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量子情報・量子計算の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院物理量子情報・量子計算

2 つの量子ビット A, B からなる系が、次の純粋状態にあるとする。
$∣ ψ ⟩_{A B} = \frac{1}{3} (∣0 ⟩_{A} ∣0 ⟩_{B} + ∣0 ⟩_{A} ∣1 ⟩_{B} + ∣1 ⟩_{A} ∣0 ⟩_{B})$
ここで ${∣0 ⟩, ∣1 ⟩}$ は各量子ビットの正規直交基底である。B について部分トレースをとった A の縮約密度行列を $ρ_{A} = Tr_{B} ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣$ とする。A のフォン・ノイマンエントロピー（エンタングルメント・エントロピー）
$S (ρ_{A}) = - Tr (ρ_{A} lo g ρ_{A})$
を求めよ。 $lo g$ は自然対数とし、答えは根号と対数を用いた正確な値で、できるだけ簡単な形で答えよ。

この問題で使うもの

テンソル積と部分トレース（説明と入口の問題）
フォン・ノイマンエントロピーとエンタングルメント・エントロピー（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（113 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

B について部分トレースをとり、A の $2 \times 2$ 縮約密度行列を求めてから、その固有値を使ってエントロピーを計算する。

ヒント 2

$ρ_{A} = \sum_{b}_{B} ⟨ b ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ b ⟩_{B}$ を計算する。固有値はトレースと行列式から求められる。 $S = - \sum_{i} λ_{i} lo g λ_{i}$ である。

ヒント 3

$ρ_{A} = \frac{1}{3} (2111)$ で、固有値は $\frac{3 \pm 5}{6}$ である。 $\frac{3 \pm 5}{2} = φ^{\pm 2}$ （ $φ$ は黄金比）を使うと対数がまとまる。

答えと解説

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lo g 3 - \frac{2 5}{3} lo g \frac{1 + 5}{2}

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解説を読む

縮約密度行列の計算

状態を B の基底で整理すると
$∣ ψ ⟩ = \frac{1}{3} [(∣0 ⟩_{A} + ∣1 ⟩_{A}) ∣0 ⟩_{B} + ∣0 ⟩_{A} ∣1 ⟩_{B}]$
となる。部分トレースは $ρ_{A} = \sum_{b = 0, 1}_{B} ⟨ b ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ b ⟩_{B}$ で計算できる。

$b = 0$ の寄与: $_{B} ⟨ 0∣ ψ ⟩ = \frac{1}{3} (∣0 ⟩ + ∣1 ⟩)$ より $\frac{1}{3} (∣0 ⟩ + ∣1 ⟩) (⟨ 0∣ + ⟨ 1∣)$
$b = 1$ の寄与: $_{B} ⟨ 1∣ ψ ⟩ = \frac{1}{3} ∣0 ⟩$ より $\frac{1}{3} ∣0 ⟩ ⟨ 0∣$

両者を足して、基底 ${∣0 ⟩, ∣1 ⟩}$ で行列表示すると
$ρ_{A} = \frac{1}{3} (2111)$
となる。

固有値

$Tr ρ_{A} = 1$ 、 $det ρ_{A} = \frac{1}{9} (2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) = \frac{1}{9}$ である。したがって固有値 $λ$ は $λ^{2} - λ + \frac{1}{9} = 0$ の解で、
$λ_{\pm} = \frac{1 \pm 1 - \frac{4}{9}}{2} = \frac{3 \pm 5}{6}$
となる。

エントロピー

$ρ_{A}$ はエルミート行列なので対角化でき、 $S = - λ_{+} lo g λ_{+} - λ_{-} lo g λ_{-}$ と書ける。

黄金比を $φ = \frac{1 + 5}{2}$ とおくと、 $φ^{2} = \frac{3 + 5}{2}$ 、 $φ^{- 2} = \frac{3 - 5}{2}$ が成り立つ。よって
$λ_{+} = \frac{φ ^{2}}{3}, λ_{-} = \frac{φ ^{- 2}}{3}$
であり、
$lo g λ_{\pm} = \pm 2 lo g φ - lo g 3$
となる。これを代入すると
$S = - λ_{+} (2 lo g φ - lo g 3) - λ_{-} (- 2 lo g φ - lo g 3) = (λ_{+} + λ_{-}) lo g 3 - 2 (λ_{+} - λ_{-}) lo g φ$
$λ_{+} + λ_{-} = 1$ 、 $λ_{+} - λ_{-} = \frac{5}{3}$ を用いて
$S (ρ_{A}) = lo g 3 - \frac{2 5}{3} lo g \frac{1 + 5}{2} \approx 0.381$
を得る。

値の確認

この値は $0 < S < lo g 2 \approx 0.693$ を満たし、部分的にエンタングルした状態として妥当である。

別解

係数行列を $M = \frac{1}{3} (1110)$ とおくと、 $ρ_{A} = M M^{†} = \frac{1}{3} (2111)$ である。

固有値は、トレースが 1、行列式が $\frac{2 - 1}{9} = \frac{1}{9}$ なので、 $λ_{\pm} = \frac{3 \pm 5}{6}$ となる。

ここで $φ = \frac{1 + 5}{2}$ とおくと $φ^{2} = \frac{3 + 5}{2}$ だから、 $λ_{\pm} = φ^{\pm 2} /3$ と書ける。

したがって
$S = - λ_{+} lo g λ_{+} - λ_{-} lo g λ_{-} = - λ_{+} (2 lo g φ - lo g 3) - λ_{-} (- 2 lo g φ - lo g 3)$
$= lo g 3 - 2 lo g φ (λ_{+} - λ_{-})$ 。

$λ_{+} - λ_{-} = \frac{5}{3}$ より、
$S = lo g 3 - \frac{2 5}{3} lo g \frac{1 + 5}{2}$ 。

検算として数値を確かめる。 $λ_{+} \approx 0.87267$ , $λ_{-} \approx 0.12732$ から $S \approx 0.11884 + 0.26241 = 0.38125$ となる。閉じた式でも $1.09861 - 0.71734 = 0.38127$ となり、一致する。

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