量子情報・量子計算の問題

1. 相関行列 2 量子ビットの状態は一般に
$$\rho =\frac{1}{4}(I\otimes I+\mathbf{r}\cdot \mathbf{\sigma }\otimes I+I\otimes \mathbf{s}\cdot \mathbf{\sigma }+\sum _{i,j}{T}_{ij}{\sigma }_i\otimes {\sigma }_j),T_{ij}=\mathrm{Tr}[\rho {\sigma }_i\otimes {\sigma }_j]$$
と書ける。パウリ行列はトレースが $0$ で $\mathrm{Tr}[{\sigma }_i{\sigma }_j]=2{\delta }_{ij}$ なので
$$⟨\mathbf{a}\cdot \mathbf{\sigma }\otimes \mathbf{b}\cdot \mathbf{\sigma }⟩=\sum _{i,j}{a}_i{T}_{ij}{b}_j={\mathbf{a}}^{\mathsf{T}}T\mathbf{b}$$
となり、局所ブロッホベクトル $\mathbf{r},\mathbf{s}$ は寄与しない。

$|\psi ⟩=\alpha |00⟩+\beta |11⟩$（$\alpha =2/\sqrt{5},\beta =1/\sqrt{5}$）について計算する。${\sigma }_x\otimes {\sigma }_x|00⟩=|11⟩$, ${\sigma }_x\otimes {\sigma }_x|11⟩=|00⟩$ より $⟨{\sigma }_x{\sigma }_x⟩=2\alpha \beta =\frac{4}{5}$。${\sigma }_y\otimes {\sigma }_y|00⟩=(i)(i)|11⟩=-|11⟩$ などより $⟨{\sigma }_y{\sigma }_y⟩=-2\alpha \beta =-\frac{4}{5}$。$⟨{\sigma }_z{\sigma }_z⟩={\alpha }^2+{\beta }^2=1$。また ${\sigma }_x\otimes {\sigma }_y|00⟩=i|11⟩$, ${\sigma }_x\otimes {\sigma }_y|11⟩=-i|00⟩$ より $⟨{\sigma }_x{\sigma }_y⟩=i\alpha \beta -i\alpha \beta =0$。同様に ${\sigma }_z$ を 1 つだけ含む項は $|00⟩$ と $|11⟩$ を $|01⟩,|10⟩$ へ移すので $0$ である。よって $|\psi ⟩$ の相関行列は $\mathrm{diag}(\frac{4}{5},-\frac{4}{5},1)$。

白色雑音 $I\otimes I/4$ の相関行列は $0$ なので、
$$T=v\mathrm{diag}\left(\frac{4}{5},-\frac{4}{5},1\right),T^{\mathsf{T}}T=v^2\mathrm{diag}\left(\frac{16}{25},\frac{16}{25},1\right).$$

2. 上界（ホロデツキの基準）
$$S={\mathbf{a}}_0^{\mathsf{T}}T({\mathbf{b}}_0+{\mathbf{b}}_1)+{\mathbf{a}}_1^{\mathsf{T}}T({\mathbf{b}}_0-{\mathbf{b}}_1).$$
${\mathbf{b}}_0,{\mathbf{b}}_1$ は単位ベクトルなので $({\mathbf{b}}_0+{\mathbf{b}}_1)\perp ({\mathbf{b}}_0-{\mathbf{b}}_1)$ であり、${\mathbf{b}}_0+{\mathbf{b}}_1=2\cos \phi \mathbf{c}$, ${\mathbf{b}}_0-{\mathbf{b}}_1=2\sin \phi {\mathbf{c}}^{\prime }$（$\mathbf{c}\perp {\mathbf{c}}^{\prime }$ は単位ベクトル、$0\le \phi \le \pi /2$）と書ける。$|{\mathbf{a}}_k|=1$ より
$$S\le 2(\cos \phi |T\mathbf{c}|+\sin \phi |T{\mathbf{c}}^{\prime }|)\le 2\sqrt{|T\mathbf{c}{|}^2+|T{\mathbf{c}}^{\prime }{|}^2}$$
（2 つ目はコーシー・シュワルツの不等式）。さらに $|T\mathbf{c}{|}^2+|T{\mathbf{c}}^{\prime }{|}^2={\mathbf{c}}^{\mathsf{T}}{T}^{\mathsf{T}}T\mathbf{c}+{\mathbf{c}}^{\prime \mathsf{T}}{T}^{\mathsf{T}}T{\mathbf{c}}^{\prime }$ は、直交する 2 つの単位ベクトルについての和なので、$T^{\mathsf{T}}T$ の大きい方から 2 つの固有値の和 $u_1+u_2$ 以下である。よって
$$S\le 2\sqrt{u_1+u_2}=2v\sqrt{1+\frac{16}{25}}=\frac{2\sqrt{41}}{5}v.$$

3. 等号の実現 $\mathbf{c}=\hat{z}$, ${\mathbf{c}}^{\prime }=\hat{x}$ とすると $|T\mathbf{c}|=v$, $|T{\mathbf{c}}^{\prime }|=\frac{4}{5}v$。$\tan \phi =\frac{4}{5}$（$\cos \phi =\frac{5}{\sqrt{41}},\sin \phi =\frac{4}{\sqrt{41}}$）とし、${\mathbf{b}}_0=\cos \phi \hat{z}+\sin \phi \hat{x}$, ${\mathbf{b}}_1=\cos \phi \hat{z}-\sin \phi \hat{x}$, ${\mathbf{a}}_0=\hat{z}$（$T\hat{z}$ の向き）, ${\mathbf{a}}_1=\hat{x}$（$T\hat{x}$ の向き）とすれば
$$S=2\left(\frac{5}{\sqrt{41}}v+\frac{4}{\sqrt{41}}\cdot \frac{4}{5}v\right)=2v\cdot \frac{41/5}{\sqrt{41}}=\frac{2\sqrt{41}}{5}v$$
となり、上界に達する。

4. 数値 $v=\frac{9}{10}$ を代入して
$$S_{\max }=\frac{2\sqrt{41}}{5}\cdot \frac{9}{10}=\frac{9\sqrt{41}}{25}\approx \mathrm{2.305.}$$
これは古典的な上限 $2$ を超え、ツィレルソン限界 $2\sqrt{2}\approx 2.83$ より小さい。

CHSH 量の最大値には Horodecki の公式を使う。相関行列 $T_{ij}=\mathrm{Tr}[\rho {\sigma }_i\otimes {\sigma }_j]$ について、$T^{T}T$ の固有値のうち大きい方の 2 つを $u_1,u_2$ とすると、$S_{\max }=2\sqrt{u_1+u_2}$ である。

1. 純粋状態 $|\psi ⟩=\alpha |00⟩+\beta |11⟩$（$\alpha =2/\sqrt{5},\beta =1/\sqrt{5}$）について、
$⟨{\sigma }_z{\sigma }_z⟩=1$、$⟨{\sigma }_x{\sigma }_x⟩=2\alpha \beta =4/5$、$⟨{\sigma }_y{\sigma }_y⟩=-2\alpha \beta =-4/5$。非対角成分は 0 である。

2. 白色雑音 $I\otimes I/4$ は相関行列に寄与しない。したがって $T=v\mathrm{diag}(4/5,-4/5,1)=\mathrm{diag}(0.72,-0.72,0.9)$ となる。

3. $T^{T}T$ の固有値は $0.5184,0.5184,0.81$。大きい方の 2 つは $0.81$ と $0.5184$ で、和は $1.3284=\frac{324\cdot 41}{10^4}$ である。

4. $S_{\max }=2\sqrt{1.3284}=2\cdot \frac{18\sqrt{41}}{100}=\frac{9\sqrt{41}}{25}\approx 2.305$。

5. 検算：$2\sqrt{0.81+0.5184}=2\times 1.15256=2.3051$。$9\times 6.4031/25=2.3051$ で一致する。$2$ を超えているので CHSH 不等式を破る。