テンソル積と部分トレース

2 量子ビット状態を計算基底で行列に書き、部分トレース $ρ_{A} = Tr_{B} ρ_{A B}$ によって約密度行列の成分と固有値を求められる

前提

密度行列と混合状態（大学院物理量子情報・量子計算）

この技能までの道筋（105 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

三角形の角の大きさ（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
行列式（大学数学線形代数）
掃き出し法と連立 1 次方程式（大学数学線形代数）
行列の階数と解の存在（大学数学線形代数）
ベクトル空間・一次独立・基底・次元（大学数学線形代数）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
線形変換と行列（大学数学線形代数）
核と像と次元定理（大学数学線形代数）
固有値と固有ベクトル（大学数学線形代数）
掃き出し法による逆行列（大学数学線形代数）
基底の変換と表現行列（大学数学線形代数）
対角化と行列の累乗（大学数学線形代数）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
内積となす角（数学C ベクトル）
内積空間とグラム・シュミットの直交化（大学数学線形代数）
対称行列の直交対角化（大学数学線形代数）
2 次形式の標準形と符号（大学数学線形代数）
エルミート行列とエルミート形式の符号（大学数学線形代数）
音の伝わり方と大きさ・高さ（中学理科物理分野の用語と知識）
音の振動数と波形（中学理科光と音）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
光子のエネルギーと運動量（高校物理原子）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
分母の有理化（中学数学数と式）
乗法公式・分配法則を使う根号の式の展開（中学数学数と式）
根号を含む式の計算と分母の有理化（数学I 数と式）
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））
慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））
力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
静止摩擦力・最大摩擦力・動摩擦力（高校物理力と運動（知識））
静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）
仕事（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
運動エネルギーと仕事の関係（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
物質波（ド・ブロイ波）（高校物理原子）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
広義積分（大学数学微分積分）
波動関数の規格化と確率解釈（大学物理量子力学（1 次元の問題））
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
演算子と期待値（大学物理量子力学（1 次元の問題））
スピン 1/2 とパウリ行列（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
密度行列と混合状態（大学院物理量子情報・量子計算）

説明

2 つの量子ビット A, B からなる系の状態を、計算基底 $∣00 ⟩, ∣01 ⟩, ∣10 ⟩, ∣11 ⟩$ を使って $4 \times 4$ の密度行列 $ρ_{A B}$ に書き、そこから片方の量子ビット A だけを見たときの状態（約密度行列） $ρ_{A} = Tr_{B} ρ_{A B}$ を取り出せるようになります。A だけに対する測定の確率や期待値は $ρ_{A}$ ですべて決まるので、部分系の状態を調べるとき、とくに 2 つの量子ビットのもつれ（エンタングルメント）の有無や強さを調べるときに使います。全体が純粋状態でも $ρ_{A}$ は混合状態になりうる、という点が量子情報の出発点になります。

なぜそうしてよいのか

まずテンソル積です。A の状態 $∣ a ⟩ = a_{0} ∣0 ⟩ + a_{1} ∣1 ⟩$ と B の状態 $∣ b ⟩ = b_{0} ∣0 ⟩ + b_{1} ∣1 ⟩$ を並べた 2 量子ビットの状態を $∣ a ⟩ \otimes ∣ b ⟩$ と書き、 $∣ i ⟩ \otimes ∣ j ⟩$ を $∣ ij ⟩$ と略します。 $\otimes$ はそれぞれの重ね合わせについて分配法則に従うと約束するので $∣ a ⟩ \otimes ∣ b ⟩ = \sum_{i, j} a_{i} b_{j} ∣ ij ⟩$ となり、基底を $∣00 ⟩, ∣01 ⟩, ∣10 ⟩, ∣11 ⟩$ の順（左が A、右が B）に並べれば成分は $(a_{0} b_{0}, a_{0} b_{1}, a_{1} b_{0}, a_{1} b_{1})^{T}$ です。一般の 2 量子ビット状態はこの 4 つの基底の重ね合わせ $∣ ψ ⟩ = \sum_{i, j} c_{ij} ∣ ij ⟩$ （ $\sum ∣ c_{ij} ∣^{2} = 1$ ）で、積の形に書けるとは限りません。行列についても同様に、A に $X$ 、B に $Y$ をはたらかせる演算子 $X \otimes Y$ は $(X \otimes Y) (∣ i ⟩ \otimes ∣ j ⟩) = X ∣ i ⟩ \otimes Y ∣ j ⟩$ で定まり、その $4 \times 4$ 行列は $X$ の各成分 $X_{i i^{'}}$ を $2 \times 2$ のブロック $X_{i i^{'}} Y$ に置き換えたものになります。

では A だけを観測するとどう見えるでしょうか。A に対する観測量 $M$ は全体では $M \otimes 1$ と表されるので、期待値は $Tr (ρ_{A B} (M \otimes 1)) = \sum_{i, i^{'}, j} ρ_{(ij), (i^{'} j)} M_{i^{'} i}$ です。そこで $2 \times 2$ 行列 $ρ_{A}$ を $(ρ_{A})_{i i^{'}} = \sum_{j} ρ_{(ij), (i^{'} j)}$ と定めると、この期待値はちょうど $Tr (ρ_{A} M)$ になります。つまり B の添字をそろえて足し上げる（B についてだけトレースをとる）操作で、A の観測をすべて再現する 1 量子ビットの密度行列が得られます。これが部分トレース $ρ_{A} = Tr_{B} ρ_{A B}$ です。 $ρ_{A}$ はエルミートで、トレースは $Tr ρ_{A B} = 1$ に等しく、固有値は $0$ 以上 $1$ 以下になります。

純粋状態 $∣ ψ ⟩ = \sum c_{ij} ∣ ij ⟩$ なら $ρ_{(ij), (i^{'} j^{'})} = c_{ij} c_{i^{'} j^{'}}^{*}$ なので $(ρ_{A})_{i i^{'}} = \sum_{j} c_{ij} c_{i^{'} j}^{*}$ です。係数を $2 \times 2$ 行列 $C = (c_{ij})$ （行が A、列が B）に並べれば $ρ_{A} = C C^{†}$ と書けます。積状態なら $C$ の階数が 1 で $ρ_{A}$ は純粋状態（固有値 $1, 0$ ）、もつれた状態なら固有値が両方とも正になり、 $ρ_{A}$ は混合状態になります。

手順

基底の順番を決める。 $∣00 ⟩, ∣01 ⟩, ∣10 ⟩, ∣11 ⟩$ （左が A、右が B）とし、状態を $∣ ψ ⟩ = \sum_{i, j} c_{ij} ∣ ij ⟩$ の形に展開して係数 $c_{ij}$ を読み取る。積状態なら $c_{ij} = a_{i} b_{j}$ である
全体の密度行列を書く。純粋状態なら $ρ_{A B} = ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣$ で成分は $ρ_{(ij), (i^{'} j^{'})} = c_{ij} c_{i^{'} j^{'}}^{*}$ 。混合状態なら $ρ_{A B} = \sum_{k} p_{k} ∣ ψ_{k} ⟩ ⟨ ψ_{k} ∣$ を成分ごとに足す
B の添字をそろえて足す： $(ρ_{A})_{i i^{'}} = \sum_{j} ρ_{(ij), (i^{'} j)}$ 。 $4 \times 4$ 行列を $2 \times 2$ ブロック 4 つに分けると、 $(ρ_{A})_{i i^{'}}$ は $(i, i^{'})$ ブロックの対角成分の和である（純粋状態なら $ρ_{A} = C C^{†}$ , $C = (c_{ij})$ でもよい）
検算する： $ρ_{A}$ がエルミートで $Tr ρ_{A} = 1$ になっているか確かめる
固有値を求める： $2 \times 2$ なので $λ^{2} - (Tr ρ_{A}) λ + det ρ_{A} = 0$ 、すなわち $λ = \frac{1 \pm 1 - 4 det ρ _{A}}{2}$

例題

2 量子ビット A, B の純粋状態 $∣ ψ ⟩ = \frac{1}{3} (∣00 ⟩ + ∣01 ⟩ + ∣11 ⟩)$ を考える。ただし $∣ ij ⟩ = ∣ i ⟩_{A} \otimes ∣ j ⟩_{B}$ である。約密度行列 $ρ_{A} = Tr_{B} ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣$ の固有値のうち大きいほうを求めよ。

例題の解答

【手順 1】基底 $∣00 ⟩, ∣01 ⟩, ∣10 ⟩, ∣11 ⟩$ の係数は $c_{00} = c_{01} = c_{11} = \frac{1}{3}$ , $c_{10} = 0$ である。

【手順 2】 $ρ_{A B} = ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣$ の成分は $c_{ij} c_{i^{'} j^{'}}^{*}$ なので、基底の順に
$ρ_{A B} = \frac{1}{3} 1101110100001101 .$

【手順 3】左上の $2 \times 2$ ブロックが $(0, 0)$ 、右上が $(0, 1)$ 、左下が $(1, 0)$ 、右下が $(1, 1)$ ブロックである。それぞれの対角成分の和をとって
$(ρ_{A})_{00} = \frac{1}{3} (1 + 1) = \frac{2}{3}$ , $(ρ_{A})_{01} = \frac{1}{3} (0 + 1) = \frac{1}{3}$ , $(ρ_{A})_{10} = \frac{1}{3} (0 + 1) = \frac{1}{3}$ , $(ρ_{A})_{11} = \frac{1}{3} (0 + 1) = \frac{1}{3}$ 。よって
$ρ_{A} = \frac{1}{3} (2111) .$
（ $C = \frac{1}{3} (1011)$ として $C C^{†}$ を計算しても同じになる。）

【手順 4】 $ρ_{A}$ は実対称（エルミート）で、 $Tr ρ_{A} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1$ 。

【手順 5】 $det ρ_{A} = \frac{1}{9} (2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) = \frac{1}{9}$ なので
$λ = \frac{1 \pm 1 - \frac{4}{9}}{2} = \frac{1 \pm \frac{5}{3}}{2} = \frac{3 \pm 5}{6} .$
2 つとも正なので $ρ_{A}$ は混合状態で、この状態はもつれている。大きいほうの固有値は $\frac{3 + 5}{6}$ である。

答え: $\frac{3 + 5}{6}$

よくある誤り

$ρ_{A}$ を $4 \times 4$ 行列の左上 $2 \times 2$ ブロックだけだと思ってしまう誤り。左上ブロックは A の添字が $i = i^{'} = 0$ の成分を集めたもので、B の添字は足し上げられていない。正しくは $(ρ_{A})_{i i^{'}} = \sum_{j} ρ_{(ij), (i^{'} j)}$ 、つまり各ブロックの対角和をとる。例題では左上ブロックをそのまま使うと $\frac{1}{3} (1111)$ となりトレースが $\frac{2}{3}$ になってしまう
$Tr_{B}$ と $Tr_{A}$ を取り違える誤り。 $ρ_{B} = Tr_{A} ρ_{A B}$ は対角ブロック同士の和 $(ρ_{B})_{j j^{'}} = \sum_{i} ρ_{(ij), (i j^{'})}$ で、 $ρ_{A}$ はブロックごとの対角和である。純粋状態では $ρ_{A} = C C^{†}$ 、 $ρ_{B} = C^{T} C^{*}$ であり、 $C^{†} C$ を $ρ_{A}$ としてしまわないこと（例題では $C^{T} C^{*} = \frac{1}{3} (1112)$ で、 $ρ_{A}$ とは別の行列。固有値は一致する）
部分トレースで複素共役を落とす誤り。正しくは $(ρ_{A})_{i i^{'}} = \sum_{j} c_{ij} c_{i^{'} j}^{*}$ で、たとえば $∣ ψ ⟩ = \frac{1}{2} (∣00 ⟩ + i ∣11 ⟩)$ では $(ρ_{A})_{11} = ∣ i ∣^{2} /2 = \frac{1}{2}$ であり、 $i^{2} /2 = - \frac{1}{2}$ ではない
$ρ_{A B}$ が純粋状態なら $ρ_{A}$ も純粋状態だと思い込む誤り。 $\frac{1}{2} (∣00 ⟩ + ∣11 ⟩)$ では $ρ_{A} = \frac{1}{2} (1001)$ で純度 $Tr ρ_{A}^{2} = \frac{1}{2}$ 。 $ρ_{A}$ が純粋状態になるのは全体が積状態 $∣ a ⟩ \otimes ∣ b ⟩$ のときに限る

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
2 つの量子ビット A, B の計算基底を $∣ ab ⟩ = ∣ a ⟩_{A} \otimes ∣ b ⟩_{B}$ （ $a, b \in {0, 1}$ ）と書く。2 量子ビットの純粋状態
$∣ ψ ⟩ = \frac{1}{2 2} (2∣00 ⟩ + ∣01 ⟩ + 3 ∣11 ⟩)$
について、 $ρ_{A B} = ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣$ の B についての部分トレースをとった縮約密度行列 $ρ_{A} = Tr_{B} ρ_{A B}$ を考える。A と B のもつれエントロピー（ $ρ_{A}$ のフォン・ノイマンエントロピー）
$S (ρ_{A}) = - Tr (ρ_{A} lo g ρ_{A})$
を求めよ。ただし $lo g$ は自然対数とし、 $0 lo g 0 = 0$ とする。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

シュミット分解（大学院物理量子情報・量子計算）
部分転置と負値性（大学院物理量子情報・量子計算）
共起（コンカレンス）（大学院物理量子情報・量子計算）
CHSH 不等式と量子力学での最大値（大学院物理量子情報・量子計算）
量子ゲートと量子回路の計算（大学院物理量子情報・量子計算）