H_X{H}_Z^T=(H_1\otimes I_3)(I_7\otimes H_2^T)+(I_3\otimes H_2^T)(H_1\otimes I_3)=H_1\otimes H_2^T+H_1\otimes H_2^T=0(\mathrm{mod}2)$ なので、$X$ 型と $Z$ 型の生成元はすべて可換であり、正しいスタビライザー符号になっている。

古典符号のデータ
- $H_1$ は列が 1〜7 の 2 進表示であり、行は 1 次独立なので階数 3。$\ker H_1$ はハミング符号 $[7,4,3]$ で、$k_1=4,d_1=3$。$H_1^T$ は単射なので $\ker H_1^T=\{0\}$、$k_1^T=0$（距離は $d_1^T=\infty$ とみなす）。
- $H_2$ は 3 行の和が 0 で階数 2。$\ker H_2=\{000,111\}$ なので $k_2=1,d_2=3$。$H_2^T$ も同様に $\ker H_2^T=\{000,111\}$ で $k_2^T=1,d_2^T=3$。

$n$　$H_X$ の列数は $n_1{n}_2+m_1{m}_2=7\cdot 3+3\cdot 3=30$。よって $n=30$。

$k$　CSS 符号では $k=n-\mathrm{rank}{H}_X-\mathrm{rank}{H}_Z$。
- $H_X$ は $m_1{n}_2=9$ 行。$H_X^{T}v=0$ は $(H_1^T\otimes I_3)v=0$ かつ $(I_3\otimes H_2)v=0$ と同値で、$v\in (\ker H_1^T\otimes {\mathbb{F}}_2^3)\cap ({\mathbb{F}}_2^3\otimes \ker H_2)=\ker H_1^T\otimes \ker H_2=\{0\}$。よって $\mathrm{rank}{H}_X=9$。
- $H_Z$ は $n_1{m}_2=21$ 行。同様に $\ker H_Z^T=\ker H_1\otimes \ker H_2^T$ で次元 $4\cdot 1=4$。よって $\mathrm{rank}{H}_Z=21-4=17$。

したがって $k=30-9-17=4$。これは一般公式 $k=k_1{k}_2+k_1^T{k}_2^T=4\cdot 1+0\cdot 1=4$ とも一致する。

$d$（下界）　ハイパーグラフ積符号の距離についての Tillich–Zémor の定理より、$d\ge \min (d_1,d_2,d_1^T,d_2^T)=\min (3,3,\infty ,3)=3$。

$d$（上界）　$a\in \ker H_1$ を重み 3 の符号語（例: $a=1110000$）とし、$e_1=(1,0,0{)}^T$ とする。$Z$ 型演算子 $(a\otimes e_1|0)$ を考える。
- $H_X(a\otimes e_1;0)=(H_{1}a)\otimes e_1=0$ なので、すべての $X$ 型スタビライザーと可換である。
- これが $H_Z$ の行空間に入ると仮定すると、ある $y$ について $(H_1\otimes I_3)y=0$ かつ $(I_7\otimes H_2^T)y=a\otimes e_1$ となる。前者から $y\in \ker H_1\otimes {\mathbb{F}}_2^3$ なので、後者の右辺は $\ker H_1\otimes \mathrm{im}{H}_2^T$ に属さなければならない。しかし $\mathrm{im}{H}_2^T=(\ker H_2{)}^{\perp }$ は偶数重みのベクトル全体であり、$e_1$ はそこに属さない。これは矛盾なので、この演算子はスタビライザーではない。

よって重み 3 の非自明な論理演算子が存在し、$d\le 3$。下界と合わせて $d=3$。

以上より $(n,k,d)=(30,4,3)$、すなわち $[[30,4,3]]$ 符号である。

物理量子ビット数 $n$

$H_X$ は $(3\cdot 3)\times (7\cdot 3+3\cdot 3)=9\times 30$ 行列、$H_Z$ は $(7\cdot 3)\times (21+9)=21\times 30$ 行列である。よって $n=30$。

可換性は次のように確かめられる。
$$H_X{H}_Z^T=(H_1\otimes I)(I\otimes H_2^T)+(I\otimes H_2^T)(H_1\otimes I)=2H_1\otimes H_2^T=0(\mathrm{mod}2)$$

論理量子ビット数 $k$

$H_1$ は 3 行が独立なのでフルランク 3 で、$\ker H_1$ はハミング符号（次元 4、距離 3）である。

$H_2$ の行を足すと $110+011+101=000$ となるのでランク 2 である。$\ker H_2=\ker H_2^T=\{000,111\}$（繰り返し符号、次元 1、距離 3）であり、左零空間も $\{000,111\}$ である。

• $\mathrm{rank}{H}_X$：左零空間の元 $u$ は $u^T(H_1\otimes I)=0$ を満たす。$H_1$ の行が独立なので $u=0$ となる。よって $\mathrm{rank}{H}_X=9$。
• $\mathrm{rank}{H}_Z$：左零空間の次元は $\dim (\ker H_1)\cdot \dim (\text{左零空間 }{H}_2)=4\cdot 1=4$。よって $\mathrm{rank}{H}_Z=21-4=17$。

したがって $k=30-9-17=4$。これはハイパーグラフ積の公式 $k=k_1{k}_2+k_1^T{k}_2^T=4\cdot 1+0\cdot 1=4$ とも一致する。

符号距離 $d$

ハイパーグラフ積の距離は、$\ker H_1$、$\ker H_2$、$\ker H_2^T$ の距離（いずれも 3）と、$\ker H_1^T$ が自明であることから決まる。この符号では $d=3$ になる。

重み 3 の論理演算子が存在することは次のように確かめられる。

• $Z$ 型：$(c\otimes e,0)$。$c$ はハミング符号の重み 3 の符号語、$e$ は重み 1 のベクトルで、重みは 3。
• $X$ 型：$(x\otimes 111,0)$。$x$ は重み 1 のベクトルで、重みは 3。

この 2 つの重なりは $(c\cdot x)(e\cdot 111)=1$（$c_x=1$ となる $x$ をとる）で反可換である。したがって、どちらもスタビライザー群の元ではなく、自明でない論理演算子である。

よって $(n,k,d)=(30,4,3)$。距離の下限 3 は上記の定理に依拠しており、全探索で確かめたわけではない。