シュミット分解

2 体純粋状態の係数行列から（特異値として）シュミット係数とシュミット数を求め、積状態かエンタングルした状態かを判定できる

前提

テンソル積と部分トレース（大学院物理量子情報・量子計算）

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算数中学高校大学大学院

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密度行列と混合状態（大学院物理量子情報・量子計算）
テンソル積と部分トレース（大学院物理量子情報・量子計算）

説明

2 つの系 A, B からなる純粋状態 $∣ ψ ⟩$ は、A と B それぞれの正規直交基底をうまく選び直すと、 $∣ ψ ⟩ = \sum_{k} s_{k} ∣ a_{k} ⟩ ∣ b_{k} ⟩$ （ $s_{k} > 0$ ）という「対角的な」形に必ず書けます。これをシュミット分解といい、 $s_{k}$ をシュミット係数、0 でない $s_{k}$ の個数をシュミット数と呼びます。係数行列 $C = (c_{ij})$ から $s_{k}$ を求めれば、シュミット数が 1 なら積状態、2 以上ならエンタングルした状態と判定でき、さらに $s_{k}^{2}$ は両側の約密度行列の固有値になるので、もつれの強さもここから読み取れます。

なぜそうしてよいのか

状態を計算基底で $∣ ψ ⟩ = \sum_{i, j} c_{ij} ∣ i ⟩ ∣ j ⟩$ と書き、係数を行列 $C = (c_{ij})$ （行が A、列が B）に並べます。部分トレースで $ρ_{A} = C C^{†}$ でした。 $ρ_{A}$ はエルミートで固有値は 0 以上なので、正規直交な固有ベクトル $∣ a_{k} ⟩$ と固有値 $λ_{k} \geq 0$ で対角化できます。A の基底を ${∣ a_{k} ⟩}$ に取り替えて $∣ ψ ⟩ = \sum_{k} ∣ a_{k} ⟩ \otimes ∣ b ~_{k} ⟩$ （ $∣ b ~_{k} ⟩$ は $∣ ψ ⟩$ の A 側を $⟨ a_{k} ∣$ で内積をとって残る B のベクトル）と展開します。この形から部分トレースを計算すると $ρ_{A} = \sum_{k, l} ⟨ b ~_{l} ∣ b ~_{k} ⟩ ∣ a_{k} ⟩ ⟨ a_{l} ∣$ で、これが対角行列 $diag (λ_{k})$ に等しいので $⟨ b ~_{l} ∣ b ~_{k} ⟩ = λ_{k} δ_{k l}$ です。つまり $∣ b ~_{k} ⟩$ は互いに直交し、長さが $λ_{k}$ です。 $λ_{k} > 0$ のものについて $∣ b_{k} ⟩ = ∣ b ~_{k} ⟩ / λ_{k}$ と規格化すれば（ $λ_{k} = 0$ の項は $∣ b ~_{k} ⟩ = 0$ で消える） $∣ ψ ⟩ = λ_{k} > 0 \sum λ_{k} ∣ a_{k} ⟩ ∣ b_{k} ⟩$ が得られます。これがシュミット分解で、シュミット係数は $s_{k} = λ_{k}$ 、つまり行列 $C$ の「特異値」（ $C C^{†}$ の固有値の正の平方根）です。 $\sum_{k} s_{k}^{2} = Tr ρ_{A} = 1$ が成り立ちます。

B 側から見ても $ρ_{B} = \sum_{k} s_{k}^{2} ∣ b_{k} ⟩ ⟨ b_{k} ∣$ なので、 $ρ_{A}$ と $ρ_{B}$ の 0 でない固有値は一致します。また $C C^{†}$ の 0 でない固有値の個数は $C$ の階数に等しいので、シュミット数 $= rank C$ です。積状態 $∣ a ⟩ ∣ b ⟩$ では $c_{ij} = a_{i} b_{j}$ で $C$ の各行が比例し階数 1、逆に階数 1 なら $C$ は (列ベクトル)×(行ベクトル) の形で積状態になります。2 量子ビットなら「積状態 $⟺ det C = 0$ 」です。

手順

状態を $∣ ψ ⟩ = \sum_{i, j} c_{ij} ∣ i ⟩ ∣ j ⟩$ と展開し、係数行列 $C = (c_{ij})$ （行が A、列が B）を作る。規格化 $\sum ∣ c_{ij} ∣^{2} = 1$ を確かめる
$C C^{†}$ （ $= ρ_{A}$ ）を計算する
$C C^{†}$ の固有値 $λ_{k}$ を求める。 $2 \times 2$ なら $λ^{2} - λ + ∣ det C ∣^{2} = 0$ （ $Tr C C^{†} = 1$ , $det C C^{†} = ∣ det C ∣^{2}$ ）
シュミット係数を $s_{k} = λ_{k}$ とし、0 でないものの個数（ $= rank C$ ）をシュミット数とする
シュミット数が 1 なら積状態、2 以上ならエンタングルした状態と判定する。必要なら $∣ a_{k} ⟩$ を $C C^{†}$ の固有ベクトル、 $∣ b_{k} ⟩ = (⟨ a_{k} ∣ \otimes 1) ∣ ψ ⟩ / s_{k}$ として分解の形を書く

例題

2 量子ビットの状態 $∣ ψ ⟩ = \frac{1}{10} (∣00 ⟩ + 2∣01 ⟩ + 2∣10 ⟩ + ∣11 ⟩)$ （ $∣ ij ⟩ = ∣ i ⟩_{A} ∣ j ⟩_{B}$ ）のシュミット係数をすべて求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $C = \frac{1}{10} (1221)$ 。 $\frac{1}{10} (1 + 4 + 4 + 1) = 1$ で規格化されている。

【手順 2】 $C C^{†} = \frac{1}{10} (1221) (1221) = \frac{1}{10} (5445)$ 。

【手順 3】 $det C = \frac{1}{10} (1 - 4) = - \frac{3}{10}$ より $∣ det C ∣^{2} = \frac{9}{100}$ 。 $λ^{2} - λ + \frac{9}{100} = 0$ を解いて $λ = \frac{9}{10}, \frac{1}{10}$ 。

【手順 4】 $s_{1} = \frac{9}{10} = \frac{3}{10}$ , $s_{2} = \frac{1}{10} = \frac{1}{10}$ 。 $s_{1}^{2} + s_{2}^{2} = 1$ を満たす。どちらも 0 でないのでシュミット数は 2。

【手順 5】シュミット数 2 なのでエンタングルした状態である。実際、 $C C^{†}$ の固有ベクトルは $∣ + ⟩$ （固有値 $\frac{9}{10}$ ）と $∣ - ⟩$ （固有値 $\frac{1}{10}$ ）で、 $∣ b_{k} ⟩$ を計算すると $∣ ψ ⟩ = \frac{3}{10} ∣ + ⟩ ∣ + ⟩ + \frac{1}{10} ∣ - ⟩ (- ∣ - ⟩)$ と書ける。

よってシュミット係数は $\frac{3}{10}$ と $\frac{1}{10}$ 。

答え: ${\frac{3}{10}, \frac{1}{10}}$

よくある誤り

$C$ の固有値をシュミット係数としてしまう誤り。例題では $C$ の固有値は $\frac{3}{10}$ と $- \frac{1}{10}$ で負の値が出る。 $C = \frac{1}{3} (1011)$ では固有値は $\frac{1}{3}$ （重解）で 2 乗の和が $\frac{2}{3} \neq = 1$ になる。正しくは $C C^{†}$ の固有値 $\frac{3 \pm 5}{6}$ の平方根 $\frac{3 \pm 5}{6}$ をとる
$ρ_{A}$ の固有値そのものをシュミット係数としてしまう誤り。 $ρ_{A}$ の固有値はシュミット係数の 2 乗 $s_{k}^{2}$ である。例題で $\frac{9}{10}, \frac{1}{10}$ と答えるのは誤りで、正しくは $\frac{3}{10}, \frac{1}{10}$
計算基底での項の数でエンタングルを判定してしまう誤り。 $\frac{1}{2} (∣00 ⟩ + ∣01 ⟩)$ は 2 項あるが $C = \frac{1}{2} (1010)$ の階数は 1（ $det C = 0$ ）で、 $∣0 ⟩ \otimes ∣ + ⟩$ という積状態である。正しくはシュミット数 $= rank C$ で判定する
シュミット分解の基底 $∣ a_{k} ⟩, ∣ b_{k} ⟩$ を、もとの計算基底のまま使えると思ってしまう誤り。例題の状態は計算基底では 4 項だが、 $∣ \pm ⟩$ に取り替えて初めて 2 項になる。A 側の基底は $C C^{†}$ の固有ベクトルで、B 側は $∣ b_{k} ⟩ = (⟨ a_{k} ∣ \otimes 1) ∣ ψ ⟩ / s_{k}$ で決まる（ $∣ b_{k} ⟩$ も固有ベクトルの位相に応じて符号などが変わる）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
2 つの量子ビット A, B の計算基底を $∣ ab ⟩ = ∣ a ⟩_{A} \otimes ∣ b ⟩_{B}$ （ $a, b \in {0, 1}$ ）と書く。2 量子ビットの純粋状態
$∣ ψ ⟩ = \frac{1}{10} (7∣00 ⟩ + ∣01 ⟩ + ∣10 ⟩ + 7∣11 ⟩)$
をシュミット分解 $∣ ψ ⟩ = \sum_{i} λ_{i} ∣ u_{i} ⟩_{A} ∣ v_{i} ⟩_{B}$ （ ${∣ u_{i} ⟩}$ , ${∣ v_{i} ⟩}$ はそれぞれ正規直交系、 $λ_{i} > 0$ ）したときのシュミット係数 $λ_{i}$ をすべて求めよ。

この技能を使う問題

難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）
2 量子ビット系（部分系 $A$ , $B$ ）の正規化された純粋状態
$∣ ψ ⟩ = \frac{1}{3} (2∣00 ⟩ + ∣01 ⟩ + 2∣11 ⟩)$
を考える。ここで $∣ ij ⟩ = ∣ i ⟩_{A} \otimes ∣ j ⟩_{B}$ $(i, j \in {0, 1})$ は計算基底である。この状態に白色雑音を混ぜた混合状態
$ρ = p ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ + (1 - p) \frac{I _{4}}{4} (p = \frac{3}{5})$
を考える。 $I_{4}$ は $4 \times 4$ の単位行列である。 $ρ$ の部分系 $B$ に関する部分転置を $ρ^{T_{B}}$ とし、負値性（negativity）を
$N (ρ) = \frac{∥ ρ ^{T_{B}} ∥ _{1} - 1}{2}$
で定義する（ $∥ X ∥_{1} = Tr X^{†} X$ はトレースノルム）。 $N (ρ)$ の値を既約分数で求めよ。

この技能の次に学べること

フォン・ノイマンエントロピーとエンタングルメント・エントロピー（大学院物理量子情報・量子計算）